商抽样与抽样分布

第六章抽样和抽样分布STAT本章重点:1、简单随机抽样；2、的抽样分布；3、的抽样分布；4、其他组织形式的抽样；5、正态分布原理。本章难点:抽样分布原理。

10/19/20221统计学院第六章抽样和抽样分布统计实例（StatisticsinPractice）我国某家用电器公司是国内空调最大的生产厂家之一，2004年时其空调年销售就已达到700万台，销售额为120亿元。这家低调、在外界看来有些神秘的家电企业，尽管不作声张，极少炒作，甚至喊出“不想做行业老大”的话，之后3年来却成长势头迅猛，增长率一直40%以上，赢利率极高。这背后的原因在于美的较早就开始了提升企业竞争能力。为了避免当今家用电器行业低价利薄的局面，实现多条腿走路，以在新一轮竞争中保持优势，该电器集团决策人又提出了进军汽车行业的战略目标。为此他要求公司营销部对国际国内各大汽车生产厂家生产能力、销售额、营利能力、市场占有率等方面作调查分析。作为公司营销部负责人来说，他必须思考怎样去采集汽车生产厂家的这些经济机密数据？获得这些数据后，应采用什么方法作数据分析与推断。这必然会用到统计推断的知识。10/19/20222统计学院第六章抽样和抽样分布

从这一章开始便进入推断统计学的学习内容，它会节省人们的时间和财物来达到认识对象的最佳限度。现实世界包含的素材集合非常庞大，从中提取需要的信息非常困难。如：选民人数：每个候选人的支持率是多少？产品：不合格率是多少？环境：污染程度如何？市场：品种、价格、质量状况、购买力等情况的了解。在这一章里，你将会了解到样本是怎样抽取的，样本统计量是怎样分布的，如何根据样本统计量对总体参数做估计。10/19/20223统计学院第六章抽样和抽样分布STAT第一节抽样及抽样组织形式[例]某养猪场共有存栏肉猪10000头，现欲了解这批肉猪平均每头毛重，如果将每头肉猪都过称去称而获取数据将是不合算的。我们可以按照“等机会原则”从中抽出100头肉猪称其重量，计算这100头猪的平均每头毛重，以达到我们期望的目的。本例中存栏肉猪10000头组成的总体，则称为全及总体，它是指在统计抽样中所要了解的研究对象整体，又称为母体，当我确定了研究目标时，它具有惟一性。一般全及总体的单位总数用N表示，称作总体容量。10/19/20224统计学院第六章抽样和抽样分布STAT本例中所抽出的100头肉猪组成的总体，则称为样本总体，它是指在统计抽样中按照“等机会原则”从全及总体的N(10000)中抽出的部分单位(每个单位称作样本单位)所组成的整体，简称样本，又称子样。一般样本总体的单位总数用n(100)表示，称作样本容量。样本总体则不具惟一性，它的可能个数与N、n及抽样方法有关。通常n<30称为小样本，n>30称为大样本，在抽样调查中取大或小样本会直接影响到抽样分布的特征。[例]某养猪场共有存栏肉猪10000头，现欲了解这批肉猪平均每头毛重(设为)，如果将每头肉猪过称去称而获取数据将是不合算的。我们可以按照“等机会原则”从中抽出100头称其重量，计算出这100头猪的平均毛重(假定平均每头95.5kg)，以达到我们期望的目的。10/19/20225统计学院一、统计抽样的几个基本概念1、全及总体和样本总体

全及总体：研究对象全体，又称母体。容量用N表示。具备惟一性。

样本总体：按随机原则从总体中抽出的部分单位的全体，简称样本，被抽出的每个单位称样本单位。容量用n表示。样本不具惟一性。第六章抽样和抽样分布10/19/20226统计学院第六章抽样和抽样分布STAT2、总体参数和样本统计量根据全及总体各单位变量值计算的反映全及总体某数量特征的综合指标，由于全及总体唯一确定，故称总体参数。如上例中的根据样本总体各单位变量值计算的反映样本总体某数量特征的综合指标，由于样本总体不具惟一性，故称为样本统计量，它是一个随机变量。如上例中的100头肉猪的平均每头毛重(95.5kg)10/19/20227统计学院第六章抽样和抽样分布3、放回抽样与不放回抽样从全及总体中抽取样本有两种方法——放回抽样和不放回抽样。放回抽样，抽样安排---对每次被抽到的单位经登记后再放回总体，重新参与下一次抽选的抽样方法。在每次的抽取中样本单位被抽中的概率都等于统计中称这样的抽样为相互独立的试验。不放回抽样，抽样安排---对被抽到的单位登记后不再放回总体的抽样方法。不放回抽样与放回抽样比较，每次抽样的条件是不同的，前一次的抽取结果会对后一次的抽取产生影响，统计中称这样的抽样为相互不独立的试验。注意：二种方法都遵循了“等机会原则”10/19/20228统计学院第六章抽样和抽样分布二、简单随机抽样

