多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限limX2y=(提示：令y二k2x2)(B)xTOx4+y2yT0(A)等于0(B)不存在(C)等于12(D)存在且不等于0或-2、设函数f(x,y)=llxsin—+ysin—yxxy丰0，则极限limf(x,y)=(C)0xy=0xT0yt0(提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)不存在(B)等于1(C)等于0(D)等于23、设函数f(x,y)=<Jx2+y23、设函数f(x,y)=<Jx2+y20A)，则f(x,y)x2+y2=0(提示：①在x2+y2丰0,f(x,y)处处连续；②在xT0,yT0，令y=kx,lim=lim=0=f(0,0)，故在x2+y2=0，函数亦连续.所以，xt0x/x2+k2x2xt0Jl+k2yt0f(x,y)在整个定义域内处处连续.)(A)处处连续(B)处处有极限，但不连续(C)仅在(0,0)点连续(D)除(0,0)点外处处连续4、函数z=f(x,y)在点(x,y)处具有偏导数是它在该点存在全微分的(A)00(A)必要而非充分条件(C)充分必要条件充分而非必要条件(A)必要而非充分条件(C)充分必要条件充分而非必要条件(D)既非充分又非必要条件(B)xOx(A)x(B)yx2+y2x2+y26、设f(x,y)=arcsin-，贝f'(2,1)=xx(A)-1(B)1447、设z=arctan—，x=u+v，y=u-vy5、设u=arctan—，贝V竺=(C)y(D)—xx2+y2x2+y2(A)C)1(D)122，则z+z=uv(C)(A)U一Vu2—v2(B)V(A)U一Vu2—v2(B)V一Uu2—v2(C)u一vu2+v2D)v—uu2+v23(A)x+-23(B)x—-2(C)2x+1(D)—2x+1D)8、若f(x,2x)=x2+3x,f'(x,2x)=6x+1，则f'(x,2x)=9、设z=yx，则(星+||)(2,1)=(A)2(B)1+ln2(C)(A)2(B)1+ln2(C)0(D)110、设z=xye-xy，则z'(x，—x)=x(A)—2x(1+x2)ex2(B)2x(1—x2)ex2(C)—x(1—x2)e(A)—2x(1+x2)ex2(B)2x(1—x2)ex2(C)—x(1—x2)ex2(D)—x(1+x2)ex211、曲线x=2sint,y=4cost,z=t在点(2,0,—)处的法平面方程是2(A)2x—z=4—(B)2x—z=—4(C)4y—22z=一2(D)4y12、曲线4x二y5,y=-Jz,在点(8,2,4)处的切线方程是A)(A)H=y—2=口204(C)口=y—2=口54(B)=y=204x—3z=y—1=—4(D)513、曲面xcosz+ycosx——z=—在点f—,1——,0(A)x一z=兀一114、曲面x2yz-xy2z3处的切平面方程为(B)x—y=兀一1(C)x一y=2(D)=6在点(3,2,1)处的法线方程为z—19⑷孚=诗=—18z—1⑻乎=诗=—18D)A)(C)8x(C)8x—3y—18z二0(D)8x+3y—18z二1215、设函数z=1—Jx2+15、设函数z=1—Jx2+y2，贝U点(0,0)是函数B)(A)极大值点但非最大值点B)极大值点且是最大值点(C)极小值点但非最小值点D)极小值点且是最小值点16、设函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数，在P(x,y)处，有000f(P)=0,f(P)=0,f(P)=f(P)=0,f(P)=f(P)=2，贝(C)x0y0xx0yy0xy0yx0

