数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选

1、第十三章函数列与函数项级数第十三章函数列与函数项级数13.1 一致收敛性一 点态收敛二 函数项级数（或函数序列）的基本问题三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性四 一致收敛性判别 五 小结13.1 一致收敛性一 点态收敛二 函数项级数（或函问题的提出问题:问题的提出问题:（一）函数项级数的一般概念1.定义:一 点态收敛现在我们将级数的概念从数推广到函数上去.（一）函数项级数的一般概念1.定义:一 点态收敛现在我们2.收敛点与收敛域:2.收敛点与收敛域:函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)函数项级数的部分和

2、余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;原级数发散.收敛;发散;4.函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。4.函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。二 函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题二 函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求2.求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与无限求和运算交换次序问题2.求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与无限求和1.函数列及其一致收敛性 三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性1.函数列及其一

3、致收敛性 三 函数项级数（或函数列）的一致2.函数项级数的一致收敛性定义2.函数项级数的一致收敛性定义xyo几何解释:xyo几何解释:例2解余项的绝对值例2解余项的绝对值数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选例3研究级数在区间( 0 , 1内的一致收敛性.解对于任意一个自然数例3研究级数在区间( 0 , 1内的一致收敛性.解对于任意因此级数在( 0, 1 )内不一致连续说明:从下图可以看出:但虽然函数序列在( 0, 1 )内处处在( 0, 1 )内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的因此级数在( 0, 1 )内不一致连续说明:从下图可以看出(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间

4、有关(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关三一致收敛性判别 定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则） 2.一致收敛的柯西准则1用定义 三一致收敛性判别 定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则） 数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选由上确界的定义，亦有 由上确界的定义，亦有 数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选

5、定理13.5（Weierstrass判别法）4.一致收敛性简便的判别法：定理13.5（Weierstrass判别法）4.一致收敛性简证证例4证明级数例4证明级数证（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的. 证（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的. 5.5.数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选五、小结点态收敛函数项级数（或函数序列）的基本问题一致收敛性判别 函数项级数（或函数列）的一致收敛性五、小结点态收敛函数项级数（或函数序列）的基本问题一致收敛性13

6、.2 一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质一 一致收敛函数列的性质 二 函数项级数的性质13.2 一致收敛函数列与一 一致收敛函数列的性质 二一. 一致收敛函数列的解析性质 1 函数及限与序列极限交换定理一. 一致收敛函数列的解析性质 1 函数及限与序列极限交换定2.连续性定理 2.连续性定理 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项 註 定理表明: 对于各项都连续且一致收敛 即极限次序可换 . 3. 可积性定理 註 定理表明: 对于各项都连续且一致收敛 即极限次序可数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选数学分析课件之十三章函数

7、列与函数项级数-精选数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选4. 可微性定理 4. 可微性定理 （ 对第二项交换极限与积分次序） （ 对第二项交换极限与积分次序） 亦即求导运算与极限运算次序可换. 亦即求导运算与极限运算次序可换. 二 函数项级数的性质1.逐项求极限定理二 函数项级数的性质1.逐项求极限定理2.连续性定理定理13.12证2.连续性定理定理13.12证(1)(2)同样有(1)(2)同样有(3)由(1)、(2)、(3)可见,(3)由(1)、(2)、(3)可见,定理13.13(4)3.逐项求积定理定理13.13(4)3.逐项求积定理证证

8、根据极限定义，有即根据极限定义，有即定理13.14(5)4.逐项求导定理定理13.14(5)4.逐项求导定理注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导第十三章习题课一、主要内容二、典型例题第十三章习题课一、主要内容二、典型例题一、函数项级数主要内容(1) 定义(2) 收敛点与收敛域一、函数项级数主要内容(1) 定义(2) 收敛点与收敛域(3) 和函数(3) 和函数函数项级数的一致收敛性定义函数项级数的一致收敛性定义定理（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）一致收敛性简便的判别

9、法：定理（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）一致收一致收敛级数的基本性质定理1一致收敛级数的基本性质定理1定理2(4)定理2(4)定理3(5)定理3(5)注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.二、典型例题解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.二、典型例题原级数发散.收敛;发散;原级数发散.收敛;发散;例2解余项的绝对值例2解余项的绝对值数学分析课件之十三章函数列与函数项级数-精选例3研究级数在区间( 0 , 1内的一致收敛性.解对于任意一个自然数例3研究级数在区间( 0 , 1内的一致收敛性.解对于任意因此级数在( 0, 1 )内不一致连续说