圆周运动中的临界问题

1、圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题对于水平面内匀速圆周运动的临界问题，波及的是临界速度与临界力的问题，详细来说，主假如与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力相关。1、与绳的拉力相关的临界问题A例1如图1示，两绳系一质量为m0.1kg的小球，上边绳长l2m，两头都拉直时与轴的夹角分别为B30O30o与45o，问球的角速度在什么范围内，两绳一直张紧，45O当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大C图12、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2如图2所示，细绳一端系着质量为M0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端经过圆滑小孔吊着MrO质量为m0.3kg的物体，M的中

2、心与圆孔距离为0.2m，并知M与水平面间的最大静摩擦力为2N，现让此平面m绕中心轴匀速转动，问转动的角速度知足什么条件图2可让m处于静止状态。（g10m/s2）3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体经过最高点和最低点的状况，而且也常常会出现临界状态。1、轻绳模型过最高点如下图，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的状况，与小球在竖直平面内圆滑轨道内侧做圆周运动过最到点的状况相像，都属于无支撑的种类。临界条件：假定小球抵达最高点时速度为v0，此时绳索的拉力（轨道的弹力）2恰巧等于零，小球的重力独自供给

3、其做圆周运动的向心力，即mgmv0，rv0gr，式中的v0是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。1）vv0（恰巧到最高点，轻绳无拉力）2）vv0（能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）3）vv0（实质上小球还没有到最高点就已经离开了轨道）例4、如图4所示，一根轻绳尾端系一个质量为m1kg的小球，绳的长度l0.4m，轻绳能够承受的最大拉力为Fmax100N，O此刻最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O为圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完好v0的圆周运动且轻绳不停，小球的初速度应知足什么条件（2）图4g10m/s2、轻杆模型过最高点如下图，轻杆尾端固定一小球在竖直

4、平面内做圆周运动过最高点的状况，与小球在竖直搁置的圆形管道内过最到点的状况相像，都属于有支撑的种类。临界条件：由剖析可知，小球在最高点的向心力是由重力和轻杆（管壁）的作使劲的协力供给的，假如在最高点轻杆（管壁）对小球的作使劲与重力恰巧平衡，那么此时外界供给的向心力为零，即小球过最高点的刹时速度能够为零，所以小球过最高点的临界速度为v00。（1）v0，轻杆（管壁）对小球有向上的支持力FN，且FNmg（2）0vgr，轻杆（管壁）对小球有向上的支持力FN，由mgFNmv2，r可得FNmgmv2，FN随v的增大而减小，0FNmgr（3）vgr，重力独自供给向心力，轻杆（管壁）对小球没有力的作用（4）v

5、gr，轻杆（管壁）对小球施加向下的拉力（压力），由mgF拉mv2，r可得F拉mv2mg，且F拉跟着v的增大而增大r例5、如图5所示，半径为R，内径很小的圆滑半圆管竖直放C置，AB段平直，质量为m的小球以水平初速度v0射入圆管。R（1）若要小球能从C端出来，初速度v0多大AB图52）在小球从C端出来瞬时，对管壁的压力有哪几种典型状况，初速度v0各应知足什么条件3、汽车过拱桥如下图，汽车过拱形桥顶时，由汽车的重力和桥面对汽车的支持力的协力供给其最高点的向心力，由mgFNmv2，可得FNmgmv2，因而可知，rr桥面对汽车的支持力跟着汽车速度的增大而减小，假如速度增大到某一个值v0，会出现桥面对汽车

6、的支持力为零，即v0gr是汽车安全过拱桥顶的临界速度。1）0vgr，汽车不会离开拱形桥且能过最高点2）vgr，因桥面对汽车的支持力为零，此时汽车恰巧离开桥面做平抛运动3）vgr，汽车将离开桥面，特别危险例6、如图6所示，汽车质量为m1.5104kg，以不变的速率经过凸形路面，路面半径为R15m，若要让汽车安全行驶，则汽车在最高点的临界速度是多少假如汽车经过最高点的速度恰巧为临界速度，那么接下来汽车做什么运动，图6水平运动的位移是多少（g10m/s2）例题1分析：（1）当角速度很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC其实不张紧。当渐渐增大到30o时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的