简单随机抽样也称为纯随机抽样。它是对总体单位不做任何分类或排队，直接从总体中按“随机原则”抽取样本单位的调查方式。其样本抽取过程按总体为有限和无限的不同加以区别1、有限总体抽样从容量为N的有限总体中进行抽样，如果容量为n的每个可能样本被抽到的可能性相等，则称被抽的样本为简单随机样本。10/19/20229统计学院第六章抽样和抽样分布

为了便于抽取样本单位，一般在明确抽样框的条件下，对总体的每个单位都要编号，然后用抽签式或利用《随机数字表》进行抽取。

例如：N=500n=10编码从1-500号在随机数表中随意点二个数字，得到54-50=4行，34列。则选取的号码从这个被选中的数开始，由于500是个三位数，则小于500的连续三位数即为中选号码。见表中所示。10/19/202210统计学院第六章抽样和抽样分布10/19/202211统计学院第六章抽样和抽样分布2、无限总体抽样在实际应用中，若总体单位数很多，要逐一编号是难以办到的，特别是有些现象，事前也不可能编号(如一些连续大量正在生产的产品)因此我们定义：被研究的总体中所涉及某一正在进行的过程使得不可能列出总体中的所有元素，则可视为无限总体。无限总体抽样条件：同一总体相互独立10/19/202212统计学院第六章抽样和抽样分布三、点估计点估计就是用样本估计量的一个具体观测值直接作为总体的未知参数的估计值的方法。如上例中随机抽取的100头肉猪的平均毛重(95.5kg)可作为10000头肉猪平均毛重的点估计值常用的估计量有：(1)样本平均数为总体平均数的估计量；(2)样本方差为总体方差的估计量；(3)样本成数为总体成数P估计量。10/19/202213统计学院第六章抽样和抽样分布

