06统计量及其抽样分布

1、数理统计基础从历史的的典籍中中，人们们不难发发现许多多关于钱钱粮、户户口、地地震、水水灾等等等的记载载，说明明人们很很早就开开始了统统计的工工作.但是当时时的统计计，只是是对有关关事实的的简单记记录和整整理，而而没有在在一定理理论的指指导下，作出超超越这些些数据范范围之外外的推断断.到了十九九世纪末末二十世世纪初，随着近近代数学学和概率率论的发发展，才才真正诞诞生了数数理统计计学这门门学科.数理统计计学数理统计计学是一一门应用用性很强强的学科科.它是研究究怎样以以有效的方方式收集、整整理和和分析带有随机机性的数数据，以便对对所考察察的问题题作出推推断和预预测，直直至为采采取一定定的决策策和行动

2、动提供依依据和建建议.数理统计计的特点点是应用用面广，分支较较多.社会的发发展不断断向统计计提出新新的问题题.计算机的的诞生与与发展，为数据据处理提提供了强强有力的的技术支支持，数数理统计计与计算算机的结结合是必必然的发发展趋势势.数理统计计不同于于一般的的资料统统计，它它更侧重重于应用用随机现现象本身身的规律律性进行行资料的的收集、整理和和分析.由于大量量随机现现象必然然呈现出出它的规规律性，因而从从理论上上讲，只只要对随随机现象象进行足足够多次次观察，被研究究的随机机现象的的规律性性一定能能清楚地地呈现出出来.只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说, 我们获得的只是局部观察资

3、料.但客观上数理统计计的任务务就是研研究怎样样有效地地收集、整理、分析所所获得的的有限的资料，对所研研究的问问题,尽可能地地作出精精确而可可靠的结结论.由于推断断是基于于抽样数数据，抽抽样数据据又不能能包括研研究对象象的全部部信息.因而由此此获得的的结论必必然包含含不肯定定性.在数理统统计中，不是对对所研究究的对象象全体(称为总体)进行观察察，而是是抽取其其中的部部分(称为样本)进行观察察获得数数据（抽样），并通通过这些些数据对对总体进进行推断断.下面我们们以一例例进行说说明：某种子公公司A，栽种了几几种类别别的鲜鲜花，收收获了大大量的花花籽，并把每25粒花籽扎扎成一小小包出售售.一个零售售商

4、批发发了若干干包，并并向顾客客保证：在每包包25粒花籽中中至少有有22粒将能发发芽，否否则的话话可免费费调换另另一包.每包要是是有3粒不发芽，马马上免费费退换！每包25粒每包25粒中至少有22粒将发芽所有的包包都如此吗？这种类型型的不肯肯定性，即不知知道种子子公司出出售的小小包中可可接受的的比例，它是由由于对总总体的真真实状态态（天然然状态）无知所所引起的的不肯定定性.零售商面面临如下下两种类类型的不不肯定性性：(1) 他对种子公司出售的小包中可接受（即至少有22粒花籽将发芽）的包数所占比例 是不清楚的. 这是第一类不肯定性.(2)由于种子子公司出出售的花花籽的货货单上，这类花花籽共有有一百万

5、万包，而而零售商商只购买买了200包，那些包是可接受的呢？这就是尽管他知道了一百万包可接受的比例 ，但对他所购买的200包，其中可接受的比例仍旧没有“把握”.从中购买200包共100万包因此他又又面临着着另一类类不肯定定性；零售商购购买的200包仍有可可能“碰碰巧”是是从不可可接受的的一万包包中选取取的.那些包是可接受的呢？即使 是0.99，即种子公司出售的一百万包中有99万包是可接受的，这样他就就要损失失一笔资资金.从中购买200包共100万包这一类不不肯定性性是由于于“随机机性”所所引起的的. 在已知 的条件下，这种不肯定性的程度已在概率论部分作过讨论.下面我们们回到第第一类不不肯定性性：

6、 零售商对种子公司出售的小包中可接受（即至少有22粒花籽将发芽）的包数所占比例 是多少没有把握.零售商能能够根据据试验的的方法（请公司司进行发发芽试验验）来改改善他的的处境.根据试验他能作出天然状况 是多少的决策.这就是抽取部分种籽进行发芽试验，通过这部分中发芽数所占比例（频率)来对 的真值进行推断.(1)怎样设计计试验，决定观观察的数数目；(2)怎样利用用试验观观察的结结果作出出一个“好”的的推断等等.这都是数数理统计计所要研研究的问问题. 虽然他不能精确地和肯定地确定 ， 但可以期望获得一个（在某种意义下）比较好的推断. 这就涉及及到第一个问问题是怎怎样进行行抽样，使抽得得的样本本更合理理

7、,并有更好好的代表表性？这这是抽样样方法和和试验设设计问题题：最简简单易行行的是进进行随机机抽样.第二个问问题是怎怎样从取取得的样样本去推推断总体体？这种种推断具具有多大大的可靠靠性？这是统计推断断问题.本课程着着重讨论论第二个个问题,即最常用用统计推推断方法法.概率论是是数理统统计的基基础，而而数理统统计是概概率论的的重要应应用.但它们是是并列的的两个学学科，并并无从属属关系.可见，在在数理统统计中必必然要用用到概率率论的理理论和方方法.因为随机机抽样的的结果带带有随机机性，不不能不把把它当作作随机现现象来处处理.由此也可可以说，统计方法法具有“部分推断断整体”的特征.在结束本本节之前前，我

