人教版高中数学选修第三章小结数系的扩充与复数的引入课件

1、第三章数系的扩充与复数的引入第三章数系的扩充与复数的引入本章内容3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第三章 小结本章内容3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复本知识要点例题选讲复习参考题自我检测题章小结补充练习本知识要点例题选讲复习参考题自我检测题章小结补充练习点要识知返回目录1. 复数 复数通常用字母 z 表示, 即 z=a+bi (a, bR), 这一表示形式叫做复数的代数形式. 其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.形如 a+bi (a, bR) 的数叫做复数.当 b=0 时, a+bi=a 是实数.b0 时, a+bi 是虚数.a=0, b0 时

2、, a+bi=bi 叫纯虚数.i 叫虚单位, i2= -1.点要识知返回目录1. 复数 复数通常用字母 点要识知2. 复数的包含关系 复数包含实数和虚数, 全体复数所成的集合 C 叫做复数集.a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d.复数集实数集虚数集纯虚数集实数虚数=复数,实数 复数;虚数 复数;纯虚数 虚数.实数虚数=;点要识知2. 复数的包含关系 复数包含实数和点要识知3. 复数的几何意义 实轴上的点表示实数, 虚轴 (除原点) 上的点表示纯虚数.(1) 任一复数可用复平面上的点表示, 如:点 Z(3, -2) 表示复数 z=3-2i.(2) 任一复数可用复平面上的向

3、量表示, 如:向量 表示复数 z=3-2i.(3) 向量的模就是复数的模:点要识知3. 复数的几何意义 实轴上的点表示点要识知4. 复数的加减法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.实部相加为实部, 虚部相加为虚部.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.实部相减得实部, 虚部相减得虚部.点要识知4. 复数的加减法(a+bi)+(c+di)=(a点要识知5. 复数加减法的几何意义 复数加减法的几何意义是向量加减法的几何运算.xyOZ1Z2ZZ点要识知5. 复数加减法的几何意义 复数加减点要识知6. 复数的乘法(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bd

4、i2= (ac-bd)+(ad+bc)i.类似于实数的二项式与二项式相乘.注意: i2= -1.复数的乘法也满足:交换律、结合律、分配律,乘法公式:(a+bi)2=a2+2a(bi)+(bi)2=a2+2abi-b2.(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2.点要识知6. 复数的乘法(a+bi)(c+di) = ac点要识知7. 共轭复数 实部相等, 虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数. 复数 z 的共轭复数记着一对共轭复数的积是一个实数:(a+bi)(a-bi)=a2+b2.如: z=a+bi,点要识知7. 共轭复数 实部相等, 虚部点要识知8. 复数的除法复数除法的基本

5、思想是分母实数化.即分子分母同乘以分母的共轭复数.点要识知8. 复数的除法复数除法的基本思想是分母实数化.即例题选讲返回目录例题选讲返回目录例1. 复数 z 满足 (z-i)(2-i)=5, 则 z= ( ) (A) -2-2i (B) -2+2i (C) 2-2i (D) 2+2i分析:设出复数 z 的代数形式,解:设 z=a+bi,则 (z-i)(2-i)=(a+bi-i)(2-i)=a+(b-1)i(2-i)代入题使运算结果的实部为 5,=2a-ai+2(b-1)i-(b-1)i2=(2a+b-1)+(2b-2-a)i.2a+b-1=5,2b-2-a=0.解得 a=2, b=2.D常规思

6、考:设等式的左边进行乘法运算,虚部为 0.捷径:共轭复数的积为实数,则 z-i=2+i,z=2+2i.例1. 复数 z 满足 (z-i)(2-i)=5, 则例2. i 为虚单位, 等于 ( ) (A) 0 (B) 2i (C) -2i (D) 4i分析:先计算 in, 即可化为同分母.i3=i2i= -i.i5=i3i2= -i(-1)=i.i7=i5i2= i(-1)= -i.=0.A例2. i 为虚单位, 例3. 已知复数 则 |z| 等于 ( ) (A) (B) (C) 1 (D) 2分析:先计算复数, 再求模.则 |z| =B例3. 已知复数 例4. 对任意复数 z=x+yi (x,

7、yR), i 为虚数单位, 则下列结论正确的是 ( ) (A) |z-z|=2y (B) z2=x2+y2 (C) |z-z|2x (D) |z|x|+|y|分析:= |2yi|.y|y| 时, C 选项不成立.z2 可能是个虚数, x2+y2 为实数,B 选项不成立, 则只有 D 选项正确.DD 选项的几何意义如图:xyOZ|z|y|x|两边之和大于第三边.当且仅当点 Z 在实轴或虚轴上时, 等号成立. 例4. 对任意复数 z=x+yi (x, 例5. 若 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根, 则 ( ) (A) b=2, c=3 (B) b= -2, c=3 (C)

