2022高考数学（理）一轮通用版讲义：2.8函数与方程

1、PAGE24第八节函数与方程1函数零点的概念对于函数yf，D，我们把使f0的实数叫做函数yf，D的零点2函数的零点与方程根的联系函数yf的零点就是方程f0的实数根也就是函数yf的图象与轴的横坐标，所以方程f0有实根函数yf的图象与轴有交点函数f有零点3零点存在性定理4二次函数图象与零点的关系b24ac000二次函数ya2bca0的图象与轴的交点1,0，2,01,0无零点个数2101函数的零点是实数，而不是点，是方程f0的实根2零点一定在定义域内由函数yf在闭区间a，b上有零点不一定能推出fafb0，如下图所示所以fafb0是yf在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件事实上，只有当函数图象通过零

2、点不是偶次零点时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号零点存在性定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数若函数在某区间上是单调函数，则该函数在该区间上至多有一个零点判断二次函数f的零点个数就是判断一元二次方程a2bc0的实根个数，一般由判别式0，0，0完成熟记常用结论1若函数f在a，b上单调，且f的图象是连续不断的一条曲线，则fafb0函数f在a，b上只有一个零点2连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号3周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点小题查验基础一、判断题对的打“”，错的打“”1函数的零点就是函数的图象与轴的交点2函数yf在区间a，b内有零点函数图象连续不断

3、，则fafb03二次函数ya2bca0在b24ac0时没有零点答案：123二、选填题1已知函数yf的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：123456y3574则函数yf在区间1,6上的零点至少有A2个B3个C4个D5个解析：选B由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f在区间2,3，3,4，4,5内均有零点，所以yf在1,6上至少有3个零点故选B2函数flneqf2,的零点所在的大致范围是A1,2B2,3blcrcavs4alco1f1,e，1和3,4D4，解析：选B易知f为增函数，由f2ln210，f3ln3eqf2,30，得f2f33函数fe3的零点个数为A0B1C2D3解析：选B函数f

4、e3在R上是增函数，f1eqf1,e30，f010，f1f00，函数f有唯一零点，且在1,0内，故选B4函数f22232的零点为_答案：eqr2，eqr2，1,2考点一函数零点所在区间的判断基础自学过关题组练透12022郑州名校联考已知实数a，b满足2a3,3b2，则函数fab的零点所在的区间是A2，1B1,0C0,1D1,2解析：选B2a3,3b2，a1,0b1，又fab是单调递增函数，f1eqf1,a1b0，f01b0，f在区间1,0上存在零点故选B2若0是方程eqblcrcavs4alco1f1,2的解，则0属于区间blcrcavs4alco1f2,3，1blcrcavs4alco1f1

5、,2，f2,3blcrcavs4alco1f1,3，f1,2blcrcavs4alco10，f1,3解析：选C令geqblcrcavs4alco1f1,2，feqf1,3，则g01f00，geqblcrcavs4alco1f1,2eqblcrcavs4alco1f1,2feqblcrcavs4alco1f1,2eqblcrcavs4alco1f1,2，geqblcrcavs4alco1f1,3eqblcrcavs4alco1f1,2feqblcrcavs4alco1f1,3eqblcrcavs4alco1f1,3，结合图象可得eqf1,30eqf1,232022河北武邑中学调研函数f37ln的

6、零点位于区间n，n1nN内，则n_解析：因为f在0，上单调递增，且f21ln20，f32ln30，所以函数f的零点位于区间2,3内，故n2答案：2名师微点确定函数f的零点所在区间的常用方法1利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有fafb0若有，则函数yf在区间a，b内必有零点2数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断eqavs4al口诀记忆,端点函数符号反，,区间a，b有零点考点二判断函数零点个数师生共研过关典例精析已知函数feqblcrcavs4alco12|，2，,22，2，函数g3f2，则函数yfg的零点个数为A2B3

7、C4D5解析由已知条件可得g3f2eqblcrcavs4alco1|2|1，0，,32，0函数yfg的零点个数即为函数yf与yg图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数yf与yg的图象如图所示由图可知函数yf与yg的图象有2个交点，所以函数yfg的零点个数为2，选A答案A解题技法函数零点个数的判断方法1直接求零点，令f0，有几个解就有几个零点；2零点存在性定理，要求函数f在区间a，b上是连续不断的曲线，且fafb0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；3利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数过关训练12022郑州质检已知函数feqblcrcavs4alco1f1,2

8、cos，则f在0,2上的零点个数为_解析：如图，作出geqblcrcavs4alco1f1,2与hcos的图象，可知其在0,2上的交点个数为3，所以函数f在0,2上的零点个数为3答案：32函数feqblcrcavs4alco1e2，0，,22，0的零点个数是_解析：当0时，令f0，即220，解得2或0舍去，所以当0时，只有一个零点；当0时，fe2，而fe1，显然f0，所以f在0，上单调递增，又f0e00210，f2e240，所以当0时，函数f有且只有一个零点综上，函数f只有2个零点答案：232022全国卷函数fcoseqblcrcavs4alco13f,6在0，的零点个数为_解析：由题意可知，

