(小学奥数)圆与扇形(三)

1、;h屋例题精研究圄、扇形、弓形典三角形、矩形、平行四遏形、梯形等圈形合而成的不规即圈形，通谩燮勤圈形的位置或封圈形暹行分割、旋醇、拼衲，使它燮成可以算出面稹的规即圈形来算它伸的面稹.H的面稹二吐2；扇形的面稹.2x2；360圄的周晨二2口；扇形的弧晨.2nrx2.360一、跟曲幺泉有信耳的圈形元素：扇形：扇形由项黠在圄心的角的雨遏和造雨遏所截一段圄弧圉成的圈形，扇形是圄的一部分.我仍影更常的1圄、1圄、1圄等等其都是扇形，而造彳固黑分之黑表示的其是囿固扇形的圄心角占脑固商周角的黑分之意那麽一般的求法是什麽呢？居融建是JL.360比如：扇形的面稹=所在圄的面木机上；360扇形中的弧房部分二所在圄

2、的周晨x工360扇形的周晨.所在圄的周晨x上+2x半彳空（易金昔黠是把扇形的周房等同於扇形的弧360同弓形：弓形一般不要求周晨，主要求面稹.一般，弓形面稹二扇形面稹-三角形面稹.（除了半圄）”角”：如圈：L角的面稹=正方形-扇形“毅子：如圈：“毅子”的面稹=弓形面稹x2二、常用的思想方法：醇化思想（禊亲隹醇化悬曾罩，不熟悉的醇化悬熟悉的）等稹燮形（割衲、平移、旋醇等）借来遢去（加减法）遇遏入手（彳他曾求的圈形或者能求的圈形入手，看典要求的部分之的信司保”）板现、曲幺泉型旋醇冏题【例1正三角形C的遏房是6釐米，在一彳条直幺泉上招它翻滚黑次，使A黠再次落在造彳条直幺泉上，那麽A黠在翻滚谩程中谩的路

3、幺泉晨度是多少釐米？如果三角形面稹是15平方釐米，那麽三角形在滇勤谩程中描谩的面稹是多少平方釐米？仁吉果保留n）【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答【解析】如圈所示，A黠在翻滚谩程中谩的路幺泉悬雨段120。的圄弧，所以路幺泉的晨度外2nX6X120X2=8n釐米；360三角形在滇勤谩程中描谩的圈形的悬雨彳固120。的扇形加上一彳固典其相等的正三角形，面稹悬：nx62x120-x2+1524n+15平方釐米360【答案】24口+15【聋固】直角三角形C放在一彳条直幺泉上，斜遏AC20釐米，直角遏BC10釐米.如下圈所示，三角形由位置I,a黠醇勤，到逵位置H，此日寺b，黠分别到逵b，c

4、黠；再b黠醇勤，到逵位置山，此日寺a，黠分别到逵a，12【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答【解析】由於BC悬AC的一半，所以ZC4B=30。，即弧CC悬大圄周晨的180。一30。工，TOC o 1-5 h z1360。12弧cc悬小圄周晨的1，而cc+cc即悬c黠c到c的路彳空，所以c黠c124112121到C走谩的路彳空的晨悬2nX20XA+2nX10 xL50n+5”65（釐米）.212433【答案】653【聋固】如圈，一修直幺泉上放著一彳固房和寞分别悬4cm和3cm的房方形I.它的封角幺泉房恰好是5cm.2襄适彳固房方形项黠制1鼬寺金十旋辅90彳爰到逵房方形H的位置，道檬速

5、做三次，黠A到逵黠e的位置.求黠A走谩的路程的房.ABCDEABCDEABCDEABCDE【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答【解析】因悬晨方形旋辅了三次，所以A黠在整彳固建勤谩程中也走了三段路程(如右上圈所示).道三段路程分别是：第1段是弧独，它的晨度是2xx4x1(cm)；14第2段是弧aa，它的晨度是2xx5x1(cm)；124第3段是弧AE，它的晨度是2xx3xI(cm)；24所以a黠走谩的路程晨悬：2xx4xL2xx5xL2xx3x1=6(cm).444【答案】6n【例2草埸上有一彳固房20米、寞10米的著的羊圈，在羊圈的一角用房30米的子拴著一只羊(冕如圈).冏：造只羊