8、 b= -2, c= -1 (D) b=2, c= -1解:将根代入方程得得-1+b+c=0,解得 b= -2, c=3.B 例5. 若 是关于 x 例5. 若 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根, 则 ( ) (A) b=2, c=3 (B) b= -2, c=3 (C) b= -2, c= -1 (D) b=2, c= -1附:B对于实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0,若=b2-4ac0,则方程的根为即有一对共轭虚根x1+x2=x1x2=(根据这一结论解此题) 例5. 若 是关于 x共 8 题返回目录补充练习共 8 题返回目录补充练习1. 复数 的共轭复数是

9、( ) (A) 2+i (B) 2-i (C) -1+i (D) -1-i 2. 若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i (i 为虚单位), 则 z 为 ( ) (A) 3+5i (B) 3-5i (C) -3+5i (D) -3-5i 3. 把复数 z 的共轭复数记作 z, i 为虚单位, 若z=1+i, 则 (1+z)z 等于 ( ) (A) 3-i (B) 3+i (C) 1+3i (D) 3 4. 已知 0a2, 复数 z 的实部变 a, 虚部为 1, 则 |z| 的取值范围是 ( ) (A) (1, 5) (B) (1, 3) (C) (D)5. i 是虚数单位, 等于 . 6.

10、 a 为正实数, i 为虚数单位, 则 a 等于( ) (A) 2 (B) (C) (D) 1 7. 复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数, 则 z z-z-1 等于 ( ) (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 8. 下面是关于复数 的四个命题: p1: |z|=2, p2: z2=2i, p3: z 的共轭复数为1+i, p4: z 的虚部为-1. 其中真命题为 ( ) (A) p2, p3 (B) p1, p2 (C) p2, p4 (D) p3, p41. 复数 的共轭复数是 ( 1. 复数 的共轭复数是 ( ) (A) 2+i (B) 2-i (C) -1+i

11、 (D) -1-i解:= -1+i.D1. 复数 的共轭复数是 ( 2. 若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i (i 为虚单位), 则 z 为 ( ) (A) 3+5i (B) 3-5i (C) -3+5i (D) -3-5i解:设 z=a+bi.则 z(2-i)=(a+bi)(2-i)=2a-ai+2bi-bi2=(2a+b)+(-a+2b)i.得 2a+b=11,-a+2b=7,解得 a=3, b=5.则 z=3+5i.A 2. 若复数 z 满足 z(2-i)=11 3. 把复数 z 的共轭复数记作 z, i 为虚单位, 若z=1+i, 则 (1+z)z 等于 ( ) (A) 3-i

12、 (B) 3+i (C) 1+3i (D) 3解:z=1+i,=2-2i+i-i2=3-i.A 3. 把复数 z 的共轭复数记作 z, 4. 已知 0a2, 复数 z 的实部变 a, 虚部为 1,则 |z| 的取值范围是 ( ) (A) (1, 5) (B) (1, 3) (C) (D)解:z=a+i, 0a2, 0a24,则C 4. 已知 0a00DCA 组1. 选择题:(a+bi)(c+di)=(ac-bd2. 已知复数 z 与 (z+2)2-8i 都是纯虚数, 求 z.解:设 z=bi,则 (bi+2)2-8i 是纯虚数,计算得 (4-b2)+(4b-8)i,需 4-b2=0, 且 4b

13、-80,解得 b= -2.则 z= -2i 时, (z+2)2-8i 是纯虚数.2. 已知复数 z 与 (z+2)2-8i 都是纯虚数, 3. 已知 z1=5+10i, z2=3-4i, 求 z.解:则3. 已知 z1=5+10i, z2=3-4i, B 组解:(1) 设 z=a+bi,则由已知得 (1+2i)(a-bi)=4+3i,即 (a+2b)+(2a-b)i=4+3i,得方程组解得 a=2, b=1.所以 z=2+i. 1. 把复数 z 的共轭复数记作 已知 (1+2i) =4+3i, 求 z 及B 组解:(1) 设 z=a+bi,则由已知得 (1+2i 2. (1) 试求 i1, i

14、2, i3, i4, i5, i6, i7, i8 的值; (2) 由 (1) 推测 in (nN*) 的值有什么规律, 并把这个规律用式子表示出来.解:(1)i1=i;i2= -1;i3=i2i= -i;i4=(i2)2=(-1)2=1;i5=i4i=i;i6=i4i2= -1;i7=i4i3= -i;i8=(i4)2=1.(2) 2. (1) 试求 i1, i2, i 3. 已知复数 z1=m+(4-m2)i (mR), z2=2cosq + (l+3sinq)i (l, qR), 并且 z1=z2, 求 l 的取值范围.解:由z1=z2得将代入得4-4cos2q=l+3sinq,将余弦化

15、为正弦并整理得l = 4sin2q-3sinq-1sinq1,即 l 的取值范围是 3. 已知复数 z1=m+(4-m2)i 自我检测题自我检测题返回目录自我检测题自我检测题返回目录一、选择题 (每小题 6 分, 共36分) 1. a=0 是复数 a+bi (a, bR) 为纯虚数的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 2. 设 z1=3-4i, z2= -2+3i, 则 z1+z2 在复平面内对应的点位于 ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 3. 设 O 是应点, 向量 OA, OB

