天津星座中学2023年高三数学理模拟试题含解析

1、天津星座中学2023年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知锐角满足，则等于（ ）ABCD参考答案：A略2. 已知等比数列an中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A3B15C48D63参考答案：C【考点】等比数列的性质【分析】根据等比数列的性质进行求解即可【解答】解：a1+a2=3，a3+a4=12，（a1+a2）q2=a3+a4，即q2=4，则a5+a6=（a3+a4）q2=124=48，故选：C3. 已知函数，则方程gf（x）a=0（a为正实数）的实数根最多有（）个A6个

2、B4个C7个D8个参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】利用导数求的f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=3，且函数的值域为R分a=1、0a1、a1三种情况，研究方程跟的个数，从而得出结论【解答】解：函数，令f（x）=0 可得 x=0，x=2，在（，0）上，f（x）0，f（x）是增函数；在（0，2）上，f（x）0，f（x）是减函数；在（2，+）上，f（x）0，f（x）是增函数故f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=3，且函数的值域为R由函数g（x）的图象可得，当x=3或x=时，g（x）=1当a=1时，若方程gf（x）a=0，则：f（x）=3，此时方程有2个

3、根，或f（x）=，此时方程有3个根，故方程gf（x）a=0可能共有5个根当0a1时，方程gf（x）a=0，则：f（x）（4，3），此时方程有1个根，或f（x）（3，2），此时方程有3个根故方程gf（x）a=0可能共有4个根当a1时，方程gf（x）a=0，则：f（x）（0，），或f（x）（，+），方程可能有4个、5个或6个根故方程gf（x）a=0（a为正实数）的实数根最多有6个，故选 A4. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+)上单调递减的函数为（ ）ABCD 参考答案：B对于，函数是奇函数，不满足题意；对于，函数是偶函数，在区间上，函数单调递减，故满足题意；对于， 函数是偶函数，在区间

4、上，函数单调递增，故不满足题意；对于，函数是偶函数，在区间上，不是单调函数，故不满足题意，故选B.5. 执行如图所示的程序框图，输出的M的值为（ ）A.17 B.53 C.161 D.485 参考答案：C略6. 抛物线y2=2x的准线方程是（）Ay=1By=Cx=1Dx=参考答案：D【考点】抛物线的简单性质【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=故选：D7. 如图，在中，是边上的点，且，则的值为 A B C D参考答案：D本题考查了正、余弦定理以及三角函数知识，难度中等。设AB=a,则AD=a,BD=，BC=a，则,在中，由正弦定理可得,即，所以

5、，选D。8. 已知i为虚数单位，复数，若 复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为 A. B C D 参考答案：【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4B 解析：，因为 复平面内对应的点在第四象限，所以，故选 B.【思路点拨】先把复数z化为最简形式，在利用复数的几何意义求解. 9. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360B.520C.600D.720参考答案：C略10. 设是两个命题，则是的（ ）A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D.

6、 既不充分也不必要条件参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线，圆.若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当取得最大值时，C的实轴长为_参考答案：【分析】首先利用直线与圆相切确定a,b的关系，然后利用导函数研究函数取得最大值时双曲线的实轴长度即可.【详解】双曲线的一条渐近线方程为：，圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即：，据此可知：，则，故 ，令，则 ，由导函数与原函数的单调性的关于可知：函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取得最大值时，此时的实轴长为.【点睛】本题主要考查双曲线的性质，导函数研究函数的单调性与最值等知识，意在考

7、查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知正方形边长为1，是线段的中点，则_.参考答案：【考点】平面向量。解析：以B为原点，BC向右方向为x轴正方向，BA向上方向为y轴正方向，建立直角坐标系，则各点坐标为：A（0,1），B（0,0），D（1,1），E（1，），所以，（1，）（1,1），答案：13. 双曲线（a0）的一条渐近线方程为，则a= .参考答案：5由双曲线的标准方程可得渐近线方程为： ，结合题意可得： .14. 已知，则（ ）A B C D参考答案：C略15. 若如图所示的算法流程图中输出y的值为0，则输入x的值可能是_(写出所有可能的值)参考答案：0，3,116. 设半径为2的球面上

8、四点，且满足=,=,=,则的最大值是_参考答案：略17. 方程的所有正整数解为 。参考答案：。解析：，所以。设，类似的可得 。设，则原方程化为，即。因为，所以。又因为，所以为偶数，于是，经验证，所以。或由，得，又因为为奇数，所以经验证。三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程参考答案：【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K4：椭圆的简单性质【分析】（）通过离

9、心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（） 设F（c，0），由条件知，得?又，所以a=2?，b2=a2c2=1，故E的方程（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而?又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积=，设，则t0，当且仅当t

10、=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x2或y=x219. （14分）已知函数()求函数的最小值；()求证：；()对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.设函数，与是否存在“分界线”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解析：()解：因为，令，解得，令，解得，所以函数在上递减，上递增，所以的最小值为 3分()证明：由()知函数在取得最小值，所以，即两端同时乘以得，把换成得，当且仅当时等号成立由得， ， ，将上式相乘得9分（）设. 则 所以当时，；当时，因此时取得最小值0，则与的图象在处有公共点设与存在

11、 “分界线”，方程为.由在恒成立，则在恒成立.所以成立.因此.下面证明成立.设，.所以当时，；当时，. 因此时取得最大值0，则成立.所以，. 14分20. （本小题满分13分）已知函数.（）若的极值点，求在上的最大值； （）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（）在（）的条件下，是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有三个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.参考答案：解：2分 （）依题意，即令得则当x在1，4上变化时，变化情况如下表：x1（1，3）3（3，4）40+6减18增12上的最大值是5分（）上是增函数，在上恒有，即上恒成立. 即上恒成立.只需即可. 8分而当10分 （）函数的图象与函数的图象恰有3个交点，即方程恰有3个不等实根.11分x=0是其中一个根，12分方程有两个非零不等实根.存在满足条件的b值，b的取值