9、当3eqf,6eqf,2Z时，f00，3eqf,6eqblcrcavs4alco1f,6，f19,6，当3eqf,6取值为eqf,2，eqf3,2，eqf5,2时，f0，即函数fcoseqblcrcavs4alco13f,6在0，的零点个数为3答案：3考点三函数零点的应用全析考法过关考法全析考法一根据函数零点个数或存在情况求参数范围例112022郑州模拟已知函数feqblcrcavs4alco1ea，0，,2a，0aR，若函数f在R上有两个零点，则实数a的取值范围是A0,1B1，C0,1D，122022全国卷已知函数feqblcrcavs4alco1e，0，,ln，0，gf存在2个零点，则a的

10、取值范围是A1,0B0，C1，D1，解析1画出函数f的大致图象如图所示因为函数f在R上有两个零点，所以f在，0和0，上各有一个零点当0时，f有一个零点，需0a1；当0时，f有一个零点，需a0，即a0综上，0a1，故选A2令ha，则gfh在同一坐标系中画出yf，yh的示意图，如图所示若g存在2个零点，则yf的图象与yh的图象有2个交点，平移yh的图象，可知当直线ya过点0,1时，有2个交点，此时10a，aa在y1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意当ya在y1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，故选C答案1A2C考法二根据函数零点的范围求参数范围例2若函数fm22m2

11、m1的两个零点分别在区间1,0和区间1,2内，则m的取值范围是_解析依题意，结合函数f的图象分析可知m需满足eqblcrcavs4alco1m2，,f1f00，,f1f20，即eqblcrcavs4alco1m2，,m2m2m12m10，,m2m2m14m22m2m10，解得eqf1,4meqf1,2答案eqblcrcavs4alco1f1,4，f1,2考法三求函数多个零点方程根的和例32022石家庄质量检测已知M是函数f|23|8sinR的所有零点之和，则M的值为_解析将函数f|23|8sin的零点转化为函数h|23|与g8sin图象交点的横坐标在同一平面直角坐标系中，画出函数h与g的图象，

12、如图，因为函数h与g的图象都关于直线eqf3,2对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f的所有零点之和M8eqf3,212答案12规律探求看个性考法一是根据函数零点的个数及零点存在情况求参数范围，解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解考法二是根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围考法三是求函数零点的和，求函数的多个零点或方程的根以及直线ym与函数图象的多个交点横坐标的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的

13、对称等找共性根据函数零点求参数范围的一般步骤为：1转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况2列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式3结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围过关训练1函数f2a1在区间eqblcrcavs4alco1f1,2，3上有零点，则实数a的取值范围是A2，B2，blcrcavs4alco12，f5,2blcrcavs4alco12，f10,3解析：选D由题意知方程a21在eqblcrcavs4alco1f1,2，3上有解，即aeqf1,在eqblcrcavs4alco1f1,2，3上有解，设teqf1,，eqblcrcavs4

14、alco1f1,2，3，则t的取值范围是eqblcrcavs4alco12，f10,3，实数a的取值范围是eqblcrcavs4alco12，f10,32设函数feqblcrcavs4alco1，01，,f1,11，10，gf4mm，其中m在区间1,1上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是A1eqblcrcavs4alco1f1,4，blcrcavs4alco1f1,4，C1eqblcrcavs4alco1f1,5，blcrcavs4alco1f1,5，解析：选C作出函数yf的大致图象，如图所示函数g的零点个数函数yf的图象与直线y4mm的交点个数直线y4mm过点eqblcrcavs4alc

15、o1f1,4，0，当直线y4mm过点1,1时，meqf1,5；当直线y4mm与曲线yeqf1,1110相切时，设切点为eqblcrcavs4alco10，f1,011，由yeqf1,12得切线的斜率为eqf1,012，则eqf1,012eqff1,0110,0f1,4，解得0eqf1,2，所以4meqf1,blcrcavs4alco1f1,2124，得meqf1,5或m1时，函数g在区间1,1上有且仅有一个零点eqavs4al课时跟踪检测一、题点全面练1设f是区间1,1上的增函数，且feqblcrcavs4alco1f1,2feqblcrcavs4alco1f1,20，则方程f0在区间1,1内

16、A可能有3个实数根B可能有2个实数根C有唯一的实数根D没有实数根解析：选Cf在区间1,1上是增函数，且feqblcrcavs4alco1f1,2feqblcrcavs4alco1f1,20，f在区间eqblcrcavs4alco1f1,2，f1,2上有唯一的零点方程f0在区间1,1内有唯一的实数根22022濮阳一模函数fln21的零点位于区间A2,3B3,4C0,1D1,2解析：选Dfln21是增函数，且是连续函数，f1ln210，f2ln410，根据函数零点的存在性定理可得，函数f的零点位于区间1,2上32022南宁模拟设函数fln26，则f零点的个数为A3B2C1D0解析：选B令f0，则l

