5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学设计-人教版必修一

1、单元教设计： 1 角和与的正弦、余和正切式一、内和内容解析容两角和与差的正弦、余弦和正切公式容析本节的主要内容是两角差的余弦公式；两角和与差的正弦、余弦公中内容 是建立相关的六个公式，通过探索、证明和初步应用，体会和认识公式的特征及功能引导学生通过独立探索和讨论交流出两角和与差的三角函数的六个公式了它 们的内在联系运用这些公式进行简单的三角恒等变换打下基础节的学习有着极其重 要的地位发展学生数学直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养基于以上分析本元的教学重两和与差的正弦余弦和正切公式的推导过程及 运用二目和标析标（1掌握由两角和与差正弦、余弦、正切公式的推导过程；（2会用两角和与差的

2、正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计 算等；（3熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以 及角的变化的常用方法标析达成上述目标的标志是：（1两角差的余弦公式是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的基础，后面的公式都 是通过它推导出来的，由此看来两角差的余弦公式是重中之重，需要熟练掌握（2通过类比两角差的余弦公式，推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及两角差的 正弦、余弦、正切公式的过程，培养学生学习数学的兴趣，提升学生的逻辑推理素养（3通过探索公式之间的关系和具体数值的计算，培养学生的计算能力和探索科学知 识的欲望，提升数学运算和逻辑推理素三教问诊分对

3、学生而言，前面已经学习了三角函数的概念、诱导公式、三角函数的图象与性质等， 对三角函数已经有了初步的认识面的内容中学习的是一个角的问题在续学习的是 关于两个角的和与差的三角函数的形式面的基础学习起来还是比较感兴趣的练习学生已经学习的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然学独立运 用角的终边与单位圆交点的坐标还有一定的困难要导学生感受教材的探索过程容 处理上材给出了单位圆以角的终边与其交点学生通过观察图形获得交点坐标的 直观认识，这样处理体现了直观想象数学核心素养根据以上分析确本节课的教难点两角和与差的正弦余弦和正切公式的灵活运 用四教过设4 正切数性与象一)题入前面我们学习了诱导公式用们对

4、三角函数式进行恒等变形可以化简求值或证 明的目的观诱导公式可发现它们都是特殊角与任意角 的（或差的角函数与这个任意角 的角函数的恒等关系例如， sin(2 如把特殊角换为任角 那么任意角 与 和（或差）的三角函数与 ， 的三角函会有什么关系呢？ 下面研究这个问题（）题究探 1 如已知任意角 ， 正弦、余弦，能由此推出 ， 正弦、 余弦吗？下面，我们来探究 弦之间的关系不妨令 k k Z 如图所示，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 0,以 x 轴负半轴为始作角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ， P 问 1 你根据三角函的定义，写出点 P ， A ， 的标？ P 连接 P1 1，AP若把

5、扇形绕着点O旋转 角，则点A，P分别与点A，1重合根据圆的旋转对称性可知， 与 1重合，从而 = A ，以 A 1 1 1平面上任意两点 y ，P ( x y )间的距离公式 PP ( - x ( . 根据两点间的距离公式，得 化简得cos sin当 Z)时，易明上式仍然成立 ( ( 所以，对于任意角 ， cos coscos (C ()此公式给出了任意角 ， 正弦、余弦与其差角 的弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 C(设意：形象到抽象，培养学生的数学抽象核心素养 （）题究思 1 由式 (出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？下面以公式 (为基础来推导其他公式例如，比较 c

6、os 并注意到 之间的联系： 则公式 C(，有cos( = cos cos sin sinsin 于是得到了两角和的余弦公式，简记作 c cos (这里用到的是加法和减法的联系用换元的观点考虑公式 (对于任意 ，成立，那么把其中的 换成 一定成立由此也可推得公式 C(探 2 上得到了两角与差的余弦公式我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化你能根C(， (及诱导公式五（或六），推导出用任意，正弦、余弦表示 sin 公吗？诱导公式五 ( - ( -2 诱导公式六 sin( cos ( -sin ( cossin用 换 : sin sin 通过推导，可以得到：sin cos ( si

