初中数学中的折叠问题

1、-初中数学中的叠问题 一、矩形的折叠1将一张长方形纸片按如图的式折 为折叠后 和 BH 在一条直线D= 度2.如图所,一张矩形纸片沿顶点 落点 处点 A折叠使折痕DB若 A，,面积是 3.,形纸片 ACD AB4AD=3折叠纸片使A边与对角线B 重，得折痕 DG,求 的D A根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4.矩形纸片 A 沿 B折叠，使BA 边 重，然后再沿BF 折,得折痕 E 也C 边合，展开后如图所示，则等( )注意折叠前后角的对应关系5.如图，沿矩形A对角线 折，点 C 在点 E 的位已知 BC=8，cm, 求折叠后重合部分的面积重合部

2、分是以折痕为底边的等腰三角形F3D21C-6.将一张矩形纸条 按图示折若折叠角则 的形状 三形对折前后图形的位置变形状不,注意一般情况度 eq oac(,；)下要画出对折前后的图于寻找对折前后图形之间的D关注意以折痕为底边的等 A FDB E 7.如图，将矩形纸ABCD 按如下的顺序进行折展得折痕 （图)；延 CG 折叠，使点B 落在 EF 上点（如图展得折痕（如图)；沿 G折叠，使点 落在H 的点 处图沿折（如图；展,得折痕 H（如图 .（）求图 BCB的大小；（图中的 eq oac(,G) eq oac(, )是正三角形请说明理由理清在每一个折叠过程中的变与不变如,正方形纸片边为 ，将其沿

3、 E 折叠，则图 中四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等如将长为 4 的正方形 CD 沿着折痕 E 折点 B落在边 AD 的点 G 处求四边形CFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不对应角相等10如,将一个边长为的正方形纸D 叠使点 在边 AD 上 不 A 为折痕，折叠后C与N 于 P(1)连接 BB，么 BB与 MN 的度相等吗？为什(2)设 B=x, y 与 x 的数关系;（3)猜想当点落在什么位置上时，折叠起来的梯形面最并验证你的猜-二、纸片的折叠1如有一条直的宽纸带，按图折的度数等于（CD)BF a21题考查的是平行线的性位角相等A对称的性折叠的角与其对应角相等，

4、和平角 度性质，注意 eq oac(,E) eq oac(, ) 是以折痕 为底的等三角形 12如图，将一宽为cm 的,沿 使则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联充完整，对于矩形（纸片）折 折叠后会形成“平行线角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角 ABC1将宽 2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折 的是注意掌握折叠前后图形的对应关在矩形（纸折问题会出现“平行角平分线”的基本结构图形，有以折痕为底边的等 腰三角形Q14如图 是方形纸DEF=20,纸带沿 E 折成图 b，再沿F 折成图 c则图 c 中 度数( ） D A EDFF F图a

5、图D图c-C -C 本题考查图形的翻折变题过程中应注意折叠是一种对称变换对称轴对称的 性质，折叠前后图形的形状和大小不变由题意知 140图 c 中CF将一张长为7 的长方形纸BC，沿对称轴 折成如图的形状，若折叠后， 与 的距离为 60cm则原纸片的宽A( ）CFDA FDGE60cmBE 一根 、 的方形纸条，将其按照图示的过程折部分表示纸条的反为了美,望折叠完成后纸条两端超出点的长度相折时，求A 的三、三角中的折叠17如,把 eq oac(,) （), ，两点重得到折痕 E再沿 BE 折叠,C 点 好与点重则 C:AE=8在 eq oac(,A) eq oac(, )已 A30, 是 AB

6、 边中若 ABC 沿 对折起, 折叠后两个小 eq oac(,A) eq oac(, ) 与 eq oac(,B) eq oac(, )重叠部分的面积恰好等于折叠前 eq oac(,AB) eq oac(, )的积错 当中线 CD 等于 a 时重叠部的面积等于 ；-）有如下结论（不在于 ”的限制条件 边的长可以等a叠前的A的面积可以等于r(3)a 折,以 A 为端点的段A 与中线 平行且相等 中，结论正(把你认为正确结论的号都填为都不正确填“无CCA1E 32BADB注意“角平分+等腰三角形”的基本构，折叠 前后图形之间的对出相等的对应角和对应边9. eq oac(,A) eq oac(, )

7、 ,已知A=8,把CDE 沿E 进行不同的折叠 ， 对折叠后产生的夹角进行探究：）如把 沿E 折在四边形AB ,求2 和；（如(）把CDE 沿 DE 折叠覆盖A,则求1+的;（）如把 沿 DE 斜上折叠，探求、 的关（1)根据折叠前后的图象全等可 ，=180-C，再根据三角形内角和定 理比可求出答;(2)连接 DGADGAGD 为一个整体三A角形内角和定理来D1（3)将 看 2CED,1 看 ,根据三角形内角和定理来E2图1)BCC AD12G12图(-C图(EB-由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20观察与发将三角形纸片A沿过点的直线折使得 AC 落 A边上，

8、折痕为AD展 开纸图);在第一次折叠的基础上第二折叠该三角形纸和点D 重折痕为 ， 展平纸片后得到AEF如图认 eq oac(,A) eq oac(, )是等腰三角形，你同意说理由实践与运用：（1)将矩形纸片沿过点 B 的直线折使点 A 落 BC 边的点 ,痕为 B如图 过点 E 的直线折,使点 D 落 BE 上点 为 EG（如图再平纸（如 图求图中的大小由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓 折叠前后图形之间的对应关系(2)将矩形纸片A 按如下步骤操将纸片对折得折E，折痕与边交于E，与B边交于点将矩形 FE 与形 EFC分别沿折痕M 和 P折叠点