17、n26，令gln0，h260，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f零点的个数，容易看出函数f零点的个数为2，故选B4已知函数feqblcrcavs4alco1f1,5log3，若0是函数yf的零点，且010，则f1的值A恒为正值B等于0C恒为负值D不大于0解析：选A因为函数feqblcrcavs4alco1f1,5log3在0，上是减函数，所以当010时，有f1f0又0是函数f的零点，因此f00，所以f10，即f1的值恒为正值，故选A52022黄山一模已知函数fe|若关于的方程f有两个不同的实根，则实数的取值范围是A0,1B1，C1,0D，1

18、解析：选B方程f化为方程e|令ye|，y|，y|表示过点0，斜率为1或1的平行折线系，折线与曲线ye|恰好有一个公共点时，有1，如图若关于的方程f有两个不同的实根，则实数的取值范围是1，6若方程ln40在区间a，ba，bZ，且ba1上有一根，则a的值为A1B2C3D4解析：选B方程ln40的根为函数fln4的零点f的定义域为0，f在定义域上单调递增因为f2ln220，f3ln310，所以f在区间2,3有一个零点，则方程ln40在区间2,3有一根，所以a2，b72022哈尔滨检测若函数f2ab的两个零点是1和2，则不等式af20的解集是_解析：函数f2ab的两个零点是1和2，即1,2是方程2ab

19、0的两根，可得12a，12b，解得a1，b22，af20，即42220，解得1eqf1,2答案：eqblcrcavs4alco11，f1,28已知函数feqblcrcavs4alco1221，0，,2，0，geqblcrcavs4alco122，0，,f1,，0，则函数fg的所有零点之和是_解析：由f0，得2或2，由g2，得1eqr3，由g2，得eqf1,2，所以函数fg的所有零点之和是eqf1,21eqr3eqf1,2eqr3答案：eqf1,2eqr39已知yf是定义域为R的奇函数，当0，时，f221写出函数yf的解析式；2若方程fa恰有3个不同的解，求实数a的取值范围解：1设0，则0，所以

20、f2是奇函数，所以ff22所以feqblcrcavs4alco122，0，,22，02方程fa恰有3个不同的解，即yf与ya的图象有3个不同的交点作出yf与ya的图象如图所示，故若方程fa恰有3个不同的解，只需1a1，故实数a的取值范围为1,1102022济南月考已知二次函数f的最小值为4，且关于的不等式f0的解集为|13，R1求函数f的解析式；2求函数geqff,4ln的零点个数解：1因为f是二次函数，且关于的不等式f0的解集为|13，R，所以fa13a22a3a，且a0所以fminf14a4，a1故函数f的解析式为f2232因为geqf223,4lneqf3,4ln20，所以g1eqf3,

21、2eqf4,eqf13,2令g0，得11，23当变化时，g，g的取值变化情况如下0,111,333，g00g极大值极小值当03时，gg140又因为g在3，上单调递增，因而g在3，上只有1个零点故g在0，上只有1个零点二、专项培优练一易错专练不丢怨枉分12022德州期末设函数f是定义在R上的奇函数，当0时，fe3，则f的零点个数为A1B2C3D4解析：选C因为函数f是定义域为R的奇函数，所以f00，即0是函数f的一个零点，当0时，fe3为增函数因为f1e113e20，feqblcrcavs4alco1f1,4eeqf1,43eeqf11,40，所以当0时，f有一个零点根据对称性知，当0时，函数f

22、也有一个零点综上所述，f的零点的个数为322022六安模拟已知函数f2m21在区间2,2上恰有一个零点，则实数m的取值范围是blcrcavs4alco1f1,8，0eqblcrcavs4alco10，f3,8blcrcavs4alco1f3,8，f1,8blcrcavs4alco1f3,8，f1,8blcrcavs4alco1f1,8，f3,8解析：选D当m0时，函数f1有一个零点1，满足条件当m0时，函数f2m21在区间2,2上恰有一个零点，需满足f2f20或eqblcrcavs4alco1f20，,2f1,4m0或eqblcrcavs4alco1f20，,0f1,4m2解得eqf1,8m0

23、或0meqf3,8；无解；解得meqf3,8综上可知eqf1,8meqf3,8，故选D32022沧州质检已知定义在R上的函数f满足：ff20；f2f；当1,1时，feqblcrcavs4alco1r12，1，0，,cosblcrcavs4alco1f,2，0，1，则函数yfeqblcrcavs4alco1f1,2|在区间3,3上的零点个数为A5B6C7D8解析：选A由ff20可得f的图象关于点1,0对称；由f2f可得f的图象关于直线1对称如图，作出f在1,1上的图象，再由对称性，作出f在3,3上的图象，作出函数yeqblcrcavs4alco1f1,2|在3,3上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数yfeqblcrcavs4alco1f1,2|在区间3,34函数feqblcrcavs4alco1f1,2|1|2cos46的所有零点之和为_解析：可转化为两个函数yeqblcrcavs4alco1f1,2|1|与y2cos在4,6上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于1对称，所以两个函数在1两侧的交点对称，