解圆锥曲线问题常用方法椭圆与双曲线的经典结论椭圆与双曲线的对偶性质归纳总结

1、文档编码 : CY1I8H3F3G1 HR2V6X8C2B8 ZK7B1M3C10Q5学习好资料欢迎下载+ 解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1,定义法（1）椭圆有两种定义；第确定义中,r1+r 2=2a；其次定义中,r1=ed1 r2=ed2 ；c-a：其次定义中,r1=ed1,（2）双曲线有两种定义；第确定义中,r1 r2 2a ,当r1r2 时,留意r2 的最小值为r 2=ed2,特别应留意其次定义的应用,经常将半径与“点到准线距离”相互转化；（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆,双曲线更大,许多抛物线问题用定义

2、解决更直接简明；2,韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,特别是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应留意不要忽视判别式的作用；3,解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法” ；设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点Ax 1,y1,Bx 2,y2,弦AB 中点为Mx 0,y0,将点A ,B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与

3、弦斜率的关 系,这是一种常见的“设而不求”法,详细有：（1）2 x 2 y 1a b0 与直线相交于A ,B,设弦AB 中点为Mx 0,y0,就有x0 y0 k 0；a2b2a2b2（2）2 x 2 y 1a 0,b 0 与直线l 相交于A ,B,设弦AB 中点为Mx 0,y0就有x0 y0 k 0a2b2a2b2（3）y2 =2px （p0）与直线l 相交于A ,B 设弦AB 中点为Mx 0,y0,就有2y0k=2p, 即y 0k=p. 【典型例题】例1,1 抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A3,4 2 与到准线的距离和最小,就点P 的坐标为A Q B ；2 2抛物线C: y =4x

4、 上一点Q 到点B4,1 与到焦点F 的距离和最小,就点Q 的坐标为分析：（1）A 在抛物线外,如图,连PF,就PH PF ,因而易发觉,当A ,P,F 三点共线时,距离和最小；HP F 第 1 页,共 16 页y=2 学习好资料欢迎下载即（2）B 在抛物线内,如图,作QRl 交于R,就当B ,Q,R 三点共线时,距离和最小；解：（1）（2,2）连PF,当A ,P,F 三点共线时,AP PH AP PF 最小,此时AF 的方程为y 42 310 x 1 2 2x-1, 代入y =4x 得P2,2 2,（注：另一交点为1, 2 ,它为直线AF 与抛物线的另一交点,舍去）2（2）（1 ,1 ）4入

5、过Q 作QRl 交于R,当B ,Q,R 三点共线时,BQ QF BQ QR 最小,此时Q 点的纵坐标为1,代y2 =4x 得x= 1 ,Q 1 ,1 4 4点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”相互转化的一个典型例题,请认真体会；例2,F 是椭圆2 x 2 y 1 的右焦点,A1,1 为椭圆内确定点,P 为椭圆上一动点；0y P Hx 虑问43（1）PA PF 的最小值为A （2）PA 2 PF 的最小值为F F 分析：PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径PF 或准线作出来考 题；解：（1）4- 5PA 2a AF 45设另一焦点为F ,就F -1,0 连A F ,P F PA

6、PF PA 2a PF 2a PF 当P 是F A 的延长线与椭圆的交点时, PA PF 取得最小值为4- 5 ；（2）3 作出右准线l,作PHl 交于H ,因2 2 1a2 =4 ,b =3,c =1,a=2,c=1,e= 2,Cx 共线PF 1PH ,即 2 PF PH M的轨迹方程；2PA 2 PF PA PH 当A ,P,H 三点共线时,其和最小,最小值为a2x A 413c 例3,动圆M 与圆C1:x+1 2+y 2=36 内切,与圆2 2C2:x-1 +y =4 外切,求圆心分析：作图时,要留意相切时的“图形特点” ：两个圆心与切点这三点y （如图中的A ,M ,C 共线,B,D,