6、能别活勤的轮圉有多大？(圄周率取3.14)【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答【解析】如圈所示，羊活勤的轮圉可以分悬a，B，C三部分，其中A是半彳空30米的34彳固郎b,c分别是半彳空悬20米和10米的1彳固胤4所以羊活勤的轮圉是x所以羊活勤的轮圉是x302x3+411x202x-+x102x-44311x302x-+202x+102x-二2512【答案】2512【聋固】一只狗被拴在底座悬遏房3m的等遏三角形建篥物的精角上（如圈），幺噩房是4m，求狗所能到的地方的面稹.（圄周率按3.14算）【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答【解析】

7、如圈所示，羊活勤的靶圉是一彳固半彳空4m，圄心角300的扇形典雨彳固半彳空1m，圄心角120的扇形之和.所以答案是43.96m2.【答案】43.96【例3如圈是一彳固直彳空悬3cm的半圄，道彳固半圄以A黠悬事由沿逆日寺金十方向旋斡60。，此日寺B黠移勤到B黠，求除影部分的面稹.（圈中晨度罩位悬cm，H周率按3算）.AB【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答【解析】面稹=圄心角悬60。的扇形面稹+半圄.空白部分面稹（也是半圄）=圄心角悬60。的扇形面稹-60 xx32=4.5（cm2）3602【答案】4.5【例4如圈所示，直角三角形ABC的斜遏AB10釐米，ZABC=60。，此日寺BC

8、5釐米.以黠B悬中心，符aabc怫寺金十旋辅。，黠A、C分别到逵黠E、D的位置.求Ac遏描谩的圈形即圈中除影部分的面稹.（取3）EABD【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答ABD【解析】注意分割、平移、衲膂.如圈所示，符圈形移衲到圈形的位置，因悬/因悬/EBD=60。，那麽ZABE=120。，即除影部分悬一圄璟的1.3所以除影部分面稹悬1xxGb2.BC2）=75（平方釐米）3【答案】75【聋固】如右圈，以0A悬斜遏的直角三角形的面稹是24平方釐米，斜遏房10釐米，符它以o黠悬中心旋辅90。，冏：三角形描谩的面稹是多少？（取3）【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答【解析

9、】彳舱圈中可以看出，直角三角形揭谩的面稹就是圈中圈形的面稹，等於一彳固三角形的面稹典四分之一圄的面稹之和.圄的半彳空就是直角三角形的斜遏OA因此可以求得，三角形描谩的面稹悬：24+1xx10 x10-24+25-99（平方釐4米）.【答案】99【聋固】“阜而思杯”数阜言式题）如圈，直角三角形ABC中，/B悬直角，且BC二2釐米，AC二4釐米，即在符AABCC黠/时寺金十旋辅120。的谩程中，AB遏捕谩圈形的面稹悬（二3.14）BCABCA【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答.如右上圈所示，假AABC旋醇120。到逵AABC的位置.除影部分悬AB遏捕谩的圈形.彳能圈中可以看出，除影部

10、分面稹等於整彳固圈形的幺息面稹减去空白部分面稹，而整彳固圈形幺息面稹等於扇形ACA，的面稹典AABC的面稹之和，空白部分面稹等於扇形BCB的面稹典AABC的面稹，由於AABC的面稹典AABC的面稹相等，所以除影部分的面稹等於扇形as典扇形BCB的面稹之差，悬受xx42-空xx22二4-12.56（平方釐米）360360【答案】12.56【例5如下圈，ABC是一彳固等腰直角三角形，直角遏的畏度是1米。现在以C黠悬圄黠，川鼬寺金十旋辅90度，那麽，AB遏在旋醇日寺所描谩的面稹是平方米。（兀=3.14）【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答【解析】遴描谩的面稹悬左下圈除影部分，可分悬右下圈

