五年级奥数组合的基本应用(一)教师版

1、n n 7-5-1. 合本用）教学目五年级奥数组合的基本应用（一） 教师版了解组数的意义能根据具体的问,出符合要求的组合；掌握组的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 会析与数字有关的计数问题以及与其他专题的综运用 养学生的抽象能力和逻 辑思维能力；通过本讲的学习 , 对合的一些计数问题进行归纳总结 ,重点掌握组合的联系和区别 , 并 掌握一些组合技如排除法、插板法等知识要一、组合问题日常生活中有很多“组问题如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选 出几人参加某项活动等等这分组问题就我们将要讨论的组合,这我们将着重 研究有多少种分组方法的问题一般地 从 n 个同元素中取 个( m

2、元组成一组不较组内各元素的次序 ,叫 做从 个同元素中取出 m 个素的一个组合从排列和组合的定义可以知道排列与元素的顺序有关而组合与顺序无关如果两个组 合中的元素完全相同 ,那不管元素的顺序如何 ,都是同的组合 , 有当两个组合中的元素 不完全相同才是不同的组合从 n 个不同元素中取出 m 个素 m )的所有组合的个数叫做从 n 个同素中取出 个同元素组合数记作 C 一般地求从 不同元素中取出的 m 个素的排列数 Pm可分成以下两步：第一步：从 n 不同元素中取出 个素成一,共有 C 种法；第二步：将每一个组合中的 个元素进行全排共有 P 种法根据乘法原得到 C 因此,组合数 C 这个公式就是

3、组合数公式二、组合数的重要性质1 / 一般地组合数有下面的重要性质： C ( )这个公式的直观意义是： C 表从 n 个元素中取出 个素组成一组的所有分组方法 C 表示从 n 个元素中取出 )个素组成一组的所有分组方法显然从 个素 中选出 m 个素的分方法恰是从 n 个元素中选 个素剩下( )个元素的分组方 法例如,从 5 人选 3 人会的方法和从 人选出 2 人去开会的方法是一样多即 规定 , C 例题精模块一、组合之计算问题【 1】 算 C , C ； C , C 【考点】组合之基本运用 【难度1 【题型】解答 【析 C P , C 15 21 , 21【小结】注意到上面的结果中, , C

4、 【答案】 C C , C21【 2】 算 C ； ； C 【考点】组合之基本运用 【难度1 【题型】解答P 【解析】 ； C P 56 ； 1 C 【答案】 P 4948 P 2 【固 计： ； ； 【考点】组合之基本运用 【难度1 【题型】解答【解析】 C 1000 9992 【答案】 220 C 8 2 56 P 28 2 / 模块二、组合之体育比赛中的数学【 3】 校行球循赛有 队加问：需进多场赛【考点】组合之基本运用 【难度1 【题型】解答【解析】 因为比是单循环制的 ,所以, 个队中的每两个队都要进行一场比赛 且比赛的 场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关所这是一个在1

5、 个队 中取 个的组合问题由组合数公式知,需进行 C 【答案】 66 2 66 (场比赛【固 芳地学行球循环有 24 队加：需进多场赛 【考点】组合之基本运用 【难度1 【题型】解答【析 由组数公式,需进行 C 276 (场比赛【答案】 C276【 4】 个传,每两之间多一那最共行 次球【考点】组合之基本运用 【难度2 星 【型】填空【关键词】迎春三年级初赛7 题【析 本是一道比赛场数计数问,每个人之间至多传一”,让 个最多次地传, 则是 4321（次）但要看是否可以传回去在传递过程中两人是否重 复.15 条代表传球 次根一笔画问行通应少奇数点的个共有 个 奇数点应该去掉两条直,就是去掉 4

6、个数点,剩下 个数点,可以传递回 来了.所以答案为 4322（次） EA DB 【答案】 次【 5】 批棋手行环赛每人与他有人一,根据分决冠循 赛要行8场,那么共多人加环？【考点】组合之基本运用 【难度2 【题型】解答【解析】 从若人中选出 人赛与出的先后顺序无,是一个组合问题依题假设n 有 个参加循环赛 应该有 所 n , 所2 以 即一共有 3 人加循环赛【答案】 n 【 6】 校行生乓比赛比赛成3个段行第一段将加赛名 选分个组每6分进单环；二段将个组生前 名16再分 4 个组组 人,分别进单环；三段由个小组 生 第 名进 2 场半赛 2 场决确 1 至 名的名：个程3 / 一需进多场赛【

7、考点】组合之基本运用 【难度2 【题型】解答6 【解析】 第 一段中 每小组内部的 个人每 2 人赛一场 组内赛 C 场 共 82 个小组有 15 场4 第二阶段中每小组内部 4 人每 2 人赛一场,内赛 C 场共 个组2 有 6 24 场第三阶段赛 场根据加法原整个赛程一共有20 24 场比赛【答案】 148【 7】 8队加赛采用下所的汰方在赛抽时,可以得 多种质同比安表【考点】组合之基本运用 【难度3 【题型】解答 【析 (法 1)选 4 人再考虑组合的方法 有 种合,中实质不同的有一半即 70 35 ；对每一边的 4 个人,共有实质性不同 C 种所以,可以得到 种质不同的比赛安排表(法