7、张力仍旧为零。设这时的角速度为1，则有：TACcos30omgTACsin30om12lsin30o将已知条件代入上式解得12.4rad/s（2）当角速度持续增大时TAC减小，TBC增大。设角速度达到2时，TAC0（这又是一个临界状态），则有：TBCcos45omgTBCsin45om2lsin30o2将已知条件代入上式解得23.16rad/s所以当知足2.4rad/s3.16rad/s，AC、BC两绳一直张紧。本题所给条件3rad/s，说明此时两绳拉力TAC、TBC都存在。则有：TACsin30oTBCsin45om2lsin30oTACcos30oTBCcos45omg将数据代入上边两式解

8、得TAC0.27N，TBC1.09N注意：解题时注意圆心的地点（半径的大小）。假如2.4rad/s时，TBC0，AC与轴的夹角小于30o。假如3.16rad/s时，TAC0，BC与轴的夹角大于45o。例题2分析：由剖析可知，假如平面不转动，M会被拉向圆孔，即m不可以处于静止状态。当平面转动的角速度较小时，M与水平面保持相对静止但有着向圆心运动的趋向，此时水平面对M的静摩擦力方向背向圆心，依据牛顿第二定律，对于M有：F拉f静M12r，可见跟着静摩擦力的增大，角速度渐渐减小，当静摩擦力增大到最大值时，角速度减小到最小，即当静摩擦力背向圆心且最大，此时的角速度1是最小的临界角速度，1(F拉fmax)

9、(Mr)2.9rad/s；当平面转动的角速度较大时，M与水平面保持相对静止但有着远离圆心运动的趋向，此时水平面对M的静摩擦力方向指向圆心，依据牛顿第二定律，对于M有：F拉f静M22r，可见跟着静摩擦力的增大，角速度渐渐增大，当静摩擦力增大到最大值时，角速度增大到最大，即当静摩擦力指向圆心且最大，此时的角速度2是最大的临界角速度，2(F拉fmax)(Mr)6.5rad/s。故要让m保持静止状态，平面转动的角速度知足：2.9rad/s6.5rad/s例题3分析：物体在圆滑锥面上绕轴线做匀速圆周运动，往常状况下受重力、绳的拉力和锥面的支持力，正交分解各个力。水平方向：FTsinFNcosmv2lsi

10、n竖直方向：FTcosFNsinmg由得FNmgsinmv2coslsin由式能够看出，当、l、m一准时，v越大，FN越小，当线速度增大到某一个值v0时，能使FN0，此时物体与锥面接触又恰巧没有互相作用，那么v0就是锥面对物体有无支持力的临界速度，令式等于零，得v03gl6（1）由于v1v0，物体在锥面上且锥面对物体有支持力，联立两式得FT1mgsinmv121.03mgl（2）由于v2v0，物体已走开锥面，但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为()，物体仅受重力和拉力的作用，这时有FT2v22FT2cosmgsinmlsin由两式得60o，FT22mg分析：题目中给出了

11、两个条件，第一要让小球能够做完好的圆周运动，这个条件的实质是要求小球能够过最高点，这是无支撑的种类，小球过最高点的临界条件是重力供给向心力，此时绳索没有拉力的作用，即mgmv2gl2m/s，再从最高点到最低点列动能定理方程，则l，v有2mgl1mv0121mv2，得v0125m/s，此即小球在最低点的初速度的最小22值。第二个条件是绳索不停，经过剖析很简单知道，绳索在最低点最简单断，只需最低点不停，其余点都不会断。所以在最低点有Fmaxmg2得v026m/smv02所以小球的初速度知足的条件是25m/sv06m/s例题5分析：（1）小球恰巧能达到最高点的条件是v临0，此时需要的初速度为v0知足的条件是，由机械能守恒定律得：1mv022mgR1mv临2，得v04gR,22所以要使小球能从C端出来需vc0，故入射速度v04gR。（2）小球从C出来端出来瞬时，对管壁压力能够有三种典型状况：恰巧对管壁无压力，此时重力恰巧供给向心力，由圆周运动知识mgmvc2由机械能守恒定R律：1mv022mgR1mvc2联立解得v05gR22mvc2对下管壁有压力，此时应有mg，相应的入射速度v0应知足4gRv05gRR对上管壁有压力，此时应有mgmvc2，相应的入射速度v0应知足v05gRR例题6分析