8、们们需要强强调说明明一点：因为我们们是从一一小部分分样本观观察值去去推断该该全体对对象（总总体）情情况，即即由部分分推断全全体.这里使用用的推理理方法是是“归纳推理理”.这种归纳推理理不同于数数学中的的“演绎绎推理”，它在作出出结论时时，是根根据所观观察到的的大量个个别情况况，“归纳”起来所所得，而而不是从从一些假假设、命命题、已已知的事事实等出出发，按按一定的的逻辑推推理去得得出来的的.例如，在在几何学学中要证证明“等腰三角角形底角角相等”只须从“等腰”这个前提提出发，运用几几何公理理，一步步一步推推出这个个结论.而一个习习惯于统统计思想想的人，就可能能想出这这样的方方法：做做很多大大小形状

9、状不一的的等腰三三角形，实地测测量其底底角，看看差距如如何，根根据所得得资料看看看可否否作出“底角相等等”的结论.这样做就就是归纳纳式的方方法.现在要问问：从局局部观察察要对总总体下结结论有没没有片面面性呢？结论是是否可靠靠？显然这里里不仅依依赖于进进行局部部观察的的“样本本”是否否具有总总体的代代表性，也依赖赖于对从从这些样样本得到到数据的的合理加加工、分分析并得得出论断断.我们对每每个经过过合理手手续选取取的一个个样品也也应看到到它所具具有的两两重性：一方面它它具有特特殊性，因为它它毕竟是是个别观观察值，不能反反映总体体的全面面性质，有片面面性.因而统计计上往往往不采用用由一次次抽取的的样

10、品来来下结论论.在这个基基础上再再加上科科学的推推断方法法，对总总体下的的结论同同样也是是可靠的的.另一方面面也要看看到“普普遍性即即存在于于特殊性性之中”，即每每个样品品的情况况又必然然反映总总体的一一些普遍遍性.当样品有有一定数数量时总总体的普普遍性是是可以得得到比较较真实的的反映的的.但此时还还应记住住毕竟是是由“局部”推断“整体”，因而而仍可能能犯错误误，结论论往往又又是在某某个“可靠性水水平”之下得得出的.这种矛盾盾的特殊殊性与普普遍性的的辩证统统一在统统计学中中贯穿始始终，是是我们应应该记住住的基本本思想.第二节样样本本及抽样样分布统计量与与经验分分布函数数统计三大大抽样分分布几个

11、重要要的抽样样分布定定理课堂练习习小结布布置作作业由样本值值去推断断总体情情况，需需要对样样本值进进行“加工”，这就就要构造造一些样样本的函函数，它它把样本本中所含含的（某某一方面面）的信信息集中中起来.1.统计量这种不含任何何未知参参数的样样本的函函数称为为统计量量.它是完全全由样本本决定的的量.一、统计计量与经经验分布布函数定义请注意:几个常见见统计量量样本平均均值它反映了了总体均值值的信息样本方差差它反映了了总体方差的信信息样本标准准差它反映了了总体k阶矩的信信息样本k阶原点矩矩样本k阶中心矩矩k=1,2,它反映了了总体k阶中心矩的的信息统计量的的观察值值2.经验分布布函数二、统计计三大

12、抽抽样分布布记为分布1、定义:设相相互互独立,都服从正正态分布布N(0,1),则称随机机变量：所服从的的分布为为自由度为为n的分分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布.分布的密密度函数数为来定义.其中伽玛函数 通过积分注1.设相相互独独立,都服从正正态分布布则这个性质叫 分布的可加性.3若近似正态态分布N(0,1).(应用中心心极限定定理可得得)2设且且X1,X2相互独立立，E(X)=n,D(X)=2n.概率密度度函数为为： 定义: 设XN(0,1) , Y , 且X与Y相互 独立，则称变量所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.2、t分布由定义可见见，3、F分布F(n2,n1)定义: 设

13、U 与V 相互独立，则称随机变量服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第自由度，n2称为第二自由度，记作FF(n1,n2) .即它的数数学期望望并不依依赖于第第一自由由度n1.1.F分布的数数学期望望为:若n22若FF(n1,n2)，F的概率密密度为2.F分布的分分位数三、几个个重要的的抽样分分布定理理当总体为为正态分布布时，给出出几个重重要的抽抽样分布布定理.定理1(样本均值值的分布布) 设 X1, X2, , Xn 是来自正态总体的样本， 是样本均值，则有n取不同值时样本均值 的分布请注意:定理2(样本方差差的分布布)设X1,X2,Xn是来自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有n取不同值时 的分布定理3(样本均值值的分布布) 设X1,X2,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有定理4(两总体样样本均值值差、样样本方差差比的分分布)分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,是来自X的样本,是取自Y的样本