数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件

1、第五章 正交曲面坐标中的分离变量及 二阶常微分方程的本征值第五章 正交曲面坐标中的分离变量及 数学物理方程二维、三维各种方程分离变量的结果二维极坐标系中分离变量波动方程（三个变量，在直角坐标系中可以分离完成） m阶贝塞尔方程热传导方程（三个变量，在直角坐标系中可以分离完成） m阶贝塞尔方程拉普拉斯方程（两个变量，在直角坐标系中可以分离完成） 没有产生特殊方程 欧拉型方程数学物理方程二维、三维各种方程分离变量的结果二维极坐标系中分数学物理方程二维极坐标系中分离变量（续）亥姆霍兹方程（两个变量，在直角坐标系中可以分离完成） m阶贝塞尔方程三维坐标系（球坐标或极坐标）中分离变量波动方程（四个变量，在

2、直角坐标系中可以分离完成） 亥姆霍兹方程热传导方程（四个变量，在直角坐标系中可以分离完成） 亥姆霍兹方程数学物理方程二维极坐标系中分离变量（续）亥姆霍兹方程（两个变三维球坐标和柱坐标系中分离变量（续）拉普拉斯方程（三个变量，在直角坐标系中可以分离完成）球坐标L阶连带勒让德方程。若物理问题为轴对称时，方程可变为勒让德方程。柱坐标 当 时，R的方程为m阶贝塞尔函数；当 时，均不是特殊方程；当 时，R的方程为修正的贝塞尔方程。数学物理方程欧拉型方程三维球坐标和柱坐标系中分离变量（续）球坐标柱坐标 数学物理方程三维球坐标和柱坐标系中分离变量（续）亥姆霍兹方程（三个变量，在直角坐标系中可以分离完成）球坐

3、标L阶球贝塞尔函数L阶连带勒让德方程柱坐标 当 时，R的方程为m阶贝塞尔方程；当 时，均不是特殊方程；当 时，R的方程为m阶贝塞尔方程。数学物理方程三维球坐标和柱坐标系中分离变量（续）球坐标柱坐标说明：（1）在上述分离中，出现了许多的系数 ，这些都是特征值，是方程与边界（初始）值共同决定的。（2）特殊方程如贝塞尔方程、勒让德方程均是可以或者必须具有特征值的，这是求解数理方程的前提。（3）接下来的分析均是针对上述变量分离的总表格来叙述的。说明：（1）在上述分离中，出现了许多的系数 数学物理方程5.1 球坐标系与柱坐标系中的分离变量1.球坐标系（拉普拉斯方程）rxyz拉普拉斯方程在球坐标中的表达式

4、为：（5.1.1）数学物理方程5.1 球坐标系与柱坐标系中的分离变量1.球坐标数学物理方程分离变量，令：则：遍乘 并移项得到：令常数为 。（5.1.2）（5.1.3）数学物理方程分离变量，令：则：遍乘 并移项得到：令这样，就得到两个微分方程：（5.1.4）（5.1.5）方程（5.1.4）化为：欧拉型方程上述方程的解为：（5.1.6）数学物理方程这样，就得到两个微分方程：（5.1.4）（5.1.5）方程（方程（5.1.5）叫做球函数方程，可进一步分离变量，令：则：遍乘 并移项得到：（5.1.7）（5.1.8）令常数为 。数学物理方程方程（5.1.5）叫做球函数方程，可进一步分离变量，令：则：这样

5、，又得到两个微分方程：（5.1.9）（5.1.10）方程（5.1.9）的本征值和本征函数为：= m 2 ( m = 0,1,2,3），方程（5.1.10）可变为：（5.1.11）数学物理方程这样，又得到两个微分方程：（5.1.9）（5.1.10）方程数学物理方程作变量替换，令：则：带入方程（5.1.11），可得：（5.1.12）称上述方程为L阶连带勒让德方程。数学物理方程作变量替换，令：则：带入方程（5.1.11），可数学物理方程如果球坐标的极轴为对称轴，则m=0,方程简化为：称上述方程为L阶勒让德方程。关于勒让德方程及连带勒让德方程，将在第六章介绍。（5.1.13）数学物理方程如果球坐标的极