7、n 探 3 你能根据正切数与正弦函数、余弦函数的关系， ,S 用任意角 ， 正切表示 tan tan 公式吗？出发，推导出 sinsin sin cos cos cos cos sin cos costan 1 tan 用 到 通过推导，可以得到： 1 tantantan tan tan tan tan ，.( )注意：必须在定义域内范围内使用 T k ) 2 公式 S ， C (， T 给出了任意角 ， 三角函数值与其和角 三角函数值之间的关系为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式类似地， ， C (， T 都叫做差角公式探 4 和差）角公式 是任意角如果令 为些殊角，就能得到许多有用的

8、公式，你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？例 利 (证明：) ( sin () cos( 证明：) ( cos cos 0 sin 2 2（2 ( cos sin ) cos 0 设意：处安排了例 1该例题既是两角差的余弦公式的应用，也说明了诱导公式与两角差公式之间的特殊与一般的关系： 5 4 4 1 ) 5 4 4 1 )由上面的关系可以发现 个导公式都可以看成是公式 (中当 或 特殊值时的情况即诱导公式反映的是圆特殊对称性如公式一反映的是单位圆上的任意一个 点，旋转 2 Z) ，然回到来的位置；公式二反映的是单位圆上的任意一点关于原点的对称点（或旋转 ）仍然在位圆

9、上等等 两角差的余弦公式是其一般化的表达： 单位圆上任意一个点旋转任意个位置后仍然在单位圆上反映了圆的旋转对称性后 续两角和与差的正弦、余弦、正切公式与诱导公式之间也有对应的关系（）题析例 已 sin 值4 5 ( , 5 2 13， 第象限角，求cos( 解：由 sin ( , sin 1 又由 cos ， 第三象限角，得 sin cos 12 1 133 5 4 12 33所以 cos cos sin ( ) ) ) .5 13 5 13 65例 已 35， 是第四限角，求 ( - ( )的 4解：由 sin 35， 是第四限角，得 1 sin 4 ， 5所以 3 cos 45 4 3 7

10、 2 于是有 sin( - cos sin ；4 4 4 10 4 2 7 cos( sin sin ) ；4 2 2 5 10 tan )=4tan tan1 tan tan 4 思 2 由上解答可以出，在本题条件下有 s( 么于任意 4角 ，等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？变式 已知 3 ，求 ( - cos( 值 5 4 解：由 sin 35 4，当 是三象限角，得 cos sin 1 5 3 2 于是有 sin( sin cos cos ) ；4 4 2 5 2 2 2 3 cos( sin sin ) ) ；4 4 5 我们发现， ( 证明：因为( ，4 2所以 sin

11、cos( 4例 用和（差）角公式计算下列各式的值：（1 cos72 42（2 cos20 （3 tan15 tan15.分析：和、差角公式把 的三角函数式转化成了 三角函数式如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简解：（1）由公式 S，得 42sin30 .（2由公式 C(，得 0（3由公式 T及 5得 tan15 tan 45 = = 4 3. tan 45 设意：化概念，提升能力，提升学生的数学运算素养 （）固用若 ， 是二象限角，求 sin ， ， tan( ) 值 4解：由 45， 是第二限角，得 1 cos ) 所以 4 3 3 于是有 sin( cos ；6 5 2

12、 1 3 3 cos( + 3 10； ) tan tan 7 4 计算下各值（1 cos80 1 （2 cos15 2 （3 （4 分析：和、差角公式把 的三角函数式转化成了 的三角函数式如果反过，得来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简 解：（1）由公式 C(，得 2080cos60 （2由公式 S1 cos15 sin15 45 2 ，得另解：由公式 C(1 cos15 2 ，得（3由公式 ( 2222 22（4由公式 T及 5得1 tan15 tan 45 3 tan30 1 tan15 45 3设意：题目要求学生能够从正（从左到右使用公式）、反（从右到左使用公式） 两个角度使用公式与用相比用表现的是一种逆向思维它不仅要求有一定的逆向思 维意识和较高的思维的灵活性，而且对公式要有全面、深刻的理解已知角 是锐角， 4 5， ，求 5 13 的分析：角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与带求角间的