在对总体特征做出估计时，并非所有估计量都是优良的，从而产生了评价估计量是否优良的标准。作为优良的估计量应该符合如下三个标准：

无偏性一致性有效性10/19/202214统计学院第六章抽样和抽样分布1、无偏性如果样本某统计量的数学期望值等于其所估计的总体参数真值，则这个估计统计量就叫做该总体参数的无偏估计量。如样本平均数的数学期望是总体平均数，则样本均值是总体均值的无偏估计量。这里无偏估计量是指没有系统偏差(非随机偏差)的平均意义上的量，即如果说一个估计量是无偏性的，并不是保证用于单独一次估计中没有随机性误差，只是没有系统性偏差而已。这是一个优良估计量的重要条件。若以代表被估计的总体参数，代表的无偏估计量则有：10/19/202215统计学院第六章抽样及抽样分布STAT（1）总体平均数、总体成数P的无偏估计量[例]总体A、B、C三人年龄为：1,2,3，N=3n=2。=2岁10/19/202216统计学院第六章抽样及抽样分布STAT（3）总体方差2的无偏估计量[例]总体三人A、B、C的年龄为1,2,3。n=2，求样本方差。10/19/202217统计学院第六章抽样和抽样分布2，一致性若估计量随样本容量n的增大而越来越接近总体参数值时，则称该估计量为被估计参数的一致性估计量。估计量的一致性是从极限意义上讲的，它适用于大样本的情况。如果一个估计量是一致性估计量，那么采用大样本就更加可靠。当然，样本容量n增大时，估计量的一致性会增强，但调查所需的人、财、物力也相应增加。例如，以样本平均数估计总体平均数，符合一致性的要求，即存在如下关系：式中为任意正数。10/19/202218统计学院第六章抽样及抽样分布STAT一致性也称大样本有益性10/19/202219统计学院第六章抽样和抽样分布3．有效性有效性是指无偏估计量中方差最小的估计量。无偏估计量只考虑估计值的平均结果是否等于待估计参数的真值，而不考虑估计的每个可能值及其次数分布与待估计参数真值之间离差大小的离散程度。我们在解决实际问题时，不仅希望估计值是无偏的，更希望这些估计值的离差尽可能地小，即要求比较各无偏估计量中与被估计参数的离差较小的为有效估计量。如样本平均数与中位数都是总体均值的无偏估计量，但在同样的样本容量下，样本平均数是有效的估计量。10/19/202220统计学院第六章抽样及抽样分布STAT有效性：对无偏估计量，方差越小越有效。[例]假定总体参数=6，五次抽样后分别计算样本平均数和样本中位数，其结果如下10/19/202221统计学院第六章抽样和抽样分布第二节抽样分布从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，再从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为这个统计量的抽样分布。在抽样推断中，无论是总体，还是样本，都可以用平均数、比率(或成数)、标准差和方差等指标来描述它们的特征。当它们用来描述样本的特征时，称为样本统计量；当它们用来描述总体特征时，称为总体参数。构造抽样分布包括以下几个步骤：(1)从容量为N的有限总体中随机抽出容量为n的所有可能样本；(2)算出每个样本的统计量数值；(3)算出每个样本统计量数值相对应的概率10/19/202222统计学院例：在一箱（5×50×200=50000支）卷烟中随机抽出40支测量烟丝重量X，然后对这箱卷烟的烟丝重量进行分析。样本样本指标N=50000n=40放回抽样不放回抽样X1、X2、…XN10/19/202223统计学院第六章抽样和抽样分布如果将整理成分布数列，得到以下形式：样本平均数概率（频率）p1p2pk形成了抽样分布表下面再以一个简单实例来说明抽样分布的形成10/19/202224统计学院考察一个N=6的总体(6点的骰子)，其原始分布属于均匀分布：X123456P1/61/61/61/61/61/6

从这个总体中有放回地抽取n=2的样本(二个骰子同时抛点数)，所有可能的样本总数为Nn=36，假定要通过样本估计总体的均值，则所有36个可能结果为：第一次第二次123456111.522.533.521.522.533.54322.533.544.542.533.544.55533.544.555.563.544.555.5610/19/202225统计学院样本均值的分布整理成：11.522.533.544.555.56p1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36用图示反映其分布状况如：10/19/202226统计学院第六章抽样和抽样分布如果我们将抽取简单随机样本的过程看成是一个试验，那么，样本均值就是该试验结果的数量描述。因而，样本均值就是—个随机变量。因此，与其他随机变量一样，具有平均数、期望值、方差和概率分布。因为的各种可能取值是不同简单随机抽样的结果，所以的概率分布称为的抽样分布。对于这个抽样分布及其特征的了解，可以使我们能够对样本均值与总体均值的接近程度进行概率描述。实践中，我们只从总体中抽取一个简单随机样本，抽样分布是理论分布，重要的是我们必须掌握它的特征。10/19/202227统计学院第六章抽样和抽样分布第三节的抽样分布如前所述，样本均值所有可能取值的概率分布一、的期望值和标准差1、期望10/19/202228统计学院第六章抽样和抽样分布[例]总体A、B、C三人年龄为：1,2,3，N=3n=2。=2岁结论是:10/19/202229统计学院第六章抽样和抽样分布2.样本标准误差（）定义：所有样本统计量抽样误差的平均数，（采用标准的计算形式）。A：抽样统计量的抽样标准误差B：抽样成数P的抽样标准误差10/19/202230统计学院第六章抽样和抽样分布抽样平均误差的计算（1）抽样平均数度的抽样平均误差A、重复抽样10/19/202231统计学院第六章抽样和抽样分布B、不重复抽样10/19/202232统计学院第六章抽样和抽样分布有限总体无限总体有限总体中为校正因子，一般可简写为一般当抽样比小于等于5％时，校正因子可忽略不计。10/19/202233统计学院第六章抽样和抽样分布二、中心极限定理（总体分布未知）当样本容量n>30，则不论是否已知总体分布状态，样本平均数的分布趋近正态分布，而且其分布比总体分布更集中，即

