第六节 函数的幂级数展开式的应用_第1页
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文档简介

1、 常用幂级数展开式 第六节 函数的幂级数展开式的应用一、近似计算二、计算定积分三、定义复变量指数函数、复级数, 导出欧拉公式四、解微分方程一、近似计算两类问题:1.给定项数,求近似值并估计精度;2.给出精度,确定项数.关健:通过估计余项,确定精度或项数.常用方法:1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.例解余和:余和:例解其误差不超过 .2.9926. 例1 解 如果取前二项作为所求值的近似值, 则误差为 解 例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001. 已知 提示: 这个幂级数收敛速度

2、较慢, 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数.如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为 二、计算定积分解法逐项积分展开成幂级数定积分的近似值被积函数将被积函数换成其幂级数展开式得 解 前四项的和作为近似值 其误差为所以 例3展开被积函数 有 解 在区间0 1上逐项积分 得 因为第四项 所以取前三项的和作为积分的近似值 收敛的交错级数例4求数项级数的和1.利用级数和的定义求和:(1)直接法;(2)拆项法;(3)递推法.例7解2.阿贝尔法(构造幂级数法):(逐项积分、逐项求导)例解例解三、欧拉公式复数项级数:分别收敛于 u，v，复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式复变量指数函

3、数 考察复数项级数 可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的, 在x轴上它表示指数函数ex, 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数, 记为ez . 即 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系.欧拉公式eix=cos x+isin x.其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的辐角. 复数的指数形式 复数z可以表示为z=r(cos q+isin q)=reiq ,欧拉公式 复变量指数函数复变量指数函数的性质特殊地, 有 ex+iy=exei y=ex(cos yisin y). 四、 微分方程的幂级数解法问题：将幂级数逐项求导后代入微分方程和初始条件，求出待定系数，从而求出微分方程的幂级数特解.解：例5比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得

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