人教版高中数学微练（三十三） 余弦定理、正弦定理的综合应用

1、微练（三十三） 余弦定理、正弦定理的综合应用第一次作业 解三角形的综合应用一、单项选择题1. 在相距2km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若CAB=75 ，CBA. 6kB. 2kC. 3kD. 2k解析如图，在ABC 中，由已知可得ACB=452. ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，若B=120 ，sinC=A. 32B. 23C. 34D. 3 解析解法一：由正弦定理bsinB=csinC ,得b=csinBs解法二：由正弦定理bsinB=csinC ,得b=csinBs3. 2022郑州市质量检测在ABC 中，三边长分别为a ,a+2 ,a+4A. 1

2、53B. 154C. 213D. 353解析由条件知长为a 的边对应的角最小，设为A ，则由余弦定理，得cosA=a+22+a+42a22a+2a+44. 在ABC 中，B=4 ，BC 边上的高等于1A. 310B. 1010C. 10D. 3解析设ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，由题意可得13a=csin4=22c 5. 为了测量西藏被誉为“阿里之巅”的冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行。测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到山峰的高度。在测量过程中，已知竖立在点B 处的测量觇标高10米，测量人员在A 处测得到觇标底点B

3、和顶点C 的仰角分别为70 ，80 ，则A ，B 两处的高度差约为（参考数据：sin100.1736 A. 10 米B. 9.66 米C. 9.40 米D. 8.66 米解析如图所示，设与点A 在同一水平面上，且与BC 在同一竖直面上的点为D 。在ABC 因为BAC=DACBAD=6. 2022合肥市质量检测在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c 。若asinAA. 6B. 4C. 3D. 2解析由正弦定理可得a2+2c2=2bccosA ，根据余弦定理得b2二、多项选择题7. 2022重庆市高三质量调研一艘轮船航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75 ，距离126 海里

4、，灯塔C 在A 的北偏西30 ，距离为123 海里，该轮船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60A. ADB. CDC. CDA=D. C解析如图，在ABD 中，B=AD=24 ,A正确；在ACD 中，由余弦定理得CD2=AC2+AD22ACADcos8. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b=ccosA ，角A 的平分线交BC 于点DA. ACB. ABC. CDD. ABD 解析如图，在ABC 中，根据余弦定理得，即b2+a2=c2 ，所以C=2 ，由二倍角公式得cosBAC=2cos2CAD1=18 ，解得cosC三、填空题9. 公路

5、北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上。一人在公路上向东行走，在点A 处测得楼顶的仰角为45 ，行走80米到点B 处，测得仰角为30 ，再行走80米到点C 处，测得仰角为 ，则tan解析如图，O 为楼脚，OP 为楼高，则OP=60 OB=603 ，由余弦定理得OA2=AB2+OB210. 如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，且满足AD=3BD ，AD+解析设BD=x ，则AD=3x ,AC=23x ,BC=2x ，因为ADC+BDC= 11. 2022兰州市诊断考试在ABC 中，D 为BC 的中点，AB=2 ，AD=3解析因为sinA2sinB+sinC=cosAcosC

6、，所以2sinBcosA+四、解答题12. 在ABC 中，a ,b ,c 分别为内角A ，B ，C 所对的边,（1） 求A 的大小；答案解 根据题意和正弦定理得,2a2=2b又由余弦定理a2=得bc=则cosA=12 （2） 求sin答案解 由（1）得,B+C=3所以sin所以当3+B=2 ，即B=13. 2022河北衡水中学调研如图，在圆内接ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，满足（1） 求B ；答案解 aco由正弦定理得sin得sin因为0B 所以cosB=1（2） 若点D 是劣弧AC 上一点，AB=2 ，BC=3答案解 在ABC 中，AB=2 ,则由余弦定理得

7、,AC2=AB因为A ，B ，C ，D 均在圆上，且B=所以ADC=23 ,在A所以cos解得DC=2 或所以四边形ABCD 的面积14. 如图，已知扇形的圆心角AOB=23 ，半径为42 ，若点C 是A（1） 若弦BC=43答案解 在OBC 中，BC=所以由余弦定理得cos所以BO于是BC 的长为（2） 求四边形OAC答案解 设AOC= ,S四边形O由于0,2当=3 时，四边形OAC素养提升15. 2022广东深圳模拟在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图所示，图中共有2个正三角形）。然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角

8、形，如此重复多次，可得到如图所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代。在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为( A )A. 33B. 1 C. 32D. 34解析设最大正三角形的边长为x1 ,构造三角形的边长依次为x2 ,x3 , ,x10 。由余弦定理可知,x22=x132+2x1322第二次作业 解三角形大题专练1. 已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且（1） 求A ；答案解 因为bco由正弦定理得，sin所以sin又

9、因为0A 所以cosA=1（2） 若a=23 ，ABC 的面积为答案解 因为ABC 的面积为23 因为A=3 ，所以12b由余弦定理a2=得12=b所以b+c2. 2021天津高考在ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知sin（1） 求a 的值；答案解 因为sin由正弦定理可得a:b因为b=2 ，所以a=22（2） 求cos答案解 由余弦定理可得cos（3） 求sin答案解 因为cosC=3所以sincos所以sin3. 2022东北三校联考在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，已知（1） 若a=3 ,b=7 答案解 由正弦定理及asi得

10、sin因为sinA0 ，sinB由余弦定理b2=得7=9即c23c+2=0当c=1 时，b2+c2a当c=2故c=2（2） 求aco答案解 由（1）得B=3 ，所以所以aco因为ABC 为锐角三角形，所以所以3所以32所以1故acosC4. 平面凸四边形ABCD 中，BAD=（1） 若ABC=45答案解 连接BD ，在RtBAD 中，由AB=4 ,所以sinAB所以sin所以在RtBCD得CD=（2） 若BC=25 答案解 由（1）知BD=5 ,sin在RtBCD 中，由BC=2所以sinCB所以cos在ABC 中，由余弦定理得AC2所以AC=5. 2022高三八省（市）学业质量评价联考已知函

11、数fx=（1） 设gx=fx答案解 由已知，fx=则gx=所以当gx 单调递减时，函数y=令2+2kx+6所以函数gx 的单调递减区间是23（2） 设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为BC 边的中点，若fA=12答案解 因为fA=sinA又a=3 ，由余弦定理，得3=b2因为D 为BC 的中点，则AD因为b2+c22bc所以34AD2所以线段AD 的长的取值范围是(36. 2022湖北五校联考请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答。3cosAccos已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c （1） 求A ；答案解 选择条件，因为3co由正弦定理得3co即3co在ABC 中，所以3co即tan因为A 为ABC 的内角，所以选择条件，cosB