16、对应的复数分别为 2-3i, -3+2i, 那么向量 BA 对应的复数是 ( ) (A) -5+3i (B) -5-5i (C) 5+5i (D) 5-5i4. (1-i)2i 等于 ( ) (A) 2-2i (B) 2+2i (C) -2 (D) 25. 复数 的值是 ( ) (A) 2i (B) -2i (C) 2 (D) -2 6. 如果复数 的实部和虚部互为相反数, 那么实数 b 的值为 ( ) (A) (B) -2 (C) (D)二、填空题(每小题6分, 共24分) 7. 复数 的实部为 , 虚部为 .8. (15+8i)(-1-2i) 的值为 .9. 若 则 z2-2z 的值为 .

17、10. 若复数 z 满足 则 |z+1| 的值为 .三、解答题(每小题20分, 共40分) 11. 已知复数 z=(2+i)m2 -2(1-i), 当实数 m 取什么值时, 复数 z 是 (1) 零; (2) 虚数; (3) 纯虚数; (4) 复平面内第二, 四象限角平分线上的点对应的复数.12. 设 z1 是虚数, 是实数, 且 -1z21.(1) 求 |z1| 的值以及 z1 的实部的取值范围; (2) 若 求证 w 为纯虚数.一、选择题 (每小题 6 分, 共36分) 一、选择题 (每小题 6 分, 共36分) 1. a=0 是复数 a+bi (a, bR) 为纯虚数的 ( ) (A)充

18、分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件分析:a=0, a+bi 不一定是纯虚数, 可能为 0,a=0 a+bi 为纯虚数,充分不成立.a=0 a+bi 为纯虚数,必要成立.B一、选择题 (每小题 6 分, 共36分)分析:a=0, 2. 设 z1=3-4i, z2= -2+3i, 则 z1+z2 在复平面内对应的点位于 ( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限解:z1+z2=(3-2)+(-4+3)i=1-i.对应的点位于第四象限.D 2. 设 z1=3-4i, z2= - 3. 设 O 是原点, 向量 OA,

19、OB 对应的复数分别为 2-3i, -3+2i, 那么向量 BA 对应的复数是 ( ) (A) -5+3i (B) -5-5i (C) 5+5i (D) 5-5i解:=(2-3i)-(-3+2i)=5-5i.D 3. 设 O 是原点, 向量 OA, 4. (1-i)2i 等于 ( ) (A) 2-2i (B) 2+2i (C) -2 (D) 2解:(1-i)2i =(1-2i-1)i= -2i2=2.D4. (1-i)2i 等于 ( )解:(1-i5. 复数 的值是 ( ) (A) 2i (B) -2i (C) 2 (D) -2解:=(1-i)2=1-2i-1= -2i.B5. 复数 的值是

20、( )解 6. 如果复数 的实部和虚部互为相反数, 那么实数 b 的值为 ( ) (A) (B) -2 (C) (D)解:实部和虚部互为相反数,解得C 6. 如果复数 的实部和二、填空题(每小题6分, 共24分)7. 复数 的实部为 , 虚部为 .解:=1-i.1-1二、填空题(每小题6分, 共24分)解:=1-i.1-18. (15+8i)(-1-2i) 的值为 .解:(15+8i)(-1-2i)=-15-30i-8i-16i2= 1-38i.1-38i8. (15+8i)(-1-2i) 的值为 9. 若 则 z2-2z 的值为 .解:z2-2z= -3.-39. 若 则 z2-10. 若复

21、数 z 满足 则 |z+1| 的值为 .解:设 z=a+bi,则 1-a-bi=i+(a+bi)i,整理得1-a-bi= -b+(a+1)i,则 1-a= -b,-b=a+1.解得 a=0, b= -1.则 |z+1|=|1-i|10. 若复数 z 满足 则 三、解答题(每小题20分, 共40分) 11. 已知复数 z=(2+i)m2 -2(1-i), 当实数 m 取什么值时, 复数 z 是 (1) 零; (2) 虚数; (3) 纯虚数; (4) 复平面内第二, 四象限角平分线上的点对应的复数.解:计算复数 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i(1)2m2-3m-2=0,m2-3m+

22、2=0,解得 m=2.即 m=2 时, z=0. 三、解答题(每小题20分, 共40分)解 三、解答题(每小题20分, 共40分) 11. 已知复数 z=(2+i)m2 -2(1-i), 当实数 m 取什么值时, 复数 z 是 (1) 零; (2) 虚数; (3) 纯虚数; (4) 复平面内第二, 四象限角平分线上的点对应的复数.解:计算复数 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i(2)m2-3m+20,解得 m1 且 m2.即 m1 和 2 时, z 是虚数. 三、解答题(每小题20分, 共40分)解 三、解答题(每小题20分, 共40分) 11. 已知复数 z=(2+i)m2 -2(1-i), 当实数 m 取什么值