电动力学第一章

1、第一章 电磁现象的普遍规律 1.1 电荷和电场 1.2 电流和磁场 1.3 麦克斯韦方程组 1.4 介质的电磁性质 1.5 电磁场边值关系 1.6 电磁场的能量和能流作业 P33 1-141.1电荷和电场 一、库仑定律设真空中有二静止点电荷Q、 Q，库仑由实验发现 Q 对于Q 有一作用力F 为: (1.1-1) 其中 是真空介电常数； r 为由Q到Q的矢量。 (1.1-2) 它是一实验定律，但可以有两种截然不同的物理解释。一种认为Q超越空间距离作用于Q，这种观点称为超距作用或远距作用观点。另一观点认为Q 在其周围空间产生或激发电场:而Q 在电场E中所受的力F为:后一观点称为近距作用观点，认为静

2、止电荷在其周围空间激发一电场E，另一静止电荷Q受到该电场E的作用，因此，电荷与 (1.1-3) 电荷之间是通过电场作用的。实践证明通过场来传递相互作用的观点是正确的。由实验知道，电场具有迭加性， (1.1-4) 设第 i 个电荷 Qi 到P点的距离为ri，则P点上的总电场强度E为若电荷连续分布于区域V内，如图11所示，则P点上的电场强度E为 其中是dV所在点的电荷密度，r是由源点dV到场点P的矢量。 (1.1-5)(1.1-6)库仑定律二、高斯(Gauss)定理和电场散度设S表示包围着电荷Q 的一个闭合曲面，dS为S上的定向面元，以外法线方向为正向，如图1-2所示。通过闭合曲面S的电场E的通量

3、定义为面积分 A 高斯定理 高斯定理：电场E通过任一闭合曲面S 的总通量等于S 内的总电荷量除以 ，而与S 外的电荷无关。用公式表示为 式中，Q 为闭合曲面内的总电荷。 (1.1-7)高斯定理(1)若闭合曲面内有多个电荷Qi ，则E对闭合曲面S的通量为 （Qi 在S内）(2)如果电荷连续分布于空间中，则E对闭合曲面S的通量为 式中V为S所包围的体积。上式右边是V内的总电荷量，与V外的电荷分布无关。根据矢量场的积分变换公式(高斯公式) 不难得到，(1-8)式可以表示为微分形式 (1.1-8)(1.1-9)高斯定理高斯定理(1)电荷是电场的源，电力线从正电荷发出而终止于负电荷。若在某处 ，则在该点

4、处 ,表示在该处既没有电力线发出，也没有电力线终止，但是可以有电力线连续通过该处。(2)(1-9)式称为高斯定理的微分形式。仅适用于电荷连续分布情况。(3)空间某点处电场的散度只和该点上的电荷密度有关，而与其他点的电荷分布无关。 B 高斯定理(1-8)式的证明* 试作E对任意闭合曲面的积分，即求电通量 由(1-6)式可知 因 只与源点的位置有关，dS只与场点的位置有关，而r则和源点、场点的位置都有关系，上式可交换积分次序如下： 是dS在矢径r方向的投影， 刚好是dS对 点所张的立体角 如图1-2所示。 高斯定理若dV在闭曲面内，则积分 因此 所以 若dV在闭曲面外，则积分 C 静电场的旋度 根

5、据电场强度的表示式（1-6），静电场的旋度交换积分运算和微分运算的次序，并利用 求得 此式表明静电场是无旋的。但在一般情况下变化电场是有旋的。根据斯托克斯（Stokes），可得电场E对任一闭合回路L的环量 即，静电场E对任一回路的环量恒为零。 (1.1-10)解：与带电球同心，作半径为r 的球面，由电荷分布的球对称性，球面上各点电场强度有相同的值，并且都沿径向。当 时，球面所围的总电荷为 Q . 而 时，球内电荷总量是由高斯定理得 因此得 例一 :电荷Q 均匀分布在半径为a 的球内，求空间各点的电场强度，并由此得到的电场强度计算电场的散度和旋度。现在计算电场的散度和旋度 1.2电流和磁场 一、

