巧用因式分解解题

1、巧用因式分解解题因式分解是数学中一种重要的恒等变形，它的应用十分广泛，变化灵活多样，几乎涉及到数学的各个领域。本文略举数例加以说明。用于计算、求值。例1计算1012992.解：原式=（101+99）（10199）=2002=400。例2已知a+b=3,ab=2,求a3b+2a2b2+ab3的值。解：当a+b=3,ab=2时原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=232=18。用于解决整除问题。设是一个两位数（ab）,则()2（）2必能被99整除。解：因为=10a+b, =10b+a所以()2（）2 =(10a+b)2(10b+a)2=(10a+b)+ (10b+a)(10a+b)

2、(10b+a)=99(a+b)(ab)。由于a+b,ab是整数，故()2（）2必能被99整除。用于确定多项式的某些特征。试说明四个连续整数的积加上1，是一个奇数的平方。解：设这四个连续的整数分别为n,n+1,n+2,n+3,则n（n+1）（n+2）（n+3）+1=n（n+3）（n+1）（n+2）+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2（n2+3n)+1=(n2+3n+1)2。 由于n2+3n+1= n2+n+2n+1=n(n+1)+(2n+1),而n(n+1)是连续两个整数的积，必是偶数；又2n+1是奇数，所以n2+3n+1是奇数。故四个连续整数的积加上1，是一个奇数的

3、平方。四、用于确定多项式的系数。例5 当m为何整数时，二次三项式x2+mx+2能分解成两个一次因式的积。解：因为2=21=（2）(1),所以当x2+mx+2=(x+1)(x+2)时，可得m=3；当x2+mx+2=(x1)(x2)时，可得m= 3。因此，当m=3，3时，二次三项式x2+mx+2能分解成两个一次因式的积。五、用于求方程的整数解。例6 求方程x2y2=29的整数解。解：原方程可化为（x+y）（xy）=29,而29=291=(29) (1),又x+y,xy都是整数，故得当x+y=29时,xy=1此时x=15,y=14；当 x+y=29时,xy=1, 此时x=15,y=14；当 x+y=

4、1时,xy=29 ,此时x=15,y=14；当x+y=1时,xy=29, 此时x=15,y=14。六、用于几何说理例7 已知a、b、c分别是的三边长，且，试说明是等腰三角形。解：由，得所以。因a、b、c分别是的三边长，所以，所以，即。所以是等腰三角形。巧用“借术”分解因式有一次学生遇到了一道难题，把分解因式，讨论未果后，学生拿来问我。我看后笑着对学生说：“我先给你们讲一个阿拉伯民间流传的故事”。一个老牧民有19匹马。临终前对他的三个儿子说：“我死后，你们要按老大得一半，老二得四分之一，老三得五分之一的比例把马分了，但不能把马杀了来分”。不久，这位老人就见“真主”去了。这三个兄弟想尽了各种办法，

5、总是不能按老人的遗愿把马分了。无奈，他们只好去请问他们聪明的舅舅。舅舅想了一会儿，就把自己的那一匹马拉去，添加到这兄弟的19匹马中，刚好一共20匹马，然后，再按老人的分马办法来分。于是，很容易的得出：老大得10匹，老二得5匹，老三得4匹，最后，剩下的一匹马物归原主，由舅舅拉回。这则故事所寓意的道理，反映在数学上就叫“借术”。同学们，我们可否用数学上的“借术”思想来分解此因式？有同学马上就能想到“借式还式”，立即有人写出解题过程如下： （借式还式） = =其它同学也都恍然大悟，这样，学生既聆听了故事，也培养了思维能力，打开了解题的思路，生动有趣地掌握了一种数学解题技巧“借术”。类似的例子还有：1、求（2+1）（22+1）（+1）（+1）的值？解析：学生如用一般方法进行乘积计算，算了半天还怀疑自己有否算错。用“借”与“还”的方法，利用平方差借一个（21）来乘(实际上是乘一个1，并未改变原式的值)，这样马上可算出它的乘积值为1。2、已知XY3，YZ2，求X2Y2Z2XYYZXZ的值？解析：这道题学生一般会考虑采用代入法求，但怎样使式子中出现x-y,y-z,x-z呢?这时，如果采用“借”与“还”法，那么