(A)点P是函数z的极大值点(B)点P是函数z的极小值点00点P非函数z的极值点(D)条件不够，无法判定017、函数f(x,y,z)=z-2在4x2+2y2+z2=1条件下的极大值是(C)(A)1(B)0(C)-1(D)-2二、、填空题1、极限limSin(xy)=•答：兀xtOxyT兀2、极限limln(y+ex2)=.答：ln2xT0fx2+y2y^i'3、函数z=Jln(x+y)的定义域为•答：x+y>14、函数z=竺沁的定义域为•答：-1<x<1,y丰0y(yA5、设函数f(x,y)=x2+y2+xyln—，则f(kx,ky)=.答：k2-f(x,y)Vx丿6、设函数f(x,y)=，则f(x+y,x-y)=x+y•答：x6、设函数f(x,y)=，则f(x+y,x-y)=x+y•答：x2-y22x(Qf(x+y,x-y)二(x+y)(x—y)(x+y)+(x-y)x2-y22x7、设f(x,y)=ln(1-x2-y2)AA=•答：-ln2厂tan(x2+y2)8、设f(x,y)=x2+y2A则A=•答：19、函数z="+y2的间断点是x-110、x2+y2<1/2，要使f(x,y)处处连续，则x2+y2>1/2(x,y)丰(0,0)，要使f(x,y)在(0，0)处连续,(x,y)二(0,0)•答：直线x-1二0上的所有点-cos丄的间断点为x2-y2x.答：直线y=±x及x=011、Oz设z=sin(3x-y)+y，贝V—Oxx=2y=1.答：3cos512、设f(11、Oz设z=sin(3x-y)+y，贝V—Oxx=2y=1.答：3cos512、设f(x,y)=辭2+y2，则f(0,1).答：113、14、15、16、17、18、，则du|(1,2,3)'.答：3dx-—dy-^ln2dz8168则在极坐标系下’O=设u=xy+兰，则旦=xOx2设u=xlnxy'则詈=.答：0•答：吕函数y=y(x)由1+x2y=ey所确定，则乜=dx.答：2xyey一x2月7设函数z=z(x,y)由方程xy2z=x+y+z所确定，则一二oy.答：2xyz一11-xy219、由方程xyz+*x2+y2+z2=■■,；2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,—l)处的全微分dz=.答:dx一J2dy20、曲线x=12,y=2t,z=+13在点(1,2,*处的切线方程是x一1y一21答：==z一22321、曲线x=2te21,y=3e21,z=t2e21在对应于t=-1点处的法平面方程是答：x一3y+11e-2=0222、曲面xey+y2e2z+z3e3x=+1在点(2,-1,0)处的法线方程为e答：y+答：y+12-2e2e.答：23、曲面arctan去=4在点(-2丄0)处的切平面方程是.答：y+2z二124、设函数z二z(x,y)由方程—x2+3xy-y2-5x+5y+ez+2z=4确定，则函数z2的驻点是.答：(－1，2)27、函数z=2x2-3y2-4x一6y一1的驻点是.答：(1,1)25、若函数f(x,y)=x2+2xy+3y2+ax+by+6在点(1,-1)处取得极值，则常数a=，b=.答：a=0，b=426、函数f(x,y,z)=-2x2在x2-y2-2z2=2条件下的极大值是答:-4三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1)z=J1一x2-y2(2)z=ln(x+y)(3)z=-(4)z=ln(xy一1)ln(x+y)解：(1)要使函数z=；1-x2-y2有意义，必须有1-x2-y2>0，即有x2+y2<1.故所求函数的定义域为D={(x,y)1x2+y2<1},图形为图3.1(2)要使函数z=ln(x+y)有意义，必须有x+y>0.故所有函数的定义域为D={(x,y)lx+y>0},图形为图3.2要使函数z=有意义，必须有ln(x+y)丰0，即x+y>0且ln(x+y)x+y丰1.故该函数的定义域为D={(x,y)lx+y>0,x+y丰1}，图形为图3.3要使函数z=ln(xy-1)有意义，必须有xy-1>0.故该函数的定义域为D={(x,y)|xy>1}，图形为图3.4图3.1图图3.1图3.2TOC\o"1-5"\h\z2、求极限limXxtoJxy+1—1yto解：lim-Zd二limy血2X•(丙+D=4xtoJxy+1—1xtoxyyT0yTOsin(xy)3、求极限lim1x2y+1sin(xy)xTox3y2yTo解：原式=limxT解：原式=limxToyTo—x2yx3y2(1+\：x2y+1)sin(xy)=limxt01+寸x2y+1ytosin(xy)1xy24、求极限lim雲=.xto4—、$16+xyytO解：limxye__lim叱(45)=-8xTo卜xyxto—xyyT0yTO5、设u_xsiny+ycosx，求u,u.xy解：u_siny—ysinxu_xcosy+cosxxy6、设z_xey+ye—x，求z,z.xy解：z解：z_ey—ye—xxz_xey+e—xy7、设函数z_z(x,y)由yz+zx+xy_3所确定，试求$(其中x+y丰0).dxdyz+xy+z+xy+xy竺+x竺+z+y_0，则竺_-土同理可得：竺_