6、电荷守恒定律 A、电流密度 电流是由电荷的定向运动形成的。当电荷在细导线中运动时，电流的方向即是导线的取向。电流的大小用电流强度I描述，它等于单位时间内通过导线横截面的电量： 如图14，设dS为某曲面上的一个面元，它与该点上的电流方向有夹角。定义电流密度J，它的方向沿着该点上的电流方向，它的数值等于单位时间垂直通过单位面积的电量，即 (1.2-1) 图14或 通过任一曲面S的总电流强度I为 (1.2-2) 如果电流由一种运动带电粒子构成，设带电粒子的电荷密度为，平均速度为v，则电流密度为如果有几种带电粒子，其电荷密度分别为i ，平均速度为vi ，有 电荷流动形成电流，但电荷有正、负两种，正、负

7、电荷的速度可以不同，因此电荷密度和电流密度可表为 可见，有 ,而 的情况。导线中的电流就是这样。宏观地说，导线内部原子核的正电荷与电子的负电荷处处抵消，但自由电子的集体运动可形成电流。 (1.2-3) (1.2-4) B、电流密度与电荷密度的关系电荷守恒定律是自然界的一条基本定律，是从大量实践中总结出来的。它可以表述为：电荷既不能创生，也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从这一部分空间转移到另一部分空间。也可以表述为：在孤立系统内发生的任何过程中，正负电荷的代数和保持恒定。考虑空间中一确定区域V，其边界为闭合曲面S。当物质运动时，可能有电荷进入或流出该区域。但是由于电荷不可能产生或

8、消灭，如果有电荷从该区域流出的话，区域V内的电荷必然减小。因此，通过界面流出的总电流应该等于V内的电荷减小率这是电荷守恒定律的积分形式。(1.2-5) C 、电荷守恒定律电荷守恒定律电流连续性方程微分形式在恒定电流情况下，一切物理量不随时间而变，因而稳恒电流分布是无源的，其流线必为闭合曲线，没有发源点和终止点。导电物质中欧姆定律(1.2-6) 导电率：小结梯度、散度、旋度 小结其中 为正交曲线坐标系的基矢； 是一个标量函数； 是一个矢量函数小结小结矢量、张量1 电场的散度2 电场的旋度结论：静电场是有散无旋场3 电荷守恒定律r 表示源点到场点的矢量 二、毕奥萨伐尔（Biot-Savart）定律

9、 A、电流间相互作用的安培定律 实验证明两个电流之间存在着作用力。安培（Ampere）分析了大量的实验资料以后，总结出了真空中两个稳恒电流元之间作用力的公式。设真空中有二回路，其中各有稳定电流I1，I2 流过。安培等人由大量实验分析证明：回路1中的线元dl1对回路2中的线元dl2有作用力 式中， r是由线电流元I1dl1到I2dl2的矢量。B、 毕奥萨伐尔定律线电流元I1dl1激发一磁场，这磁场在I2dl2点的值为 (1.2-8) (1.2-9) 毕奥萨伐尔定律而线电流元I2dl2受该点磁场的作用力为 上式表示磁场对电流元的作用力，也可以看作磁场的定义。B为磁感应强度。如果考虑整个回路1所激发

10、的磁场，则磁感应强度表示为式中，r 是由dl 所在点(源点)到观察点(场点)的矢量。一般来说，电流可在空间作图1-5连续分布，存在电流密度J。在电流场中沿电流线作一小柱形，如图1-5，这一小柱形可看为一个线电流元。设柱形的长为dl，截面积为dS , 则 (1.2-10) (1.2-11) 图15毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律其中，dV 为小柱形的体积。于是，(1.2-11)式可以推广成式中，J(x)为 x点上的电流密度，r 为由源点 x 到观察点 x的距离。毕奥萨伐尔定律给出的是稳恒电流激发磁场的规律。 (1.2-12) 三、磁场的散度 因 由毕奥萨伐尔定律(1.2-12)式得 注意：算符 是对