其中为样本平均数的方差，为总体方差定理：设X是具有期望值为，方差为的任意总体，则样本平均数的抽样分布，将随着n的增大而趋于正态分布，分布形式（参数）为~N（）--------中心极限定理10/19/202234统计学院第六章抽样和抽样分布正态分布1401501601701801900.50.40.30.20.1身高(以已知总体为例)10/19/202235统计学院调整：“频率密度”（频率/组距）“频率”；

直方或折线覆盖下的面积=1140150160170180190身高0.050.040.030.020.0110/19/202236统计学院当组数n无穷大，折线曲线。身高1401501601701801900.050.040.030.020.0110/19/202237统计学院注：参数、不同分布的形状与位置不同。10/19/202238统计学院x1x2-Z0Z容易证明得到10/19/202239统计学院162

170178-z/2

0

z/210/19/202240统计学院第四节的抽样分布样本比例的所有可能取值的概率分布一、的期望值和标准差P---总体比例1、期望2、标准差的标准差又称比例的标准误计算式如下：有限总体无限总体根据中心极限定理，当样本容量n很大时，可视的分布为正态分布。条件：10/19/202241统计学院第六章抽样和抽样分布定理：设p是具有期望值为P，方差为P(1-P)的任意总体，则样本比例的抽样分布，将随着n的增大而趋于正态分布，分布形式（参数）为~N（）--------中心极限定理注：研究样本比例的抽样分布时，可以把它作为平均数的特例来进行分析。10/19/202242统计学院第六章抽样和抽样分布例：从一批产品中抽出200件，检验出10件不合格，问样本比例在总体比例的范围内的概率有多大？例中n为200，且大样本下，当总体未知，可用样本估计值替代查标准正态分布表，得概率为95.45％10/19/202243统计学院第六章抽样和抽样分布

第五节其他抽样方法

抽样组织方式是指在抽样时对总体的加工整理形式。根据对总体的加工整理形式不同，在抽样调查中抽样的组织方式很多，除简单随机抽样外，还有类型抽样、等距抽样、整群抽样、多阶段抽样、方便抽样和判断抽样等其他抽样方法。一、类型抽样类型抽样又称分层抽样或分类抽样。它是先将总体的全部单按照某个标志分成若干组，然后在各组中采用简单随机抽样方式或其他方式抽取样本单位的抽样组织方式。10/19/202244统计学院[例]10人年龄资料如下。N=10n=3，推断总体平均年龄。人：ABC

DEFG

HIJ年龄：5812

40424648

707276[简单随机抽样]（B、H、I），（C、D、E

），（F、G、I）结论：总体变异较大时类型抽样。[类型抽样]（B、E、I），（C、D、H

），（A、G、J）第六章抽样和抽样分布10/19/202245统计学院类型抽样是应用于总体内各单位在被研究标志上有明显差别的抽样，如研究农作物产量时，耕地有平原、丘陵和山地等；研究职工的工资水平时，各行业之间有明显的差别。类型抽样实质上是把统计分组和抽样原理有机结合的抽样组织方式。通过分组，可以使组中具有同质性，组间具有差异性，然后从各组中简单随机抽样。这样可以保证样本对总体具有更高的代表性，所以计算出的抽样误差就比较小。类型抽样应掌握的主要原则是：分组时应使组内差异尽可能小，使组间差异尽可能大。

第六章抽样和抽样分布10/19/202246统计学院1、2、3、…、i、…、Ki+2Ki+(n-1)Kn二、等距抽样

等距抽样又称为机械抽样或系统抽样。它是先将总体各单位按某一标志顺序排列，然后按照固定的顺序和相同的间隔来抽取样本单位的抽样组织方式。设全及总体有N个单位，现在需要抽取一个容量为n的样本，可以将总体单位N按一定标志排队，然后将N划分为n个单位相等的部分，每一部分都包含K个单位，即N/n=K。在第一部分K个单位中（顺序为1、2、3、…、i、…、K）随机抽取一个单位i，而在第二部分中抽取第i+K单位。第三部分中抽取第i+2K单位……在第n部分抽取第i+(n-1)K单位，共n个单位组成一个样本，而且每个样本的间隔均为K，这种抽样方法称等距抽样。10/19/202247统计学院等距抽样的随机性表现在抽取第一个样本单位上，当第一个单位确定后，其余各个单位的位置也就确定了。等距抽样可以分为无关标志排序抽样和有关标志排序抽样两类。