8、先考虑所有情况再虑重复情况首先是 8! 考虑到实质相同：1；3、；、6、8；、二；三、四； A 、 B 以上 组均可交换即一种实际上复计算了 2 7次答为： 8! 【答案】 模块三、组合之数字问题【 8】 分写 3 、 5 、 、 9 的五张片任两,成道个一数乘 法,问： 有多少不的积 有少不的法式【考点】组合之基本运用 【难度3 【题型】解答【析 要虑有多少个不同乘积只从 5 张片中取两,可以得到一个乘积, 所以 , 有少个乘积只与所取的卡片有关 ,而卡片取出的顺序无关 ,所这是一个 组合问题4 / 2 2 P 5 由组合数公共有 C (不同的乘积 2 要虑有多少个不同的乘法算,不仅与两张卡

9、片上的数字有关,且与取到 两张卡片的顺序有关,所以这是一个排列问题由排列数公共有 (种)同的乘法算式【答案】 C P 20【固 、8、6、4、3、这个字划7数一有少方？ 【考点】组合之基本运用 【难度2 【题型】解答【析 相当在 个字选出 个去一有 7654321 （321） 种【答案】120【固 从别有 、 2 、 3 、 4 、 、 7 、 的八卡中取两做一两 一数加题有少不的？【考点】组合之基本运用 【难度2 【题型】解答P 【析 P 【答案】 C 28 28 种) 【 9】 红黄蓝绿种色卡片张且每颜的片分标有1 从些片取张要1、2、各一张但四颜都有求共_ 种取？【考点】组合之基本运用

10、【度3 【题型】填空【关键词】学而思杯, 年级, 14 题【解析】 四种色都有则两个数是同一种颜色即,它三个数字和三种颜色一一对应。 C 种5 【答案】240 种【 】 在 中意出个同数加其和偶的有少不的法 【考点】组合之基本运用 【难度3 【题型】解答【析 两个的和是偶数通过前面刚刚学过的奇偶分析这两个数必然同是奇数或同是 偶数,而取出的两个数与顺序无,所以是组合问题从 个数中取出 个有 50 1225 ()取法； 2 50 从 个数中取出 个也有 C 1225 (种)取法2 根据加法原理一共有1225 2450 种不同的取法【小结】在本题,两个数的和限定了条件不妨对这个条件进行分,把和为偶

11、数分成 两奇数相加或两偶数相加这样可以把问题简化【答案】 2450【固 从19 、 、 、 这 个数,选取个同数其为数选 总是少【考点】组合之基本运用 【难度3 【题型】解答【析 19 、 、 、 中 个数, 38 个数, 38 个中任取 2 个的方法有： 【答案】 2 703 (种),所以选法总数有： (种)5 / 【 】 一个子有 1 个编号次 1 , 3 , 的球从中摸出 个球使们编号 之为数则不的法数多？【考点】组合之基本运用 【难度3 【题型】解答【解析】 个编号中 5 奇 偶要 6 个球的编号之和为奇,有以下三种情形： 5 奇 1 偶 这 时 对 奇 数 只有 种 选 择 , 对

12、偶 数 有 种 选 由 乘 法 原 理 , 有 (种选； 3 奇 3 偶 这 时 对 奇 数 有 ( 种 选 择 对 偶 数 也 有 5 种)选择由乘法原有0 100 种)选择； 3 1 奇 偶这时对奇数有 5 种择对数只有1 种择由乘法原理, 有 (种选择由加法原理,同的摸法有 5 (种【答案】 5110【 】 用个个,23以成少互相同六数用 个 , 个1 , 个 2 可组多个不同六数【考点】组合之基本运用 【难度3 【题型】解答【解析】 先 考在 个位上选 2 个数位放 1 , 这两个 1 的序无所谓 故组合问题 有C 6 (种)法；再从剩下的 个位上选 2 个 2 ,有 C 2 4 种选

13、 2 法；剩下的 个位放 3 ,有 种法由乘法原理,样的六位数有 15 (个)在前一问的情况下组成的 个位数,位是1 、 3 的 个如果将 全部 换成 , 这 个位是 0 的将不是六位数 , 以可以组成互不相同的六位数 90 (个)【答案】 60【 】 从 1 , 3 , , 中任取个字从 2 , 4 , 6 , 8 中取个字组成有复字 五数一可以成少数【考点】组合之基本运用 【难度3 【题型】解答【解析】 整个程可以分三步完：第一从1 3 中取三个数字这一组合问 题,有 种法二步从 2 , 6 中取两个数,是一个组合问,有 种 法；第三,取出的 5 个字组成没有重复数字的五位有 P 种方法所

14、以总的个数为： 【答案】 （【 】 从 0 、 、1 、 、 3 、 、 这七个字任个成位,可成多个 不的位？这每数只许 次比如1、就是以成而 11就是可组成）【考点】组合之基本运用 【难度1 【题型】解答【关键词】陈省身杯,五年级【解析】 若三数不含有 有 5 （个若含有一个 0 有 5 40 （）,含 有两个 0 , （）所以共有 60 （个【答案】 105【 】 用个个,23以成少互相同六数用2个0个1个可以组 成少互相的位？【考点】组合之基本运用 【难度3 【题型】解答【析 先考虑在 6 个位上选 2 个数位放 1,这个 的序无所谓 故是组合问题有C 种法；再从剩下的 4 个位上选 2 放 2, 种法；剩下的 2 6 / 数位放 3,有 种选法由乘法原这样的六位数有5 个在前一问