11、所示的雨部分。因悬r2+r2=12，所以r2二1。212式义112式义1-12X1+（l2-r2）兀x-=12+1=0.6775（平方米）【答案】06775【例6如圈30-14,符晨方形ABCD黠CW鼬寺金十旋辅90度，若AB=4,BC=3,AC=5，求AD遏描谩部分的面稹.（冗取3.14）【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答如下圈所示，ABAB如下圈所示，端黠A描谩的轨E亦悬aaa，端黠D描谩轨E亦悬DDD，而AD之的黠，描谩的轨E亦在以A、D轨E亦，AD,ad,所形成的封朗圈形内，且道彳固封朗圈形的每一黠都有幺泉段AD上某黠描谩，所以AD遏描谩的圈形悬除影部分.累直然,有除影部

12、分面稹悬s+s-S-s,而直角三角形AdC、ACD直角AADC扇形ACA直角AACD扇形面稹相等.S+S-S-S=S-S直角AADC扇形ACA直角AACD扇形扇形ACA扇形二90三AC2-90三CD2=-（52-42）=9兀=7.065（平方厘米）36036044即AD遏描谩部分的面稹悬7.065平方釐米.【答案】7.065【例7（祖冲之杯兢赛言式题）如圈，ABCD是一彳固晨悬4，寞悬3，封角幺泉房悬5的正方形，它C黠按川耶寺金十方向旋辅90。，分别求出四遏揭谩圈形的面稹.【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答.容易亵现，DC遏和BC遏旋醇彳爰描谩的圈形都是以幺泉段晨度悬半彳空的圄的

13、1,如圈：4ACABACA因此DC遏描谩圈形的面稹悬4,BC遏描谩圈形的面稹悬匕.42、研究超遏的情况.在整彳固钻遏上，距离隹c黠最近的黠是B黠，最逮的黠是建占，因此整彳然泉段所描谩部分鹰言亥介於造雨彳固黠所描谩弧幺泉之,冕如圈中除影部分：.!DCB下麴来求适部分的面稹.觐察圈形可以樊现，所求除影部分的面稹口祭上是：扇形46，面稹+三角形4BC面稹一三角形ABC面稹一扇形BCB，面稹=扇形人8面稹一扇形BCB，面稹=52-一32-二4443、研究短遏描谩的圈形.由於在整彳条幺泉段上距离隹c黠最逮的黠是A，最近的黠是D，所以我凭可以重用典前面同檬的方法可以求出面稹悬：二一丝_9444旋辅圈形的昌

14、器建是先彳舱整醴把握一下燮化谩程”，即它是通谩什麽檬的基本圈形余空谩怎檄的加减次序得到的.先不去考感具醴数摞，一定要把思路捋清楚.最彳爰你曾亵现，所有数摞要麽直接告你，要麽就藏”在那兄，一定曾有.可以暹一步思考，比如平行四遏形的旋醇冏题、一般三角形的旋醇冏题等等，此冏题的解决封提高解决襄何圈形冏题的能力是非常有益的.【答案】（1）bc遏描谩圈形的面稹悬9n4（2）ab遏描谩圈形的面稹悬4口（3）ad遏描谩圈形的面稹悬9n4（4）DC遏描谩圈形的面稹悬4口【例8（莘杯赛初赛）半彳空悬25釐米的小工戴琪沿著半彳空悬50釐米的大工戴琪的内同J作辗滑勤的滇勤，常小工戴琪沿大工戴琪滇勤一周回到原位日寺，

15、冏小余戴琪自身斡了黑圈？【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答.封於冏题，可以在初始日寺在小琪上取一黠a，觐察半彳空0A，如圈，常小琪沿大猿内壁滇勤到典初始相举寸的位置，即滇勤半彳固大圄周日寺，如圈，半彳空oa也建勤到了典初始日寺相封的位置.适日寺0A沿大琪内壁才滇勤了半圈.畿暹行下半圈，直到oa典初始位置重合，道日寺0A自身醇了1圈，因此小工戴琪自身也醇了1圈.除酎吉】封於醇勤的圄来,常圄心醇勤的距离隹悬一彳固圄周晨日寺，道彳固圄也恰好斡了一圈.所以本题也可以考感小工戴琪的圄心轨星亦，彝现是一彳固半彳空典小工戴琪相等的圄，所以小工戴琪的圄心醇谩的距高隹等於自己的圄周晨，那麽小工戴琪