7、M 共线）；列式的主要途径是动圆的A M D 0 B “半径5第 2 页,共 16 页学习好资料 欢迎下载等于半径”（如图中的 MC MD ）；解：如图,MC MD ,AC MA MB DB 即 MA MB 26 MA MB 8（*）点M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b 2=15 轨迹方程为 x 2 y 2 116 15 点评：得到方程（* ）后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出2 2 2 2 x 1 y x 1 y 4 ,再移项,平方,相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐！3例4,ABC 中,B-5,0,C5,0, 且sinC-sinB= sin

8、A, 求点A 的轨迹方程；5分析：由于sinA,sinB ,sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R（R 为外接圆半径）,可转化为边长的关系；解：sinC-sinB= 3 5sinA 2RsinC-2RsinB= 3 2RsinA 5AB AC 3 5BC （* ）即AB AC 6点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6,2c=10 a=3,c=5 ,b=4 所求轨迹方程为2 x 2 y 1（x3 ）916 点评：要留意利用定义直接解题,这里由（* ）式直接用定义说明白轨迹（双曲线右支）例5,定长为3 的线段AB 的两个端点在y=x 2 上移动,AB 中点为M ,求点M 到x 轴的最短

9、距离；分析：（1）可直接利用抛物线设点,如设2 2Ax 1,x1 ,Bx 2,X 2 ,又设AB 中点为Mx 0y0用弦长公式及中点公式得出y0 关于x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离；（2）M 到x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑M 到准线的距离,想到用定义法；解法一：设Ax ,x 1 ,Bx 2 2,x 2 ,AB 中点Mx 0 2,y 0 x1 x2 2 x1 2x2 2 2 9 就x 1 x 2 2x 0 2 2x1 x2 2 y0 由得x 1-x 2 1+x 1+x 2 =9 2 2第 3 页,共 16 页学习好资料欢迎下载y MB x 即x 1+x 22-4x1x

10、2 1+x 2 1 +x2 =9 2 2由,得2x x 2 =2x 0 -2y 0=4x 0 -2y0 代入得2 2 22x 0 -8x 0 -4y0 1+2x 0 =9 4 y 2 4 x 09,2 1 4 x0 4 y0 2 4 x0 92 4 x0 1 9112 4 x0 2 4 x0 , 54 2 915, y 0542 当4x0 +1=3 即x0 2时, y0 min 5此时M 2242法二：如图,2 MM 2AA2 BB2 AF BF AB 3MM 23,即MM 113,242A MM 15,当AB 经过焦点F 时取得最小值；0M1B1 A1 4A2 M2B2 M 到x 轴的最短距

11、离为54点评：解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 求”的方法；而解法二充分利用了抛物线的定义,奇妙地将中点x1,x2,从而形成y0 关于x0 的函数,这是一种“设而不 M 到x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为 A ,B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁” 时,两边之和等于第三边）的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点F,而且点M 的坐标也不能直接得出；例6,已知椭圆2 x 2 y 11 2 m5 过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A ,B 在椭mmB ,C,D,设fm

12、= AB CD ,（1）求fm, （2）求fm 的最值；分析：此题初看很复杂,对fm 的结构不知如何运算,因A,B 来源于“不同系统” ,A 在准线上,圆上,同样C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x 轴上,立刻可得防第 4 页,共 16 页学习好资料欢迎下载A B F1 y Dx f m xB xA 2 xD xC 2 2 x B x A xD X C 2 xB xC xA xD 2 x B X C此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可；0F2 解：（1）椭圆2 x 2 y 11 中,a 2=m,b =m-1 ,c =1,左焦点F1-1,0 2 2mm2 2就BC