11、x 的微分算符，与x 无关。并注意到 只依赖于源点坐标( x ) ， 于是 (1.2-13) (1.2-14) 磁场的散度式中令A称为磁场的矢势。由(1.2-3)式以及矢量分析二阶微分得 根据矢量积分公式 可得 此式是稳恒磁场B无源性的积分形式，它表明B对任何闭合曲面的总通量为零。 (1.2-15) 磁场的散度磁场的环量和旋度四、磁场的环量和旋度 在电磁学中我们知道，磁场沿闭合曲线的环量与通过闭合曲线所围曲面的电流 I 成正比 式中L为任一闭合曲线，I为通过L所围曲面的总电流，不通过L所围曲面的电流对环量没有贡献。此式又称为安培环路定律。 对于连续电流分布J，在计算磁场沿回路L的环量时，只需考

12、虑通过以L为边界的曲面S的电流，在S以外流过的电流没有贡献。因此，安培环路定律又可表示为 (1.2-16) (1.2-17) 根据斯脱克斯公式可知 由于dS的任意性得 上式是稳恒磁场的一个基本微分方程。利用毕奥萨伐尔定律也可以推导出此式。由关系式， 以及 先计算这里算符是对x的微分算符，不作用于 上。由于 对r 的函数而言，有 因此上式可写为 (1.2-18) (1.2-19) 磁场的环量和旋度应用公式 可得由于积分区域V 含有 的全部区域，在V 的边界面S上 因此 再计算 利用关系式 可得 (1.2-20) (1.2-21) 磁场的环量和旋度将(1.2-20)式和(1.2-21)式代入恒等式

13、 得 注1. 实践证明 在一般变化磁场下也是成立的，而 只在稳恒情况下成立，在一般情况下需要推广。注2. 注意旋度概念的局域性，即某点上的磁感应强度的旋度只和同一点上的电流密度有关。注3. 虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量，但是磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部，而在周围空间中的磁场是无旋的。 (1.2-22) 磁场的环量和旋度1.3 麦克斯韦方程组 实验发现，不但电荷激发电场，电流激发磁场，而且变化着的电场和磁场可以互相激发，电场和磁场成为统一的整体电磁场。 和恒定场相比，变化电磁场的新规律主要是： (1)变化磁场激发电场(法拉第电磁感应定律)； (2)变化电场激发磁场(麦克斯韦位

14、移电流假设)。一、电磁感应定律 关于电磁感应现象，1831年Faraday从实验中总结出以下规律：闭合导体回路中的感生电动势与通过以该回路为边界的任一曲面磁通量的减少率成正比。Faraday电磁感应定律可表示为式中S为闭合线圈L所围的一个曲面，dS为S上的一个面元。规定L的围绕方向与dS的法线方向成右手螺旋关系。(1.3-1) 麦克斯韦对法拉第电磁感应定律进行了仔细的分析，在1861年提出了涡旋电场的假设。他认为，感应电动势的出现是由于回路中存在非静电性质的电场，称为感应电场。导体的存在与否是非本质的，即使导体不存在，空间也应当存在感应电场，它和回路中电动势的关系是 感应电场与静电场存在着明显

15、的差别，它沿闭合回路的积分一般不为零，也就是说，它的电力线具有涡旋状结构，因此也称为涡旋电场。电磁感应定律涡旋电场有了涡旋电场的概念后，法拉第电磁感应定律可进一步写成 应用斯托克斯(Stokes)将上式化为微分形式后得电磁感应定律的微分形式(1.3-2) (1.3-3) 上式表明，在空间任一点，磁场随时间的变化都要激发电场，这种电场不同于静电场，它的旋度不为零，因而是涡旋电场。对于静电场 满足所以当空间既有静电场 ，又有涡旋电场 时，总电场为则有关系式为涡旋电场A、问题的提出我们已经知道变化的磁场激发电场，那么变换电场是否激发磁场？在回答这个问题之前，我们先考察一下稳恒电流磁场的旋度在变化电磁