16、醇勤了1圈.【答案】1圈【聋固】如果半彳悬25釐米的小工戴琪沿著半彳悬50釐米的大患戴琪的外同J作辗滑勤的滇勤，常小工戴琪沿大工戴琪滇勤一周回到原位日寺，冏小工戴琪自身醇了黑圈？【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答【解析】如圈，同檬考感小圄的一修半彳空OA，常小圄在大圄的外同J滇勤一周，即滚勤了大圄的半周日寺，半彳空oa滇勤了540。，滇勤了一圈半，所以常小圄沿大圄外同J滇勤一周日寺，小圄自身辅了3圈.也可以考感小圄圄心醇谩的距离隹.小圄圄心醇谩的是一彳固圄周，半彳空是小圄的3倍，所以造彳固圄的周晨也是小圄的3倍，由於小圄的圄心每醇勤一彳固自身的周晨日寺，小圄也恰好辅了一圈，所以本

17、题中小圄自身辅了3圈.【答案】3圈【聋固】如圈所示，大圄周晨是小圄周晨的n(n1)倍，常小圄在大圄内同J(外例J)作辗滑勤的滇勤一圈彳爰又回到原来的位置，小圄,自己的圄心醇勤了黑【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答【解析】了硅定凰圄心斡勤襄周，首先要明硅圄心醇勤的距离隹小圄的半彳悬“罩位1”，即大圄的半彳悬“n”.在内测滇勤日寺，如圈所示，因悬圄心滇勤的距离隹悬2x(n-1)所以小圄自己的圄心醇勤了：2x(n-1).n-1(圈).2图（1）图（图（1）图（2）在外同J滇勤日寺，如圈所示.因悬圄心滇勤的距离隹悬2x（n+1）.所以小圄自己的圄心醇勤了：2x（n+1）_n+1（圈）.2

18、【答案】n-1和n+1【例9如圈，15枚相同的硬酹排成一彳固房方形，一彳固同檬大小的硬酹沿著外圈滇勤一周，回到起始位置.冏：道枚硬酹自身辅勤了多少圈？【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答常硬酹在房方形的一修遏之内滇勤一次日寺，由於三彳固硬酹的圄心情成一彳固等遏三角形，所以造枚硬酹的圄心相富於沿著半彳空悬硬酹2倍的圄旋辅了180。-60。-60。=60。.而硬酹上的每一黠都是半彳空等於硬酹的圄旋醇，所以硬酹自身旋辅了120.常硬酹彳於房方形的一修遏滇勤到另一修遏日寺，造枚硬酹的圄心相富於沿著半彳空悬硬酹2倍的圄旋醇了360。-60。-60。-90。=150。.而硬酹上的每一黠都是半彳

19、空等於硬酹的圄旋醇，所以硬酹自身旋辅了300.房方形的外圈有12彳固硬酹，其中有4彳固在角上，其绘8彳固在遏上，所以适枚硬酹滇勤一圈有8次是在房方形的一修遏之内滇勤，4次是彳於房方形的一彳条遏滇勤到另一修邃120Ox8+300Ox4=2160。，所以造枚硬断事勤了2160，即自身辅勤了6圈.另解：通谩算圄心轨星亦的畏度，每走一彳固2即滇勤了一周.【答案】6圈【聋固】12彳固相同的硬酹可以排成下麴的4槿正多遏形（野心的速黜.八、F.八、F.=J用一彳固同檬大小的硬酹，分别沿著四彳固正多遏形的外圈辗滑勤地滇勤一周.冏：在哪彳固圈中道枚硬带自身辅勤的圈数最多，最多辅勤了多少圈?【考黠】曲幺泉型旋醇冏

20、题【辘度】3星【题型】解答【解析】举寸於同檬是12彳固硬酹，所辅勤的野心轨E亦其分悬雨部分，一是在角上的醇勤，一是在”遏”上的滇勤.抓住筵方法：圄心轨星亦辰度或二自身辅勤圈数.余靛氤一檬多；都是6圈.【答案】一檬多；都是6圈【例10】一枚半彳空悬1cm的圄形硬酹相互聚靠著平放在桌面上，一枚硬酹沿著它伸的外翰廓滇谩彳爰回到原来的位置，那麽典原A黠重合的黠是.硬酹自己醇勤，硬酹圄心的建勤轨E亦周晨悬.【考黠】曲幺泉型旋辅冏题【辘度】3星【考黠】曲幺泉型旋辅冏题【辘度】3星【题型】解答【解析】先算轨E亦的晨度：三彳固半彳空悬2的半圄，2X（2X2）X3=6，6-2二3，即悬3周，所以答案悬A黠，3周

