2 对称信息情况下的最优合同

1、2 对称信息情况下的最优合同 委托代理模型是为分析非对称信息情况下的最优合同而建立的。但作为分析的第一步，让我们首先讨论对称信息情况下的最优合同。，这种讨论对我们理解委托代理关系问题的实质是非常重要的。特别地，因为委托代理关系的中心问题被认为是“保险” 和“激励” 的交替问题（trade-off），在对称信息下，我们可以孤立的考虑最优的风险分担问题；在完成这一步再引入非对称信息，我们就会明白为什么在存在激励问题时，一般来说，帕累托最优的风险分担不能达到。 Cont假定代理理人的行行动a（或自然然状态）时可可观测的的。此时，委委托人可可以根据据观测到到的a对对代理人人实行惩惩，就是说，激励合合同

2、可以以建立在在行动上上，从而而，激励励相容约束束时多余余的，因因为委托托人可以以涉及任任意的“强制合同”如如果你你选择a*，我我将付你你s(a*)=s*,否则我我将付你s s*，使得得下列条条件成立立：Cont只要s足足够小，代理人人绝不会会选择a不等于于a*。我们分两两步讨论论对称信信息情况况。首先先假定行行动a给给定，讨讨论什么么是产出出的最优分分配方式式；然后后，我们们再讨论论最优的的行动选选择a。我们将将证明，在对称称信息下下，帕雷雷托最有有风险分分担和帕帕累托最最优努力力水平都都可以达达到。2-1最最优风风险分担担合同给定努力力水平a，产出出是一个个简单的的随机变变量，因因此，问问题

3、简化化为一个个典型的的风险分分担问题题:选择择s（）解下列列最优化化问题Cont构造拉格格朗日函函数如下下：最优化的的一阶条条件是：Cont这里拉格格朗日乘乘数是是严格正正的常数数（因为为参与约约束的等等式条件件满足）。上述述最优条条件意味味着，委委托人和和代理人人收入的的边际效效用之比比应该等等于一个个常数，与产出出 （和和状态变变量）无关。如果1和2是任任意的两两个收入入水平，那么，下列等等式应该该满足：Cont就是说，在最优优条件下下，不同同收入状状态下的的边际替代代率对委委托人和和代理人人是相同同的。这是典典型的帕帕雷托最最优条件件。一般地，因为最最优化条条件（1）隐含含地定义义了最优

4、优化支付付合同s*（），通通过使用用隐函数数定理，我们可可以得出出最优支支付合同同与每一一方风险险规避度度的关系系。就条件（1）对对求导导，我们们有：Cont将=v/u代入入上式解解得：这里Cont分别代表表委托人人和代理理人的阿阿罗帕帕拉特绝绝对风险险规避量量（Arrow-Pratt measureofabsoluteriskaversion）。式（3）意味着着，代理理人的支支付s*与产出出的关关系完全全由绝对对风险规规避度的的比率决决定。给给定（即双方方均为风风险规避避者），代理人人的支付付s*随随的上上升而上上升，但但上升的的幅度小小于上上升的幅幅度。当当时时，Contds*/d=1,s

5、*的增增幅与相同。特别地地，如果果委托人人和代理理人都具具有不变变的绝对对风险规规避度，即如果果p和A与各自的的收入水水平无关关，那么么，最优优合同是是线性的的。对（3）积积分得：Cont是积分分常数项项（可能能取正值值也可能能取负值值）。当当然，不不变的绝绝对风险险规避度度是非常常特殊的的。一般来说说，如果果假定p和A随收入的的增加而而递减（即收入入越高越越不害怕怕风险），最优优合同s*（）是非非线性的的，其具具体形式式依赖于于风险规规避者的的相对变变化。2-2最最优风险险分担合合同在以上的的讨论中中，我们们假定代代理人的的努力水水平给给定。现现在我们们来讨论论最优努努力水平平的选择择。为了

6、了简化我我们使用用状态空空间模型型化方法法。因为为是可可观测的的，委托托人可以以强化代代理人选选择任意意的，激励相相容约束束是多余余的。使使用状态态控件模模型化方方法，委委托人的的问题是是选择和s（）解解下列问问题：Cont构造拉格格朗日函函数：最优化的的两个一一阶条件件分别为为Cont其中第一一个等式式是s（）的的一阶条条件（与与（1）相同），第二二个等式式是的的一阶条条件。使使用第一一个一阶阶条件=v/u,第二二个一阶阶条件可可以化简简为：或用期望望值算子子E：Cont其中v/可可以解释释为用委委托人的的效用单单位度量量的努力力水平的边际际收益，c/可以解解释为用用委托人人的效用用单位度度

7、量的的边际际成本。注意，因为是在外外生变量量实现现之前选选择的，最优的的独立立于。上述分析析的一个个基本结结论时，当委托托人可以以观测代代理人的的努力水水平时，风险问题题和激励励问题可可以独立立解决，帕累托托最优风风险分担担和帕累累托最优优努力水水平可以以同时实实现，最优合同同可以表表述如下下：Cont即委托人人要求代代理人选选择*，委托托人根据据s*（*，）支支付代理理人；否否则，代代理人得得到s。只要s足够小，代理人人就不会会选择*)。一个例子子:信息息对称情情况下的的应用本节讨论论一个参参数化的的委托代理模模型，这这个参数数化的模模型是霍霍姆斯特特姆和米米尔格罗罗姆（Holmstrom