16、场情况下它是否还正确呢? 假设上式可以推广到变化电磁场情况，那么 此式表明，变化电磁场情况下仍有 即电流仍然是稳恒的。由电荷守恒定律 还可进一步推出空间各点的电荷密度都满足，不随时间变化。而在非恒定情形下，一般有 由此可见，把适用于稳恒电流情况的(1.2-22)式推广到非稳情况时，它与电荷守恒定律发生严重矛盾。所以式(1.2-22)不能推广到变化电磁场情况，必须修改。(1.2-22) 位移电流为了解决上述矛盾，麦克斯韦(Maxwell)提出一个假设：在非稳恒情况下，产生磁场的原因不仅是传导电流 J，应该还有新的来源，即存在一个称为位移电流的物理量JD，它与电流 J 合起来构成闭合的量位移电流

17、JD与电流 J 一样产生磁效应 此式两边的散度都等于零，同时满足电荷守恒定律，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律可知，电荷密度 与电场散度有关系式 (1.3-4) (1.3-5) (1.3-6) (1.3-7) 位移电流将(1.3-6)式和(1.3-7)式合并可得 与(1.3-4)式比较即得 JD 的一个可能表示式于是有 注1. 位移电流实质上是电场的变化率(?)，它表明变化的电 场能够激发磁场。 注2.位移电流假设是麦克斯韦首先引入的，它的正确性由以 后关于电磁波的广泛实践所证明。 (1.3-8) (1.3-9) 位移电流麦克斯韦方程组真空中的麦克斯韦方程组(1.3-10) 麦克斯韦方程

18、组麦克斯韦的两个基本假设：涡旋电场假设，位移电流假设。麦克斯韦根据他所作的两个假设，预言了电磁波的存在，赫兹用实验证明了电磁波确实存在，有力地证明了麦克斯韦的理论。麦克斯韦方程组最重要的特点是：它揭示了电磁场的内部作用和运动规律，揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在。电磁场互相激发，在空间中运动传播，形成电磁波。洛伦兹力公式电场力磁场力电荷系统受力密度把电磁作用力公式应用到一个粒子上，得到一个带电粒子受电磁场的作用力 这公式称为洛伦兹力公式。洛伦兹假设这公式适用于任意运动的带电粒子。近代物理学实践证实了洛伦兹公式对任意运动速度的带电粒子都是适用的。 由上看到，洛伦兹力公式的建立也通过从特殊到一

19、般推广这一步骤，这种推广最初仅是一种假设，只是后来大量的实验事实证明了它的正确性以后，它才成为电动力学的理论基础之一。 洛伦兹力公式小结毕奥萨伐尔定律磁场的散度磁场的旋度 结论静磁场是无散有旋场稳恒条件1.4 介质的电磁性质 介质(指电磁介质)由分子组成，分子内部有带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子。由于分子是电中性的，因此，当没有外场时介质内部一般不出现宏观的电荷电流分布，其内部的宏观电磁场亦为零。有外场时，介质中的带电粒子受场的作用，正负电荷发生相对位移，有极分子(原来正负电荷中心不重合的分子)的取向以及分子电流的取向亦呈现一定的规则性，这就是介质的极化和磁化现象。一、电介质的极化与极

20、化强度电介质就是绝缘介质。它是由大量的原子、分子组成的。这些微观粒子都是带有同样多的正电荷与负电荷的中性粒子。从宏观上看，在通常情况下，电介质是不带电的。组成电介质的分子有两类： 电介质的极化与极化强度无极分子 ：这类分子的正负电荷中心在无外电场时是重叠在一起的，其电偶极矩为零。有极分子：这类分子的正负电荷分布可以等效地看成相距一定距离的正电中心与负电中心，存在固有的分子电偶极矩(或电矩)。在没有外加电场时，由于分子的热运动，它们原有的电偶极矩排列方向是杂乱无章的，因此在宏观上并不产生平均效果，即没有宏观电偶极矩分布。所以，不论是由哪一种分子组成的电介质，在无外场时都保持电中性。当加入外电场时

