椭圆的基本内容

1、第1讲椭圆重难点：标准方程的求解、求离心率的取值（范围），直线与椭圆位置关系的判断、公共点问题、相交弦问题、已知位置关系求参数问题及其他综合问题.考纲要求：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质范围、对称性、顶点、离心率）.求解离心率的取值范围掌握直线与椭圆的位置关系，弦长公式椭圆的基本概念（一）知识梳理.椭圆的定义TOC o 1-5 h z平面内与两个定点F、F的距离的和等于常数2a（大于IFFI）的点的轨迹叫做椭圆.这1212两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离IFFI=2c叫椭圆的焦距.12注：常数大于IFFI，轨迹为椭圆；常数等于IFFI，轨迹是线段IFFI；常数小于IFFI，1

2、2121212无轨迹.椭圆的标准方程x2y2 HYPERLINK l bookmark2 焦点在轴上的椭圆的标准方程为：一二Kab0）、焦点为F（It,0）、F（c,0）a2b212y2x2焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：意-Kab0）、焦点为Fi（0,）、F2（0，c）注：b2a2C2.椭圆的性质标准方程上竺1a2b222亡1a2b2范围lbxa,lbyblbxb,aya对称性对称轴：x、y轴；对称中心：坐标原点（0,0）顶点A(la,0)、A(a,0)12B(0,b)、B(0,b)12A(0,a)、A(0,a)12B(曲,0)、B(b,0)12轴长轴IAAI的长为2a，短轴IBBI的长为2

3、b1212焦距IFFIB2c12离心率eC(0,1)aa,b,c的几何关系a2b2c24.直线与椭圆的位置关系x2y2点P(x,j)和椭圆一二1(ab0)的位置关系有:00a2b2x2j2x2j2点P(xo,jo)在椭圆外.00-1；(2)点P(x,y点P(xo,jo)在椭圆外.a2b200a2b2x2y2点P(x,y)在椭圆内力1.00a2b2直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相交(有2个交点)、相切(有1个交点)、相离(没有交点)，共3种.5.椭圆的参数方程x2y2xacos设椭圆的标准方程为一41(ab0),则其参数方程为1|(其中为离a2b2ybsin心角).(二)考点分析考点1

4、.求椭圆的标准方程定义法：根据椭圆的定义确定a2,b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程，其中常用关系有：a)b2c2；IPFIIPFIB2a；椭圆的短轴端点到一个焦点的距离等12于实半轴长a待定系数法：如果已知椭圆的中心在原点，且焦点所在位置确定，可求出相应形式的标准方程，然后根据条件确定a,b,c的方程组，解出a,b，从而写出椭圆的标准方程，(可能为两个，注意合理取舍，但不要漏解)当焦点位置不确定时，有两种方法解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知椭圆的中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设椭圆的一般方程为mx2ny21(m0,n0,mn)例已知平面直角坐标系中两个定

5、点4,0),B(2,0)，若动点P满足IPAIIPBI6则动点P的轨迹方程为例.知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两个焦点F1,F2的距离分别是坐和PFF过作F12的垂线恰好经过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程考点2.椭圆性质的初步运用椭圆的定义及其应用：掌握“应用基础必备”中的内容、由标准方程得出顶点、焦点、长轴、短轴等基本量.例.知椭圆X23产9的左焦点为F、点P是椭圆上异于顶点的任意一点、O为坐标1原点若点D是线段PF的中点，则WOD的周长为11离心率离心率是椭圆的重要几何性质，也是高考考查的重点，此类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率取值（范围）；另一类是已知离心率

6、取值（范围）求有关参数或有关量的取值范围无论是哪类问题、关键是借助图形建立关于,b,。的关系式等式或不等式，转化为关于e的关系式常用方法如下：直接求出。,。，当已知椭圆方程或者。,。易求时，可以直接利用离心率公式计算；由与b的关系求离心率e-1Bb2、故由a与b的关系可以求离心率；相反，aa2由离心率也可以得出a与b的关系；（3由）椭圆的定义求离心率，与焦点三角形联系起来；构造a,c的齐次式、离心率e的求取中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系从而求e的一般步骤如下：建立方程：根据已知条件得到齐次方程Aa2BacCc20；化简:方程两边同除以a2、化简齐次方程，得到关于e的一元二次方