8、andmilgrom,1987）模型型的简化化和扩张。假定是是一个一一维努力力变量，产出函函数取如如下线性性形式：=+,其中是均值值为0、方差为为2的正态分分布随机机变量，代表外外生的不不确定性性因素。因此，E=E(+)=,var()=2,即代理理人的努努力水平平决定产产出的均均值，但但不影响响产出的的方差。Cont假定委托托人是风风险中性性的，代代理人是是风险规规避的。考虑线线性合同同s（）=+，其中中是代代理人的的固定收收入（与与无关关），是代理理人分享享的产出出份额，即产出出每增增加一个个单位，代理人人的报酬酬增加单位。=0意味着着代理人人不承担担任何风风险，=1意意味着代代理人承承担全

9、部部风险。因为委委托人是是风险中中性的，给定s（）=+，委托人人的期望望效用等等于期望望收入Cont假定代理理人的效效用函数数具有不不变绝对对风险规规避特征征，即,其中中是绝绝对风险险规避度度量，是实际际货币收收入。假假定代理理人努力力的成本本c()可以以等价于于货币成成本；进进一步，为简化化起见，假定c()=b2/2,这这里b0代表表成本系系数；b越大，同样的的努力带来的的负效用用越大。代理人人的实际际收入为为：Cont确定性定定价收入入为：其中，E是代代理人的的期望收收入，是是代理人人的风险险成本；当=0时，风险成成本为0。代理理人最大大化期望望效用函函数等等价于于最大化化上述确确定性等等

10、价收入入。Cont令0为代理人人的保留留收入水水平。那那么，如如果确定定性等价价收入小小于0,代理人人将不接接受合同同。因此此，代理理人的参参与约束束可以表表述如下下：首先考虑虑委托人人可以观观测代理理人努力力水平的最优优合同。此时，激励约约束IC不起作作用，任任何水平平的都都可以通通过满足足参与约约束IR的强制制合同实现。Cont因此，委委托人的的问题是是选择（，）和解下列列最优化化问题：因为在最最优情况况下，参参与约束束的等式式成立（委托人人没有必必要支付付代理人人更多），将参参与约束束通过固固定项代入目目标函数数，Cont上述最优优化问题题可以重重新表述述如下：因为0是给定的的，上述述表

11、述意意味着委委托人实实际上是是在最大大化总的的确定性性收入减减去努力力的成本本。最优优化的一一阶条件件意味着着：Cont将上述结结果代入入代理人人的参与与约束得得：这就是帕帕累托最最优合同同。因为为委托人人是风险险中性的的，代理理人是风风险规避避的，帕帕累托最最优风险险分担要要求代理理人不承承担任何何风险（*=0），委托人人支付给给代理人人的固定定收入刚刚好等于于代理人人的保留留工资加加上努力力的成本本；Cont最优努力力水平要要求努力的边边际期望望利润等于努力的边边际成本本，即1=b,因此，*=1/b。因为为委托人人可以观观测到代代理人的的选择，只要要委托人人在观测测到代理理人选择择了1/b

12、时就支支付，代理人人就一定定会选择择*=1/b ，最最优风险险分担与与激励没没有矛盾盾。一个例子子:信息息不对称称情况下下的应用用但是，如如果委托托人不能能观测到到代理人人的努力力水平，上述述帕累托托最优是是不能实实现的。这是因因为，给给定=0，代代理人将将选择最大化化自己确确定性等等价收入入，一阶阶条件意意味着： =/b,于是是a=0就是说，如果代代理人的的收入与与产出无无关，代代理人将将选择a=0，而不不是=1/b 。现在让我我们来考考虑努力力水平不可观观测时的的最优合合同。因因为给定定（，），代理理人的激激励相容容约束意意味着=/b，委委托人的的问题是是选择（，）,解解下列最最优化问问题

13、：Cont将参与约约束IR和激励励相容约约束IC代入目目标函数数，上述述最优化化问题可可以重新新表述如如下：一阶条件件为：Cont上述条件件意味着着，代理理人必须须承担一一定的风风险。特特别地，是、2、和b的递减减函数。就是说说，代理人越越是风险险规避，产出的方差差越大代代理人越越是害怕怕努力工工作，他他应该承承担的风风险就越越小。极端地，如果代代理人是是风险中中性的（=0），最最优合同同要求代代理人承承担完全全的风险险（=1）。Cont/0和/20结论论是非常常直观的的。最优优激励合合同要在在激励与与保险之之间求得得平衡。对于给给定的，越越大（或或2越越大），风险成成本越高高，因此此，最优优

14、风险分分担要求求越小小。但/b0有点“鞭打快快牛”的的味道。为什么代代理人越越是害怕怕努力工工作，应应该承担担的风险险越小呢呢？这又两方方面的原原因。第一，从从激励角角度看，即使没没有信息息不对称称问题，b越大大，最优优的越越小（因因为*=1/b）；第二，从从风险分分担的角角度看，b越大大，为诱诱使代理理人选择择同样的的努力水水平要求求的越越大（因因为=/b），委委托人宁宁愿以较较低的努努力换取取风险成成本的节节约。Cont当委托人人不能观观测代理理人的努努力水平平时，存存在两类类在对称称信息下下不存在在的代理理成本。一类是上上面提到到的由帕帕累托最最优风险险分担无无法达到到而出现现的风险险成本，另一类是是由较低低的努力力水平导导致的期期望产出出的净损损失减去去努力成成本的节节约，简简称为激激励成本本。因为委托托人是风风险中性性的，努努力水平平可观测测时委托托人承担担全部风风险意味味着风险险成本为为零。当当委托人人不能观观测代理理人的努努力水平平时，代代理人承承担的风风险为=1/(1+b2)，风险成成本为：Cont这是净福福利损失失。为了计算算激励成成本，首首先注意意到，当当努力水水平可观观测时，最优努努力水平平为=1/b；当努努力水平平不可观观测时，委托人人可诱