21、，每个分于中正负电荷受到不同方向力的作用，无极分子的正负电荷中心发生定向移动，于是产生了沿外电场方向的电偶极矩。有极分子除了有上述的效应外，主要是由于原来无规则排列的固有电偶极矩在外电场的力矩作用下，顺着电场方向排列的数目增多，这样在宏观上电偶极矩总和不为零。因此，在外加电场的作用下，电介质总的效果可以看作是正电荷相对于负电荷沿电场方向移动了一定距离，在宏观上产生了电偶极矩，从而在一个宏观体积元内或面积元上出现一定的体电荷或面电荷分布，如图16所示。这种现象称电介质的极化。由极化产生的体电荷或面电荷，称为束缚电荷。 图1-6 电介质的极化与极化强度束缚电荷束缚电荷与自由电荷的来源是不同的。自由

22、电荷是不受介质的分子束缚的，它是产生外加电场的原因，而束缚电荷是在外电场作用下电极化过程中产生的。它一方面影响整个电场分布，反过来电场分布又影响束缚电荷的大小及分布。但必须指出，从激发电场这一特性上讲，束缚电荷和自由电荷是完全没有区别的。极化强度或极化矢量，用P表示，它定义为 式中pi 为第 I 个分子的电偶极矩，求和符号表示对物理小体积V内所有分子求和。因此极化强度 P 就是每单位体积内分子电偶极矩的矢量和。(1.4-1) 束缚电荷密度与极化矢量介质极化产生了束缚电荷设每个分子由相距为 l的一对正负电荷q 构成，分子电偶极矩为 p = ql .图l7所示为介质内某曲面S上的一个面元dS. 介

23、质极化后，有一些分子电偶极子跨过dS. 由图可见，当偶极子的负电荷处于体积 内时，同一偶极子的正电荷就穿出界面dS 外边设单位体积分子数为n ，则穿出dS外面的正电荷为通过界面S穿出去的总正电荷为(1.4-2) 以p 表示V内束缚电荷密度，则有 利用高斯公式 可得即束缚电荷体密度等于极化强度的负散度。 (1.4-3) 束缚电荷密度与极化矢量束缚电荷讨论对非均匀介质， ，一般存在极化电荷若电场变化，则束缚电荷密度会变化，产生极化电流对均匀介质，内部无极化电荷，只有在自由电荷处或边界存在极化电荷第二周对于不同介质分界面，由于极化，分界面上存在束缚电荷。图18表示介质1和介质2分界面上的一个面元dS

24、. 介质1和介质2的电极化强度分别为P1、P2。在分界面两侧取一定厚度的薄层，使分界面包含在薄层内。在薄层内出现的束缚电荷与dS之比称为分界面上的束缚电荷面密度，用 来表示。则在薄层内出现的净余束缚电荷为 或者 由此可得 式中，n12 为分界面上由介质1 指向介质2的法线。 P1P2P2P1n12束缚电荷密度与极化矢量 电介质中的电场与电位移矢量束缚电荷与自由电荷其来源是不同的，但从激发电场这一特性来讲，它们是没有区别的。因此，只要把在介质中由极化产生的束缚电荷的贡献考虑进去，就可以把真空中的电场的结果推广应用到介质中去。电介质中的电场强度E应遵守如下的规律 由于 于是上式可写成 引入电位移矢

25、量 D , 定义为 (1.4-6)式可写为 (1.4-5) (1.4-6) (1.4-7) (1.4-8) 电介质中的电场与电位移矢量(1.4-7)式中E、P 分别代表介质中的总宏观电场强度和电极化强度，具有明确的物理意义，而电位移矢量D则是为了从理论上考察问题方便而引入的一个辅助量，它本身无明确的物理含义；电介质中，D的散度仅由自由电荷密度决定，而E的散度则由自由电荷密度和束缚电荷密度共同决定。实验指出，对于一般各向同性线性介质，极化强度P和E 之间有简单的线性关系(1.4-9) 称为电介质的极化率，它是一个物质常数，一般它与E无 关。 式中 称为介质的介电常数， r 为相对介电常数。对于给