dxdxdxy+xdy解二：

fixF8、求函数z二2x2—3xy+2y2+4x—3y+1的极值.F解：，得驻点(—1,0)Iz=4x一3y+解：，得驻点(—1,0)由V=_3x+4y—3=0D=zz4—D=zz4—3xxxy=zz—34=7>0yxyyz=4>0，函数z在点(—1,0)处取极小值z(—1,0)=_1.xx9、设z=e3x+2y，而x=cost,y=12，求空.dtdz解：——=3e3x+2y(—sint)+2e3x+2y(2t)=(—3sint+4t)e3x+2ydtfizfiz10、设z=yxln(xy)，求一,一.fixfiy解：z=yxIny-lnxy+丄yxz=xyx—1ln(xy)+丄yx解：xxyy11、设u=ax+yz一lnxa(a>0)，求du.fiufiufiu:——=ax+yzlna—ax—1，=ax+yz-zIna，=yax+yzlnafixfiyfizdu=(ax+yzlna—ax—1)dx+ax+yzlna(zdy+ydz)12、求函数z=ln(x2+y2+exy)的全微分.解：fix2x+yexy

x解：fix2x+yexy

x2+y2+exy2y+xexyx2+y2+exydz=1x2+y2+exy+yexy)dx+(2y+xexy)dy四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z米.水池底部的单位造价为a则水池造价S=(xy+4xz+4yz)a且xyz=128令L=xy+4xz+4yz+X(xyz一128)L=y+4z+九yz=0xL=x+4z+Axz=0vyL=4x+4y+入xy=0zL=xyz一128=0i九得x=y=8z=2由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x和y(件)，总成本函数C(x,y)=8x2一xy+12y2(兀).商品的限额为x+y=42，求最小成本.解：约束条件为申(x,y)=x+y-42=0，构造拉格朗日函数F(x,y,九)=8x2-xy+12y2+九(x+y一42)，F'=16x—y+X=0x解方程组VF'=-x+24y+X=0，得唯一驻点(x,y)=(25,17)，yF'=x+y一42=0X由实际情况知，(x,y)=(25,17)就是使总成本最小的点，最小成本为C(25,17)=8043(元).3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：L(x,y)表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利U润目标函数L(x,y)=(10x+9y)—[400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)]=8x+6y—0.01(3x2+xy+3y2)—400,(x>0,y>0)，

IL'=8-0.01(6x+y)=0令xRR、门，解得唯一驻点(120,80).IL'=6-0.01(x+6y)=0y又因A二L"=-0.06<0,B二L"=-0.01,C=L"=-0.06，得xxxyyyAC-B2=3.5x10-3>0.得极大值L(120,80)=320.根据实际情况，此极大值就是最大值.故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题TOC\o"1-5"\h\z1、设z=eTy),求证x2李+y2车=2z.oxoy证明：因为麥=e-(片•丄，Oz=e-(片.丄，所