9、A D 都点 F 重展开纸片，此时恰好MP=MN=PQ(如 的大在矩形中的折叠问常会出平线平行线”的基本结构，即以折为底边的等腰三角形直三角形纸片C ,AC,AC如图将纸片沿某条直线折叠 点 A 落在直角边C 上记落点为设痕与 AAC 边别交于点、点 探如果折叠后的CDF 与DE 均等腰三角那纸片中B 的数是多？写出你的计 算过并画出符合条件的后的图形-先确定 eq oac(,C) eq oac(, ) 等腰三角形，得出F=因为不确定 eq oac(, )以那两条边为 腰的等腰三角故讨DE=DB,，DE=BE,后分别利用角的关系得出答案即可 2下列图案给出了折叠一个直角边长 的腰直角角形纸 ）

10、的全过首先对如 图 ，折痕D 交点 打开后，过点D 任折叠，使折DE 交 B于点 E,如图；打开 后如图 4 AE 折如图 5开如 6则痕E 和 AE 长的和的最小值 )本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题可以参 文章23.小将一条如 ），沿对称轴折叠次后得），再将图沿它对称轴折叠后得到 （如图 则图 3 中一腰长操作小连续将1 折次后所得如图 一条 腰长为多少？本题是一道找规律的题目在中考中经常出于找规律的题目首先应找出哪些部分发 生了变,按照什么规律变化的24.如,矩形纸片 A 中, C= 0 第一次将纸片折点与点 D 重,折痕与D 交点 ;O D

11、的中点 D 第二次将纸片折叠使B 与点 D 重,折痕与 BD 交于点1 1 1O 设 D 的点为 D 第次纸片折叠使B 与点 ,折痕与交于O ,按上 2 2 1 述方法，第n 次叠后的折痕与交于 ， B = ，BO = 1 -1 1 1 2 2 12 2 3 n-21 1 1 2 2 12 2 3 n-2n 6问题中涉及到的折叠从有限到无限一次折叠中的变与不变运的详细过程。 在找规律时要把最终的结果写成一样的形变不特别是变化的数据与折叠次数 之间的关系如图，直角三角形纸ABC B=,AC=4,D 为边中第 1 次纸片折叠，使点 与点 D 重,痕与 交于点 ; D 的中点为 D 第次将纸片折叠，

12、使A 与 D 重合，折痕与交于点； D 的中点为 D , 3 次纸片折叠，使A 与 D 重合，折痕 与 交于点 设 D 的点为 D ，第 纸片折使 A 与点 D 重折痕与 AD 交 于点 P (）则 长( ）此题考查了翻折变换的知答题关键是写出前面几个有关线段长度的表达出一般 规,注意培养自己的归纳总结力26.阅理解如图 eq oac(,)中,沿 的分AB 剪掉重复部将下部分沿 A C 的平分线A 1 1 1 1 2折,剪掉重复部分；将余部分沿 C 的分线 折，点 与 C 重,无论 n n n+1 n折叠多少次，只要最后一次恰好重 是 eq oac(,AB) eq oac(, )的好角小丽展示

13、了确定 是 eq oac(,AB) eq oac(, )好角的两种情形如图沿等腰三角形C 顶角BA 的平分线 折点与点 C 重情形二图 沿C 的平分线 A 折,剪掉重复部 1分；将余下部分沿 A C 的平线 A 折此时点 点 重.1 1 2 1探究发现（1）ABC 中经两BAC 是不 eq oac(,A) eq oac(, )的好?(填“是”或“不是”）小经过三次折叠发现了 是 的好角，请探究 与C（不妨设C）之间 的等量关系上容猜经过n 次叠BAC 是ABC 的,则与不设 之的等量关系为 B = 应用提升(3）小丽找到一个三角个分别为、60、15发现 60和 105的个角都是 此三角形的好请

14、你完成果个三角形的最小角4求出三角形另外两个角的度三角形的三个 角均是此三角形的好角 图 D CC2-注意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用，理解三 形中如果有一个角是好角之两角之间的关过这样的问题培养归纳总结能力我们知道：任意的三角形纸片可通过如所示的方法折叠得到一个 形）实践：将图中的正方形纸片通过适当的方法折叠成一个中画图说（探究任意的四边形纸片是否都能通过适当的方法折叠成一个矩形？中画 图说;不,四边形至少应具备什么条件才图明画图应体现折叠过虚 线表示折用箭头表示方向，后图形中既无缝隙又无重叠部分）折叠即对称628如图，双曲线y =(经四边形O 的点

15、 、C， xBC=90分 O与 x 轴半轴的夹将ABC 沿 翻后得到 eq oac(,AB) eq oac(, )点在 OA 上则边形 B的面积是多少明白折叠中的对应边就行已知一个直角三角形纸片其中AOB=90,OA=，OB=4.如图纸放置在平面直角标系该,痕与边交于y点，与边A 交点 D(1)若折叠后使点B 与点 A 重，求点的坐）若折叠后点落在边 上点为 B，设,OCy,试写 出关于 x 的数解析，并确y 的值范围；（3)若折叠后点 B 落边 OA 上的点为 且使 BOB此时点DC 的x Ay yB 2 B x O B A -四、圆中折叠30.如方 AB的边长2O 直径为将方形的边沿 EC 折,点落在圆 上的求 BE 的长用对称关系构造勾股定用股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法 31如,将半径为 的O AB 折,弧 AB 恰经过与A 垂的半径C 的中点 D，则折痕 长( ）CCDOA AEB注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解32如