26、定的物质，在一定的物理条件(如温度、密度)下，这些物质常数 、 是定值。 (1.4-9) (1.4-10) (1.4-11) 电介质中的电场与电位移矢量例：介质束缚电荷密度 均匀介质内部无极化电荷，仅在有自由电荷处存在极化电荷 极化电荷极性与自由电荷相反，抵消自由电荷产生的电场 若在外场方向介质是不均匀的，则内部产生极化电荷 不同介质边界处一般存在极化电荷对各向同性线性介质第二周介质的磁化与磁化强度分子电流相应的磁矩磁化强度M(1.4-12) 介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时般不出现宏观电流分布。在外磁场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流

27、密度 JM , 分子电流也可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流 i 的小线圈，线圈面积为a，则分子电流相应的磁矩为 (1.4-13) 物理小体积 V内的总磁偶极矩与 V之比磁化电流密度与磁化强度dl现在我们求磁化电流密度JM 与磁化强度M 的关系. 图19，设S为介质内部的一个曲面，其边界线为L。由图可见，若分子电流被边界线 L 链环着，这分子电流就对总磁化电流 IM 有贡献。在其他情形下，对IM 都没有贡献。因此，通过S的总磁化电流 IM 等于边界线 L 所链环着的分子数目乘上每个分子的电流 i 磁化电流密度与磁化强度图110所示为边界线上的一个线元dl. 由图可见，若分子中心位于体积

28、为adl 的柱体内，则该分子电流就被dl 所穿过。因此，若单位体积分子数为n，则被边界线L链环着的分子电流数目为 总磁化电流为而 故 根据斯托克斯公式 可得 除了磁化电流之外，当电场变化时，介质的极化强度P 发生变化，这种变化产生另一种电流，称为极化电流。极化电流密度JP可以表示为 磁化电流JM 和极化电流 Jp 之和是介质内的总诱导电流密度. 在有介质时，总诱导电流（JM+ Jp）和传导电流 Jf 一起激发磁场，因此麦克斯韦方程(1.3-10)式中的J 应该有三部分组成，即 (1.4-14) (1.4-15) 磁化电流密度与磁化强度于是 由于故(1.4-16)式可改写为引入磁场强度H, 定义

29、为 则(1.4-17)式为(1.4-16) (1.4-17) (1.4-18) (1.4-19) 磁场强度磁场强度实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度M 和 H 之间有简单的线性关系: 称为磁化率。把(1.4-20)式代入(1.4-18)式得(1.4-20) (1.4-21) 磁场强度从物理本质上看，E 和 B 是场的基本物理量，而 D 和 H是辅助物理量四、介质中的麦克斯韦方程组 公式中出现的和 J 分别代表自由电荷和自由电流分布, 解实际问题时，除了这组基本方程外，还必须引入一些关于介质电磁性质的实验关系， (1.4-22) 介质中的麦克斯韦方程组在导电物质中还有欧姆（Ohm）定律

30、为电导率。这些关系称为介质的电磁性质方程，它们反映介质的宏观电磁性质。必须指出，由于物质电磁性质的多种多样，对于各向异性介质，在某些方向上容易极化或磁化，而在另外一些方向上则难于极化或磁化，使P 与E 的方向不相同，M 方向与 B 方向不相同，这时D 和 E、B 和 H 的关系不再是线性的，而是较复杂的张量式。这些介质中D 和 E 的一般线性关系是 式中指标1，2，3代表x, y, z 分量。上式可简写为 (1.4-25) (1.4-26) 介质中的麦克斯韦方程组(1.4-27) 在强场（如激光）作用下，许多介质呈现非线性现象，这情形下D不仅与E的一次式有关，而且与E的二次式、三次式等都有关系

31、。此时，D和E的一般关系式是 除第一项外，其它各项都是非线性项。此式在非线性光学中有重要的应用。 (1.4-28) 一般介质电磁性质方程铁磁介质， 与 一般为非线性关系，而且非单值，两者之间的关系与过程相关，具有记忆效应。介质中之唯象定律 方法一：进一步建立微观模型，用统计方法获得宏观响应规律 方法二：直接借助实验，将响应规律归纳抽象出来介质对外电磁场的响应规律如何？归结为 、 与 、 的关系.例：通过电子的微观运动方程，可以获得等离子体对角频率 的电磁场的响应规律为：第二周1.5 电磁场边值关系 (1.5-1) 麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部在两介质分界面上，由于一般出现面电荷或面

