中子扩散理论讲稿

1、关于中子扩散理论第1页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四2反应堆物理的核心问题之一：确定堆内中子通量密度按空间和能量的分布 第二章通过求解中子慢化方程，解决了中子通量密度按能量的分布， (E) E，即中子能谱 本章，将研究中子通量密度按空间的分布，即(r) r第2页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四3Contents引言（输运过程、输运理论及扩散现象）单能中子扩散方程非增殖介质内中子扩散方程的解扩散长度、慢化长度和徙动长度第3页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四4输运过程及输运理论中子状态的描述反应堆物理与屏蔽计算的基本方法 一

2、、引言第4页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四51、输运过程（Transport）以及输运理论对于自然界的微观粒子(中子、光子、电子、离子和分子等)，在介质中会发生无规则碰撞，使得单个粒子的运动形式是杂乱无章的，即某一时刻、在介质中某一位置、具有某种能量与某一运动方向 的粒子，在稍晚些时候，将运动到介质中的另一位置、以另一能量和另一运动方向出现，这一现象称之为粒子输运过程。对于大量粒子而言，其运动形式呈现出一定的统计规律，使得人类对粒子行为的研究成为可能。那么，用于描述粒子在介质中迁移的统计规律的数学理论，就统称为粒子输运理论。第5页，共62页，2022年，5月20日，1

3、6点23分，星期四6发展简史：最早的粒子输运理论是以Clausius(1857)、Maxwell(1860)、Boltzmann(1868)提出的“分子运动论”作为基础发展起来的；1872年，Boltzmann建立了著名的Boltzmann方程（又称输运方程），当时是用来描述气体从非平衡态到平衡态的过渡过程；1910年Hilbert论述了Boltzmann方程解的存在性与唯一性，奠定了粒子输运理论的数学基础；1939年发现中子后，随着核反应堆和核武器的出现，中子输运理论得到极快发展；1943年Wick、Marshak、Mark等人提出并发展了球谐函数方法，使得高精度地解析求解Boltzmann

4、中子输运方程成为可能；1946年Von Neumann 和 Ulam等开发了第一个用概率论方法（Monte Carlo方法）计算中子链式反应的程序；1955年Carlson等人提出了离散纵标法(即早期SN方法)；在上述方法的基础上，产生了大批应用程序软件。第6页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四7中子状态: 位置矢量 r (x,y,z)、能量E(或运动速度v)、运动方向(,)、时间t ：单位矢量，模等于1，方向表示中子的运动方向，通过极角和方位角来表示2、中子状态的描述第7页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四8中子角密度：在r处单位体积内和能量为E的

5、单位能量间隔内，运动方向为 的单位立体角内的中子数目。中子角通量密度：沿方向在单位时间内穿过垂直于这个方向的单位面积上的中子数目。 对中子角密度和中子角通量对所有立体角方向积分，可得前面所定义的中子密度和中子通量密度第8页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四9中子输运理论的基本问题之一，就是采用中子角密度 （或中子角通量密度 ）来描述中子输运过程。为了得到中子角通量密度 ，需要建立描述中子输运过程的精确方程，即“玻尔兹曼方程”。它是一个含有位置r (x,y,z)、能量E(或运动速度v)、运动方向(,)、时间t七个自变量的偏微分积分方程，求解过程非常复杂，只有在极个别的简单情

6、况下，才能求出解析解。第9页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四确定性方法(Deterministic method)数学模型用数学物理方程表示，然后采用数值方法求解优点：计算快速缺点：模型简化不够精确，大型多维问题需大量计算时间及存储空间等典型方法：离散纵标法（SN）非确定性方法(蒙特卡罗方法，Monte Carlo method)：基于统计理论，通过计算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运动优点：计算精确，可以模拟三维复杂几何模型缺点：计算耗时，特别是对于深穿透问题（Deep-penetration）混合方法研究热点3、反应堆物理与屏蔽计算基本方法10第10页，共62页，

7、2022年，5月20日，16点23分，星期四11中子扩散理论求出介质内中子角通量密度的分布, 才算对介质内中子的分布有了全面了解.要做到这一点，需要研究中子输运理论，求解中子输运方程。这是一个非常复杂和困难的任务. 在本课程中，我们研究输运理论的简化形式中子扩散理论。玻尔兹曼输运方程中子扩散方程单群中子扩散方程假设中子通量密度角分布各向同性假设中子具有单一能量本节内容第11页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四12菲克定律菲克定律的推导菲克定律和扩散方程的使用范围单能中子扩散方程的建立扩散方程的边界条件 二、单能中子扩散方程第12页，共62页，2022年，5月20日，16点

8、23分，星期四13分子扩散现象香水分子的扩散（无风状态）墨滴在静水中的扩散血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散分子扩散是由于分子间的无规则碰撞产生的，使得分子从密度大的地方向密度小的地方扩散，并且分子扩散的速率与分子密度的梯度成正比，也就是服从“菲克定律”。同样，中子的扩散现象也服从“菲克定律”。只不过由于中子密度（1016m-3）比介质原子核密度（1028m-3）要小得多，因而中子的扩散主要是中子与介质原子核碰撞的结果，中子之间的碰撞可以忽略。1、菲克定律(Ficks law)第13页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四14中子从通量高的地方流向通量低的地方，通量差别越大，