7、程ABeCe20；求解：解一元二次方程，求出e的值；验算取舍：根据椭圆离心率的取值范围e（0,1）、确定离心率e的值注意：若得到齐次不等式，也可以求出e的取值范围X2y2例在平面直角坐标系xOy中，以椭圆一J1（ab0）上的一点A为圆心的圆a2b2与轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B,C两点，若IBC为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是.例3.我们把离心率为黄金比51的的椭圆称为“优美椭圆”.设F,F是优美椭圆的两个焦212点.则该椭圆上满足FPF90勺点P的个数是.12x2y2例4.已知圆C：x22cxy20，圆C：x22cxy20椭圆C：1.若圆12a2b2C,C都在椭圆内，则椭

8、圆离心率的取值范围是.12考点3.椭圆中焦点三角形的问题TOC o 1-5 h z焦点三角形的定义：椭圆上的点P(xn,yj与两个焦点构成的PFF叫做焦点三角形0012x2y2焦点三角形的特征：设椭圆的标准方程为一J1ab0P(x,y)为椭圆上a2b200一点，Ff2分别为左右焦点，F1PF2IPFJPF21a，焦点三角形的周长为2(aj)；当P为短轴端点时，最大；1sin)1IPFIIPFIsinb2b2tancIyI，当IybI，即P为短 HYPERLINK l bookmark26 PF1f22121cos200轴端点时，S取最大值，为bcPF1F2焦半径(椭圆上任一点与焦点的连线)：I

9、PF1.aex0，IPF2.aex0 x2y2例已知椭圆C：1ab0的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于a2b24A,B两点、连接BF,AF，若IABI0,IAFIB6,cosBABF5，则椭圆C的离心率例.,F是椭圆口11的左右焦点，A为椭圆上一点，且AFF45，则S129712AF1F2为（）TOC o 1-5 h z777V5422x2例设FF2分别是椭圆-4y21的左右两个焦点，若椭圆上存在一点p使得 HYPERLINK l bookmark37 （OpOf）P0，则F”的面积是（）2212考点4直.线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系主要有位置关系的判断、公共点问题、相交弦问题

10、、已知位置关系求参数问题及其他综合问题.这些问题的解题思路和方法上是相通的，反映在代数上，就是直线方程与椭圆方程联立所得的方程组是否存在实数解及实数解的个数、根与系数的关系问题，它体现了方程思想.1.直线与椭圆的位置关系的判定方法代数法：把椭圆方程”y21与直线方程ByC0联立并消去y，整理成a2b2mx2nxp0（m0）的形式，设其判别式为直线与椭圆相交0；直线与椭圆相切0；直线与椭圆相离0；（2几）何法：判断直线经过椭圆内的某一点来证明直线与椭圆相交.2.求直线与椭圆相交的弦长问题的常用方法（1）设.而不求法就是指在解题过程中根据需要设出变量，但并不直接求出其具体数值，而是利用某种关系(如

11、和、差、积)来表示变量之间的关系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到一种“化难为易、化繁为简”的效果，步骤如下：设直线AxByC0与椭圆mx2ny21(m0,n0,mn)的两个交点坐标分别为A(x,y),B(x,y)；TOC o 1-5 h z11222)用直线方程与椭圆方程组成方程组，消元得到一个一元二次方程；利用根与系数的关系，得到xX与xx,yy与yy,一般用于求解弦长|AB|12121212式k2|xxI以及焦点三角形的面积12注意：若题目未指明斜率是否存在，应首先判断斜率是否存在，必要时分斜率存在与不存在两种情况进行讨论；若方程中含有参数，应注意步骤中一元二次方程判别式0对参数范围的

12、限制.(2点利差法(涉及弦的中点及对应直线斜率的关系)在中点弦或弦的中点问题中，还常用“点差法”求有关量，步骤如下：设直线AxByC0与椭圆mx2ny21(m0,n0,mn)的两个交点分别为A(x,y),B(x,y),xx,AB的中点M(x,y)；TOC o 1-5 h z11221200把A，B两点的坐标代入椭圆方程，则有mx2ny21,mx2ny21；1122将所得两式作差，得m(xx)(xx)(yy)(yy),整理成左边为直线的斜12121212yymxxmx率的形式为T2%犯，即k,从而转化直线AB的斜率与中点M的xxnyyny12120坐标之间的关系；4利将中点坐标代入、化简. HYPERLINK l bookmark35 x2y23例已知椭圆C：一二1(ab0)过点(1,-),且长轴长等于a2b22()求椭圆C的方程；()F,F是椭圆C的两个焦点，圆O是以FF为直径的圆，直线1:ykm与圆O相1212切，并与椭圆C交