32、电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦氏方程组不再适用因此，在介质分界面上，我们要用另一种形式描述界面两侧的场强以及界面上电荷电流的关系下面我们分别求出场量的法向分量和切向分量的跃变。 A、法向分量的跃变 研究边值关系的基础是积分形式的麦氏方程组式中If为通过曲面S的总传导电流，Qf为闭合曲面内的总自由电荷 如图112所示，在分界面两侧取一个底面积为 S的扁平状柱体。Qf 和Qp 分别为柱体内的总自由电荷和总束缚电荷，它们等于相应的电荷面密度 f 和 p乘以底面积S.把麦氏方程 应用到扁平状区域上，当柱体的厚度趋于零时，对侧面的积分趋于零，得 于是有 利用以及 得 (1.5-2) (1.5-

33、3) 图112规定 n 的方向由介质1指向介质2的法向（本教材）电磁场边值关系 由此可见，电极化强度Pn 的跃变与束缚电荷面密度相关；Dn 的跃变与自由电荷面密度相关；En 的跃变与总电荷面密度。图112(1.5-4) 对于磁场B，把麦氏方程 仍然应用到该扁平状区域上，当柱体的厚度趋于零时，对侧面的积分趋于零，得 电磁场边值关系 切向分量的跃变 界面上的面电流将引起界面两侧磁场切向分量发生跃变。为求出两者的关系，在界面上取一线元l，并以它为中线垂直于界面作一小矩形。矩形上下两边分别深入到界面两侧介质足够多的分子层中，但两短边仍可看成是宏观小量(图113)。把麦氏方程 应用到这个矩形回路上， 其

34、中 t 表示沿l 的切向分量。 (1.5-5) 图113tl.通过回路内的总传导电流为 式中 为传导电流线密度。当回路短边的长度趋于零时，回路所围面积趋于零，而 为有限值，因而由此可得 (1.5-6) (1.5-7) 将代入有电磁场边值关系 同理，由麦氏方程第一式可得电场切向分量的边值关系： 此式表示界面两侧量的电场切向分量连续. (1.5-8) 这就是磁场切向分量的边值关系电磁场边值关系 法向分量跃变法向分量不跃变切向分量跃变切向分量不跃变电磁场边值关系 电磁场的边值关系为 这组方程和麦氏方程式(1.5-1)一一对应。它们实质上是边界上的场方程，是Maxwell方程组在介质交界面上的具体化。

35、由于实际问题往往含有几种介质以及导体在内，因此，边值关系的具体应用对于解决实际问题是十分重要的。 (1.5-11) 电磁场边值关系 总结： 总结： 上面公式中的电荷、电流都是指自由电荷和传导电流例题例1：证明在导体界面上电流法向分量满足边值关系 是导体面上自由电荷面密度。证明：将积分形式的电荷守恒定律，应用到图112中的扁平小柱体上，注意对于实际导体电流都是体分布的，在柱体侧面上的积分是零。在导体面薄层中的电荷可以看作是面电荷分布，体分布的电荷由于柱体积趋于零，实际上就是分界面上的电荷，于是得出电流法向分量的边值关系： 图112图112例题例2：其中面磁化电流密度为体磁化电流密度电磁场能量概念

36、的引入电磁场是一种物质形态，应该具有能量。什么是电磁场能量？ 在对电磁场能量一无所知的情况下，我们应坚定这样的信心： 能量守恒！能量一定守恒！能量只能转化不能消失！考虑一定区域中电磁场力对其中“自由”荷电物质作功，此功将转变成“自由”荷电物质的机械能，根据能量守恒的信念，应该有场对物质作功场能量的减少流入区域的能量 把场力作功表达成电磁场量，就可能获得场能量的合理表达式第二周1.6 电磁场的能量和能流 电磁场是一种物质，它具有内部运动。实验表明，电磁场的确携带能量，而且能以电磁波的形式传递能量。一、场和电荷系统的能量守恒定律 场和电荷相互作用时，能量就在场和电荷之间转移。在转移过程中总能量是守恒的