无关标志排序抽样是指排序的标志与被研究的标志无关，如：观察学生考试成绩用姓氏笔划；观察产品质量按生产的先后顺序等。无关标志排序可以保证抽样的随机性，它实质上相当于简单随机抽样。

有关标志排序抽样是指排序的标志与被研究标志相关。

在对总体各单位的变异情况有所了解的情况下，也可以采用有关标志进行总体单位排列，使各单位的排列顺序和它的变量数值大小保持密切的关系。第六章抽样和抽样分布10/19/202248统计学院如：农产量抽样调查，可利用各县或各乡当年估计亩产或最近三年平均亩产标志排队，抽取调查单位；又如职工家计调查，可按职工平均工资排队，抽取调查企业或调查户。由此可见，按有关标志排序实质上是运用类型抽样的一些特点，有利于提高样本的代表性。但也必须注意到，等距抽样在排序时，第一个样本单位的位置确定后，其余单位也随之确定，因此要避免抽样间隔和现象本身的周期性节奏相重合，引起系统性的影响。第六章抽样和抽样分布10/19/202249统计学院三、整群抽样整群抽样又称为分群抽样或集团抽样。它是将总体划分为若干群，然后以群为单位从中按简单随机抽样方式或等距抽样方式抽取部分群，对中选群中的所有单位一一进行调查的抽样组织方式。第六章抽样和抽样分布ABCDEFGHIJKLNOPLHPD1、按某种标志或要求将总体区分为若干群（R），群内单位数（M）相等；2、采取不重复抽样方式从R群随机抽出r群，尔后对样本群进行全面调查以推断总体。总体群数R样本群数r10/19/202250统计学院

在大规模的抽样调查中，如果总体单位多且分布区域广，缺少进行抽样的抽样框，或者在按经济效益原则不宜编制这种抽样框的情况下，宜采用整群抽样方式。整群抽样中的群主要是自然形成的，如按行政区域、地理区域划分群。整群抽样和其他抽样组织方式比较，在相同的条件下，抽样误差较大，代表性较低。在统计工作实践中采用整群抽样时，一般都要比其他抽样方式抽样更多的单位，借以降低抽样误差，提高抽样结果的准确程度。第六章抽样和抽样分布10/19/202251统计学院四、多阶段抽样多阶段抽样又称多级抽样。它是将抽取样本单位的过程划分为几个阶段，然后逐阶段抽取样本单位的抽样组织方式。

如果先将总体进行分组，从中随机抽出一些组，然后再从中选的组中随机抽取总体单位，称为二阶段抽样，如整群抽样随机抽出群，再从群中随机抽出样本单位就是二阶段抽样。如果将总体进行多层次分组，然后依次在各层中随机抽取，直到抽到总体单位，就称为多阶段抽样，如我国农产量调查就是采用多阶段抽样调查，即先从省中抽县，然后从中选县抽乡，乡中抽村，再由中选村中抽地块，最后从中选的地块中抽取小面积的样本单位。

当总体单位很多且分布广泛，几乎不可能从总体中直接抽取总体单位时，常采用多阶段抽样。其优点在于：首先，便于组织抽样。它可以按现有的行政区划或地理区域划分各阶段的抽样单元，从而简化抽样框的编制。10/19/202252统计学院

其次，可以获得各阶段单元的调查资料，即根据最初级资料可进行逐级抽样推断，得到各级的调查资料。如农产量调查，可根据样本推断地块资料，根据地块资料可推断村的资料，然后依次推断乡、县等。第三，多阶段抽样的方式比较灵活，各阶段抽样的组织方式可以前述四种为依据进行选择。一般在初级阶段抽样时多用类型抽样和等距抽样，在次级阶段抽样时多用等距抽样和简单随机抽样。同时，还可以根据各阶段的不同特点，采用不同的抽样比。如方差大的阶段，抽样比大一些；方差小的阶段，抽样比小一些。而且多阶段抽样在简化抽样工作的同时，抽样单位的分布较广，具有较强的代表性。五、非概率抽样方便抽样判断抽样10/19/202253统计学院课堂练习1、某公司出口一种名茶，规定每包规格重量不低于150g，现用简单随机抽样方法抽取其中1%进行检验，结果如下（1）试以99.73%的概率保证程度估计这批茶叶平均每包的重量范围。（2）试以同样的概率保证程度