苏教版高中数学高一必修一2.4《幂函数》考点归纳

1、幂函数考点分析1、幂函数高考内容与要求考试内容：幂函数;常见的幂函数模型及其应用.考试要求：会画幂函数（Q，0，且为常数）,当=,1,2,3,-1的图象,了解幂函数的概念，并了解这些幂函数的性质.了解常见的幂函数模型(如流量与管道半径关系，飞机、汽车耗油与速率的关系)及其应用，并能解决简单的实际问题.2、幂函数高考考点分析了解幂函数图象及其性质幂函数是作为特殊的函数，能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质,并体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性定义域RRR0,+)(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)(0,

2、+)图象性质直线抛物线拐线抛物线(半支)双曲线双曲线奇偶性奇偶奇非奇非偶奇偶单调性增(0,+)增(-,0)减增增(0,+)减(-,0)减(0,+)减(-,0)增定点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)(1,1)观察图象综合以上特征，我们可以得到幂函数具有以下重要性质：当时，图象都过点(0,0)和(1,1)；函数在区间(0,+)上是增函数；当1时，指数大的图象在上方；当时，指数大的图象在下方.当时，图象都过点(1,1)；函数在区间(0,+)上是减函数；在第一象限内,图象向上无限的接近y轴,向右无限的接近x轴;当1时，指数大的图象在上方

3、；当时，指数大的图象在下方.例1下列命题：幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)；幂函数的图象不可能在第四象限；=0时，函数的图象是一条直线；幂函数，当0时是増函数;幂函数, 当0时,在第一象限内函数值随着x值的增大而减小.其中正确的是 .画出幂函数的图象,并能根据所给函数图象判断函数指数的大小关系.用描点法作函数图象时,要善于运用函数的性质,特别是函数的定义域、值域、奇偶性，这样不仅可以简化作图过程，还可以使图象更准确；在列表取点时，适当多取一些x的值会使得图象更准确；连线时一定要用光滑的曲线；依据所画函数的图象，运用函数的性质准确判断函数指数的大小关系.例2. 如图所示，曲线为幂函数在

4、第一象限的图象，则大小关系为（ ）A. B. C. D. 求幂函数的定义域与值域幂函数的定义域是由其解析式确定的，实质上是与指数有关，通常的做法是将分数指数幂转化为根式，并使根式有意义；而求值域要在其定义域内运用函数的单调性求解。例3.求函数的定义域.幂函数值大小的比较当两个幂函数的指数相同时，如果底数是负数，先根据幂的运算性质，把底数化为正数再比较大小；当两个幂函数的指数不相同时，常常要借用“0”或“1”为中间量过渡，运用幂函数的单调性及其图象特征进行比较。例4. ，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 幂函数的奇偶性与单调性幂函数的奇偶性与单调性与一般函数的奇偶性与单调性一样，在判断、

5、计算或证明时通常运用图象特征法、定义法和导数法。用定义法研究幂函数的单调性时，通常有“作差法”与“作商法”两种。“作差法”一般采用“分子有理化”的手段；“作商法”时，需要特别注意分子分母都要为正数。例5. 已知幂函数(-,0)(0,+)的图象如图，则（ ）A. p为偶数，q为奇数 B. p为偶数，q为负奇数 C. p为奇数，q为偶数 D. p为奇数，q为负偶数例6.已知函数在(0,+)上是减函数,求函数解析式,并讨论其单调性与奇偶性.求幂函数的解析式幂函数的解析式的求解，一般利用待定系数法，即设所求函数解析式为，有已知求出即可。例7.已知点在幂函数的图象上,则的表达式为( )幂函数、指数函数和对数函数的综合运用解决这类综合问题，通常要把握幂函数、指数函数和对数函数各自的图象特征（特别是记住图象的大致形状）、奇偶性与单调性等性质，灵活运用分类讨论与数形结合的思想加以解决。例8. 已知函数是偶函数,且.求m的值,并确定的函数解析式;若在2,3上是增函数,求实数a的取值范围.常见的幂函数模型及其应用解决简单的实际问题的关键是建立适当的数学模型，而最常见的幂函数模型是“增长率型”.在增长率问题中，我们通常用a表示原有数量，x表示增长率，n表示年数，y表示n年后的数量，则先