9、中子 “流量” 越大菲克定律：上式中的 被称为中子流密度（简称中子流、或流。Current） .中子流密度是一个向量, 其方向是通量场的负梯度方向. 其数值等于垂直于梯度方向的单位面积上每秒穿过的净中子数目。 单位：中子/cm2. S第14页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四15第15页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四16中子流密度是向量，可以写成三个分量之和其中三个分量分别称为该方向的分中子流密度，每个分量可写成两个分量只差JZ+ 是沿z轴正方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数JZ- 是沿z轴负方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数第16页

10、，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四17如果某平面与中子流密度 方向不垂直，那么每秒通过该平面上单位面积的净中子数是第17页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四18第18页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四19中子流密度与中子通量密度的差别:中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量中子通量密度用于计算核反应率，是标量 两者的量纲相同 当所有中子运动方向相同时，中子通量与中子流数量（大小）相等。第19页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四20场论知识数量场的梯度向量场 的散度 哈密顿算符 拉普拉斯算符 第20页，共

11、62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四21考虑稳态情况，同时假设：介质是无限的、均匀的；在实验室坐标系中散射是各向同性的；介质的吸收截面很小，即a s (弱吸收介质)；是随空间位置缓慢变化的函数。2、菲克定律的推导第21页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四22以所研究的点作为坐标原点第22页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四23考虑上半空间发生的散射使多少中子从上到下穿过 dA首先考虑体积元 dV 中的散射中子有多少由于散射中子各向同性地飞向四面八方,飞向 dA的只占一部分. 这一份额等于dA的面积与以 r 为半径的球面积之比,再乘以c

12、os此外并非所有飞向dA的中子都能够到达的dA, 沿途的碰撞会使得部分中子 “偏离航向”，此外还有一部分中子会被介质吸收掉第23页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四24第24页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四25 把上半空间所有地方的散射中子的贡献统统考虑进来,即对上半空间积分,就得到从上而下穿过dA的总中子数目。这个数目就是沿负z方向的分中子流密度 乘以dA第25页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四26由于已经假设中子通量密度是随空间位置缓慢变化的，将(r) 在原点处按泰勒级数展开，取1阶项，代入积分可得第26页，共62页，

13、2022年，5月20日，16点23分，星期四27 第27页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四28推导过程由于cos和sin从0到2的积分为0，所以含有x，y项的积分将等于0，则可以得到第28页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四29分步积分洛必达法则第29页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四30第30页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四31 令 ，便完成了菲克定律之推导，得到斐克定律：中子流密度 正比于负的中子通量密度的梯度，其比例常数为扩散系数D第31页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期

14、四32介质是无限的、均匀的、散射各向同性；有限介质内，在距离表面几个自由程之外的内部区域，斐克定律是近似成立的；在距真空边界两三个自由程以内的区域，不适用。介质的吸收截面很小，即a 0时，(3-52)解为(3-53)由边界条件(1)可得(3-54)因此根据边界条件(2)可以求出(3-55)中子通量密度为(3-56)第52页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四53(3-57)考虑系统对称性，用|x|代替上式中的x，可得对所有x均适用的表达式对于无限厚度平面源，a，有(3-61)第53页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四54当a/L=3（介质厚度为中子扩散

15、长度3倍时）时，除在边界附近外，中子通量密度的分布与无限介质内的分布相差不多。薄板泄露较大，边界处中子通量密度下降很快；厚板（大于三个扩散长度），大部分中子在到达边界以前被散射回来，泄露很小=反应堆没有必要采用过厚的反射层第54页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四553. 包含两种不同介质的情况P76第55页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四56扩散长度(diffusion length)(3-75)大多数元素的散射截面与能量无关，当热中子能谱按麦克斯韦谱分布时，热中子吸收截面等于(3-76)将上式代入(3-75)式可得(3-77) 四、扩散长度、慢

16、化长度和徙动长度第56页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四57考虑无限介质内有一热中子点源的情况， 在 的球壳内，第57页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四58扩散长度的物理意义：热中子扩散长度的平方, 等于无限大介质中的点源放出的热中子从产生地点到被吸收地点的直线距离的均方值的六分之一.第58页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四59几种慢化剂在293K时热中子扩散参数室温下热中子在石墨中(s=0.385cm-1),求解：(1)散射平均自由程（2）吸收前的碰撞次数（3）产生到被吸收的直线距离（4）中子吸收前走过的路程（吸收平均自

17、由程）第59页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四602. 慢化长度 源中子能量为E0，热中子能量为Eth。将E0到Eth的中子称为快群中子。将Eth以下的中子称为热群中子，同时定义一个移出（减速）截面 1使快群转移到热群的中子转移率源中子慢化到热中子的平均碰撞次数:因而移出（减速）截面 为(3-82)第60页，共62页，2022年，5月20日，16点23分，星期四61H2OD2OCBe轻水堆沸水堆高温气冷堆th/(10-4m2)27.5123352904050300写出无限介质点源情况下快群中子的扩散方程或(3-83)(3-84)将L1定义为慢化长度，将L12 称为热中子年龄，用th表示。引进中子年龄定