21.3.2 一元二次方程的应用-平均变化率（人教版）-2022-2023学年九年级数学（人教版）

1、21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）一元二次方程的应用 - 平均变化率问题引入 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 75 分，第二次月考增长了 20%，第三次月考又增长了 20%，问他第三次数学成绩是多少？第二次数学成绩：75(1 + 20%) = 90 (分)；第三次数学成绩：90(1 + 20%) = 108 (分).即第三次数学成绩：75(1 + 20%)2 = 108 (分).21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率） 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1

2、 t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3600 元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？探究归纳下降率 =下降前的量下降后的量下降前的量100%类型一：平均变化率与一元二次方程21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率） 分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为(5000 3000)2=1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000 3600)2=1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额 (元) 不等同于年平均下降率 (百分数).21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一

3、年后甲种药品成本为 5000(1 x) 元，两年后甲种药品成本为 5000(1 x)2 元，于是有 5000(1 x)2 = 3000. 解方程，得x10.225，x21.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%.注意一般下降率不可为负，且不大于 1.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率） 设乙种药品成本的年平均下降率为 y，则一年后乙种药品成本为 6000(1 y) 元，两年后乙种药品成本为6000(1 y)2 元，于是有 6000(1 y)2 = 3600. 解方程，得 y10.225， y21.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率

4、约为 22.5%.综上可知，甲、乙两种药品的下降率相同.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）例1 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半. 已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率（精确到 0.1%）.解：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x.根据题意，得 解方程，得 答：每次降价的百分率约为 29.3%. 21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）例2 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，某城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生 20万人次，第三批公益课受益学生 24.2 万人次如果第二批，第三批公益课受

5、益学生人次的增长率相同，求这个增长率.解：设增长率为 x，根据题意，得 20(1 + x)2 = 24.2.解得 x1 = 2.1 (舍去)，x2 = 0.1 = 10%答：增长率为 10%.注意增长率不可为负，但可以超过 1.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）问题 你能总结出有关增长率和降低率问题的数量关系式吗？ 若平均增长(或降低)百分率为 x，增长(或降低)前的量是 a，增长(或降低) n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为a(1x)n = b (其中增长取“+”，降低取“-”).21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额

6、为 200万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率 解：设这个增长率为 x. 根据题意，得答：这个增长率为 50%.200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950，整理方程，得4x2 + 12x - 7 = 0.解得x1 = 3.5 (舍去)，x2 = 0.5 = 50%.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率） 填空：假设某种商品每件的成本为 2 元，售价为 3 元时，可卖 100 件.(1) 此时的利润 w = 元； (2) 若售价涨了 1 元，每件利润为_元，同时少卖了 10 件，销售量为_件，利润 w

7、=_元；(3) 若售价涨了 2 元，每件利润为_元，同时少卖了 20 件，销售量为_件，利润 w =_元；100290180380240合作探究类型二：销售问题与一元二次方程21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）(4) 若售价涨了 3 元，每件利润为_元，同时少卖了 30 件，销售量为_件，利润 w =_元；(5) 若售价涨了 x 元，每件利润为_元，同时少卖了_件，销售量为_件，利润 w =_ 元.4(1 + x)70(100 10 x)10 x280(1 + x)(100 10 x)想一想 若想售卖这种商品获取利润 300 元，则每件商品应涨价多少元？解：设单价涨了 x 元，依题意

8、得 (1 + x)(100 - 10 x) = 300，解得 x1 = 4，x2 = 5.即当每件商品涨价 4 元或 5 元时，能获得 300 元利润.即 x2 9x + 20 = 0.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率） 假设某种糖的成本为每千克 8 元，售价为 12 元时，可卖 100 千克. 若售价涨了 1 元，则少卖了 5 千克，要想售卖这种糖果获取利润 640 元，且售价不高于成本价的 2.5 倍，则每千克糖应涨价多少元？变式训练解：设售价涨了 x 元，依题意得 (4 + x)(100 5x) = 640，解得 x1 = 4，x2 = 12. 售价不高于成本价的 2.5 倍

9、，即 x + 122.58， x8. x = 4. 题目中有限定条件时，要注意取舍.注意答：每千克糖应涨价 4 元.即 x2 16x + 48 = 0.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得 (40 x)(20 + 2x) = 1200， 整理得 x2 30 x + 200 = 0. 解方程得 x1 = 10，x2 = 20. 答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元.例4 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降

10、价多少元？21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？变式训练 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得 (40 x)(20 + 2x) = 1200， 整理得，x2 30 x + 200 = 0. 解方程得，x1 = 10，x2 = 20. 因为要尽快减少库存，所以应取 x = 20. 答：每件衬衫应降价 20 元.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）总结：列一元二次方程解“每每问题”的五个步骤设每件商品涨价（降价）x元（有时设新的定价为未知数）；用

11、含x的代数式表示每件商品的利润P；用含x的代数式表示涨价（降价）后商品的销售量Q；根据“每件商品的利润销售量=销售利润”，得PQ总利润；解方程，取舍，作答注意：涨价时，销售量要保证大于0；降价时，要保证单个利润大于021.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）列一元二次方程解决利润问题的“一二三”1.一个相等关系:单件利润销售数量=总利润.2.两个变量:单件利润、销售数量是较难表示的两个量.3.三个检验:列方程后检验每项意义、检验方程根求解 是否正确、作答前验根是否符合实际.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）随堂练习 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为

12、720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今、明两年的投资总额为 8 万元若设该校今、明两年在实验器材投资上的年平均增长率是 x，则可列方程为 .B2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 821.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率） 3. 某村种的水稻前年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率.

13、解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x. 根据题意，得 7200(1 + x)2 = 8712， 整理得 (1 + x)2 = 1.21. 解得 x1 = -2.1 (不符合题意，舍去)，x2 = 0.1 = 10%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）4. 某超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？根据每件商品的利润件数 = 总利润，分析：设每件商品涨价 x 元，则商品售价为_元，则每个商品的利

14、润为_元，因为每涨价 1 元，其销售会减少 10 个，则每个涨价 x 元，其销售量会减少_个，故销售量为_个，可列方程为_.(50 + x) 40(500 10 x)10 x(50 + x)(500 10 x)(50 + x) 40 = 800021.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）解：设每个商品涨价 x 元，则单件利润为(50 + x - 40)元，销售量为 (500 10 x) 个，则 (500 10 x) (50 + x 40) = 8000，整理得 x2 40 x + 300 = 0. 解得 x1 = 10，x2 = 30，都符合题意.当 x = 10 时，50 + x = 6

15、0，500 - 10 x = 400；当 x = 30 时，50 + x = 80， 500 - 10 x = 200.答：要想赚 8000 元，售价应定为 60 元/个，进货 400 个；或售价定为 80 元/个，进货 200 个.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）5. 菜农小李种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，小李为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售.(1) 求平均每次下调的百分率；解：设平均每次下调的百分率为 x， 由题意，得 5(1 x)2 = 3.2. 解得 x1 = 1.8 (舍去)，x2 = 0.2 = 20%. 平均每次下调的百分率为 20%.21.3.2 一元二次方程的应用（平均变化率）(2) 小华准备到小李处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，小李决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.20.95000 = 14400(元)，方案二所需费用为：3.250