6、轴为对称轴，则m=0,方程简化为：数学物理方程rxyzx,y,z2.柱坐标系（拉普拉斯方程）拉普拉斯方程在柱坐标中的表达式为：（5.1.14）数学物理方程rxyzx,y,z2.柱坐标系（拉普拉斯方程）数学物理方程分离变量，令：则：（5.1.15）遍乘 并移项得到：令常数为 。（5.1.16）数学物理方程分离变量，令：则：（5.1.15）遍乘 数学物理方程这样，就得到两个微分方程：（5.1.18）（5.1.17）方程（5.1.17）的本征值和本征函数为：= m2 ( m = 0,1,2,3）将= m2 带入，并遍乘 ，得到：令常数为 。数学物理方程这样，就得到两个微分方程：（5.1.18）（5.

7、数学物理方程这样，又得到两个微分方程：(1)（5.1.19）（5.1.20）讨论方程（5.1.19）和方程（5.1.20）的解，有：（5.1.21）（5.1.22）数学物理方程这样，又得到两个微分方程：(1)（5.1.19）数学物理方程（2）（5.1.23）（5.1.24）数学物理方程（2）（5.1.23）（5.1.24）数学物理方程（3）关于贝塞尔方程及修正的贝塞尔方程，将在第七章介绍。（5.1.25）（5.1.26）数学物理方程（3）关于贝塞尔方程及修正的贝塞尔方程，将在第七数学物理方程3.球坐标或者柱坐标系（波动方程）（5.1.27）（5.1.28）令常数为 。（5.1.29）（5.1.

8、30）方程（5.1.30）为亥姆霍兹方程数学物理方程3.球坐标或者柱坐标系（波动方程）（5.1.27数学物理方程4.球坐标或者柱坐标系（热传导方程）（5.1.31）（5.1.32）（5.1.33）（5.1.34）令常数为 。方程（5.1.34）也为亥姆霍兹方程数学物理方程4.球坐标或者柱坐标系（热传导方程）（5.1.3数学物理方程5.球坐标系（亥姆霍兹方程）亥姆霍兹方程在球坐标中的表达式为：数学物理方程5.球坐标系（亥姆霍兹方程）亥姆霍兹方程在球坐标数学物理方程数学物理方程数学物理方程半奇数阶Bessel方程数学物理方程半奇数阶Bessel方程数学物理方程6.柱坐标系（亥姆霍兹方程）亥姆霍兹方

9、程在球坐标中的表达式为：分离变量,令:数学物理方程6.柱坐标系（亥姆霍兹方程）亥姆霍兹方程在球坐标数学物理方程数学物理方程数学物理方程小结：本征值： = m2 ( m = 0,1,2,3）本征函数：数学物理方程小结：本征值： = m2 ( m = 数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件1. 标准二阶线性齐次常微分方程 5.2 常点邻域上的级数解法1. 标准二阶线性齐次常微分方程 5.2 常点邻域上的级数解数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件2. 勒让德方程的级数解 2. 勒让德方程的级数解 数学物理方程05正交曲

10、面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件(3)(3)3. 收敛半径 3. 收敛半径 4.勒让德方程的本征值问题, L多项式4.勒让德方程的本征值问题, L多项式以后专门讨论以后专门讨论1. 奇点邻域上的级数解 5.3 正则奇点邻域上的级数解法 1. 奇点邻域上的级数解 5.3 正则奇点邻域上的级数解数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件2. 正则奇点邻域上的级数解 若解（2）中含有限个负幂项，则z0为方程（1）的正则奇点，其解为正则解。2. 正则奇点邻域上的级数

11、解 若解（2）中含3. Bessel方程的级数解 1) Bessel方程和 Bessel方程函数3. Bessel方程的级数解 1) Bessel方程和数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件-阶Bessel函数阶Bessel函数-阶Bessel函数

12、阶注：注：2) Neumann函数2) Neumann函数3) 半奇数阶Bessel函数3) 半奇数阶Bessel函数如：如：同理：同理：4) 整数阶Bessel函数4) 整数阶Bessel函数数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件5) Bessel方程的本征值问题5) Bessel方程的本征值问题4. 虚宗量Bessel方程 1) 阶虚宗量Bessel方程4. 虚宗量Bessel方程 1) 阶虚宗量Bessel数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件数学物理方程05正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程的特征值【OK】-课件2) m 阶虚宗量Bessel函数2) m 阶虚