数值分析 第一章绪论课件

1、数值计算方法第一章 绪论应用问题举例1. 湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低，这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。如果把水温看成深度的函数T(x)，有某个湖的观测数据如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温，也就是说我们可根据给定的数据能求出T(x)。2、铝制波纹瓦的长度问题 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英

2、尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L. 这个问题就是要求由函数 f(x)=sin x 给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.数值计算方法是计算数学的一个主要组成部分.“什么是数值计算方法？”数值计算方法又称计算方法或数值分析，是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程，它专门研究各种数学问题的一类近似解法数值方法，即从一组原始数据（如模型中的某些参数）出发，按照确定的运算规则进行有限步运算，最终获得数学问题数值

3、形式的满足精度要求的近似解。 数值计算方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解的算法，讨论算法的数学原理、误差和复杂性，配合程序设计进行计算试验并分析试验结果。 与纯数学的理论方法不同，用数值计算方法所求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。采用“近似替代”方法逼近采用“构造性”方法采用“离散化”方法 把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题采用“递推化”方法 复杂的计算归结为简单过程的多次重复，易于用循环结构来实现（迭代法）。采用各种搜索方法构造数值算法主要手段如何学好数值计算方法？1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 任务，主动适应

4、“公式多”的特点；2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入；3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本 线索，对最基本的算法要非常熟悉；4. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是 为用于实际计算，必须真会算。威尔金森（James Hardy .Wilkinson，1919-1986），Wilkinson是数值分析和数值计算的开拓者和奠基人。1940 年，开始研究弹道的数学模型与数值计算。 1946 年成为Turing 的助手，协助设计 Pilot ACE 计算机。1969年他当选为英国皇家学会院士；1970年工业和应用数学会(s1am)授予他冯诺伊曼奖；1

5、987年他获得美国数学会的chauvenet奖。著名的美国阿尔贡国家实验室曾聘威尔金森为荣誉高级研究员并两次向他授奖。 Wilkinson在数值分析研究领域作出了杰出贡献，是数值计算的早期开拓者，其工作加速了数字计算机 ( 在科学计算中 ) 的使用。他研究的主要问题是线性代数方程组和矩阵特征值问题的数值解法，特别是他的向后误差分析法 (backward error analysis)的创造性工作奠定了数值分析和数值计算早期的理论基础。 1975 年 J. H. Wilkinson成为第五位图灵奖获得者。一、误差来源与分类在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要

6、因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.模型误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有观测误差 求近似解 方法误差 (截断误差）例如，当函数 用Taylor多项式 近似代替时，数值方法的截断误差是在 与 0 之间截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差.四舍五入后在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差（包括初始数据的误差）对计算结果的影响！二、 误差的概念1、绝对误差与绝对误差限例:若用以厘米为最小刻度的尺子去量桌子的长，大约为1.56米，求1.56米的绝对误差。1

7、.56米的绝对误差=？不知道！定义：设 是准确值，为 的一个近似值，称 是近似值 的绝对误差,简称为误差。 但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数 ，即 则称 为绝对误差限，有了绝对误差限就可以知道 的范围为即 落在 内。在应用上，常常采用下列写法来刻划 的精度。例1 设x =3.1415926 近似值x*=3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6，有例3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926，有 x-x*=0.0000926 0.0001=0.110-3可见，绝对误差限不是唯一的，但越小越好 x-x*=0.0015926 0.002=0.210-2例2

8、 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074，有x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲打字每100个错一个,乙打字每1000个错一个,他们的误差都是错一个,但显然乙要准确些,这就启发我们除了要看绝对误差外,还必须顾及量的本身。2、相对误差与相对误差限定义：设 是准确值， 是近似值，是近似值的误差，通常取为近似值 的相对误差，记作 ，称 一般情况下是不知道 的，怎么办？例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差解： 根椐定义:甲打字时的相对误差 乙打字时的相对误差3 、有效数字定

9、义：如果则说 近似表示 准确到小数后第 位，并从这由上述定义第 位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。解： 3.141592= 0.3141592 3.142 = 0.3142 m = 1 |-3.142 |=|0.3141592 -0.3142 | 0.000041 0.0005= m n =1n =-3 所以 n =4，具有4位有效数字.例5. 3.142作为的近似值时有几位有效数字.-3.141=0.3141592101 -0.3141101 0.0000592 101 0.005=1/2 10-2 m=1,m-n=1-n=-2, 所以 n

10、=3 具有3位有效数字.例6. 当取3.141作为 的近似值时再如 3.1416 作为 的近似值时 -3.1416 = 0.3141592101-0.31416101 0.00000074 101 0.00000740.00005 0.5 10-4 m-n=1-n=-4, 所以 n=5。因此，x*= 3.1416有5位有效数字。关于有效数字说明： 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则 x*必有n位有效数字。如3.142作为 的近似值 有4位有效数字，而3.141有3位有效数字. 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者 均

11、有5位有效数字但绝对误差不一样 x- x1* =x- 12345 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.3450.0005=1/210-3 把任何数乘以10p(p=0,1,)不影响有效位数.4 、误差限与有效数字的关系定理1： 对于用 式表示的近似数 ，若 具有 位有效数字，则其相对误差为:证: x* = 0.a1a2an10m x* a110 m-1 又 x*具有n位有效数字,则x- x*1/210m - n一般应用中可以取r*=1/2a1 10-(n-1), n 越大,r*越小 有效数字越多，相对误差就越小.例7: 取3.14作为 的四舍五入的近似值时，求其 相对误差限。解

12、：3.14=0.314 101 a1=3 m=1 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 n=3 r*=1/2a1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=0.17%定理2: 若近似数x*=0.x1x2xn10m相对误差 则该近似数具有n位有效数字.证: x*=0.x1x2xn10m x* (x1+1) 10m-1由有效数字定义可知,x*具有n位有效数字。证毕例8:解:则有定理1,相对误差满足即应取4位有效数字,近似值的误差不超过0.1%. 注意: 已知有效数字,求相对误差用公式 已知相对误差,求具有几位有效数字公式1.要避免两个相近的数相减在数值计算中，两个相近的数作减法时有效数字会损失。例:

13、 求的值。当x = 1000，y 的准确值为0.01580 三、 数值计算中应该注意的一些原则类似地 (2) 若将原式改写为则 y = 0.01581(1)直接相减有4位有效数字！只有1位有效数字2. 尽量避免绝对值太小的数作分母例：如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时结果相差这么大!3. 避免大数吃小数这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为4位的连加运算而如果将小数放在前面计算在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.例：解方程解:由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为而如果在字长为8,基底为10的计算

14、机上利用求根公式机器吃了因此在计算机上上式是解二次方程的数值公式4. 简化计算步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为例：多项式求值：给的x 求下列n 次多项式的值。 解：1. 用一般算法，即直接求和法； 2. 逐项求和法；3. 秦九韶方法(即Hornor算法）； 先计算x2, x3, , xn, 再作线性组合，需做2n-1次乘法和n次加法。解法一：直接求和法解法二：逐项求和法 按顺序依次计算每一项的值再求和，需做n(n+1)/2次乘法和n次加法。解法三：秦九韶算法（即Horner算法）只需做n次乘法和n次加法。且可以递推实现。计算机上使用的算法常采用递推化的形式，递推化的基本思想是把一个复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。这种重复在程序上表现为循环。递推化的优点是简化结构和节省计算量。算法