21、，6.【答案】A黠，3周，6【例11先做一彳固遏房悬2cm的等遏三角形，再以三彳固项黠悬圄心，2cm悬半彳空作弧，形成曲遏三角形（如左圈）.再举借雨彳固道檬的圈形，把一彳固固定住（右圈中的除影），另一彳固圉,著它滇勤，如右圈那檬，彳舱项黠相接的状熊下始滇勤.辛青冏此圈形滇勤日寺谩的面稹是多少平方釐米？（兀.3.14）【考黠】曲幺泉型旋醇冏题【辘度】3星【题型】解答在虑理圈形的建勤冏堰日寺，描2t出物醴的建勤轨E亦是解决冏题的第一步，只有大的方向硅定了，才能施具醴的算.图图图图在数擘中，本题所作出的造彳固曲遏三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一彳固重要的性就是它在所有方向上的寞度都相同.悬

22、了求出“莱洛三角形”滇勤日寺谩的面稹，可以分2步来思考：第1步：如部所示，常“希各三角形”彳第黑匕的上方滇勤到丁黑占A的左遏日寺，道日寺除影“莱洛三角形”滇勤的道部分面稹是以A悬圄心、2cm悬半彳空、圄心角悬60的扇形.在项黠A、B、C虞各有适檬的一彳固扇形；第2步：如圈所示，常“莱洛三角形”在遏AB上滇勤日寺，道日寺可以把除影“莱洛三角形”看作是以圈中d黠悬圄心的圄的一部分，道彳固圄在以c黠悬圄心的弧ab上滇勤，可知此日寺圄心D建勤的轨E亦是圈中的弧dd,所以此日寺除影“莱洛三角形”滇勤的道部分面稹是以c悬圄心、4cm悬半彳空、圄心角悬60的扇形减去半彳空悬2cm的60的扇形；粽上所述，去掉

23、圈中除影“莱洛三角形”彳爰所形成的合圈形就是要求的面稹.滇勤日寺谩的面稹是：3xx2滇勤日寺谩的面稹是：3xx22x-60-l360)(60 x42x-0-l360 x22x360=25.12(cm2)【考黠】曲幺泉型旋辅冏题【考黠】曲幺泉型旋辅冏题【答案】25.12【例】下圈悬半彳空20釐米、圄心角悬1440的扇形圈隰占C、D、E、F、G、H、J是符扇形的B、K弧幺泉分悬8等份的黠.求除影部分面稹之和.【辘度】3星【题型】解答KMA4ANG形4犬相同（举寸鹰角相等），大小相等（举寸鹰遏相等）,有4KMA/AANG,S=S,KMAANG而ALMA是雨彳固三角形的公共部分，所以上圈中的除影部分面

24、稹相等.所以,GnMk典扇形KGA的面稹相等，那麽KGEB的面植悬2倍扇形KGA的面稹.扇形KGA的圄心角悬1440X3=54所以扇形面稹悬Jix200乂兀=60K平方8360釐米那麽KGEB的面稹悬60冗x2=120冗平方釐米.如下圈，做出另一率甫助幺泉.JQAARH形状相同建寸鹰角相等），大小相等（举寸鹰遏相等），有4JQA/AARH,s=s=5A,而APQA是雨彳固三角形的公共部分,JQAARH所以右圈中的除影部分面产相等.所以,JHRQ典扇形jHa的面稹相等，那麽JHDC的面稹悬2倍扇形JHA的面稹.扇形JHA的野心角悬?二1800,所以扇形面佗360 x20220兀平方釐米.那麽JHDC的面稹悬20兀x2=40兀平方釐米.所以，原题圈中除影部分面稹悬S-S=120兀-40昨80兀心80XKGEBJHDC3.14=251.2平方釐米.【答案】251.2【例】10彳固一檬大的圄成如圈所示的形4犬.谩圈中所示雨彳固圄心A,B作直幺泉，那麽直幺泉右上方圄内