13、:y=x+1, 代入椭圆方程即m-1x +my -mm-1=0 得m-1x 2+mx+1 22-m +m=0 2m-1x 2+2mx+2m-m 2=0 设Bx 1,y1,Cx 2,y2,就 x1+x2 =- 2 m 2 m 5 2m 1f m AB CD 2 xB x A xD xC 2 x x x A x 2 x x 2 2 2m 2m 1（2）f m 2 2m 112 1 1 2 m 1 2m 1 10 2当m=5 时,f m min 942当m=2 时,f m max 3点评：此题因最终需求x B xC ,而BC 斜率已知为1,故可也用 “点差法” 设BC 中点为Mx 0,y0,通过将B

14、,C 坐标代入作差,得 x0 y0 k 0 ,将y 0 =x 0+1 ,k=1 代入得 x0 x0 10 ,x m,可见m m 1 m m 1 2m 12m x B x C 2m 1当然,解此题的关键在于对 f m AB CD 的熟识,通过线段在x 轴的“投影”发觉 f m xB xC 第 5 页,共 16 页学习好资料 欢迎下载是解此题的要点；【同步练习】1,已知：F1,F2 是双曲线2 x 2 y 1 的左,右焦点,过F1 作直线交双曲线左支于点A ,B,如AB m,a2b2ABF 2 的周长为（）C,4a+2m D,4a-m A ,4a B,4a+m 2,如点P 到点F4,0 的距离比它

15、到直线x+5=0 的距离小1,就P 点的轨迹方程是（）2 A ,y =-16x 2 B ,y =-32x 2 C,y =16x 2 D,y =32x 的坐标分别为-1,0,3,已知ABC 的三边AB ,BC,AC 的长依次成等差数列,且AB AC ,点B,C 1 ,0,就顶点A 的轨迹方程是（）A ,x 2 4y 2 31B ,x 2 4y 2 31x 0 C,2 x 2 y 1x 0 D,2 x 2 y 1 x 0 且y 0 43434,过原点的椭圆的一个焦点为F1,0,其长轴长为4,就椭圆中心的轨迹方程是（）A ,x 122 y 9 x 1 B , x 122 y 9x 1 2424C,x

16、2 y 1 2 9 x 1 D ,x2 y 1 2 9x 1 24245,已知双曲线x 2 9y 2 16 1 上一点M 的横坐标为4,就点M 到左焦点的距离是6,抛物线y=2x 2 截一组斜率为2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是2 7,已知抛物线y =2x 的弦AB 所在直线过定点p-2,0,就弦AB 中点的轨迹方程是2 28,过双曲线x -y =4 的焦点且平行于虚轴的弦长为sinF1PF2 的最大值；2 29,直线y=kx+1 与双曲线x -y =1 的交点个数只有一个,就k= 10,设点P 是椭圆x 2 25 y 2 91上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,求第 6 页,共 1

17、6 页学习好资料 欢迎下载11,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,左焦点到坐标原点,右焦点,右准线的距离依次成等差数列,如直线l 与此椭圆相交于A ,B 两点,且AB 中点M为-2,1,AB 4 3 ,求直线l 的方程和椭圆方程；12,已知直线l 和双曲线x a2 y 2 2 b1 a 0, b 0 及其渐近线的交点从左到右依次为A ,B ,C,D；求证：2AB CD ；【参考答案】1,C AF2 AF1 2a, BF2 BF1 2a ,AB 4a 2m, 选CAF2 BF2 AB 4a, AF2 BF2 2,C 点P 到F 与到x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线p=8 开口向右,就方

18、程为y2 =16x,选C3,D AB AC 2 2 ,且AB AC A ,B,C 三点不共线,即y 0,应选D ；点A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分,又4,A x 设中心为x,y,就另一焦点为2x-1 ,2y,就原点到两焦点距离和为4 得1 2 x 1 22 y24 ,122 y 924又ca,2 x 12 y 2x-1 2+y 1 22227,y 2=x+2x2 设Ax 1,y 1,Bx 2,y2,AB 中点Mx ,y,就2 y1 2 2 x1 , y2 2 2 x2 , y1 2 y2 2 x1 x2 , y1 y2 y1 y2 2x1 x2 k AB k MP y 0,x y 2y 2

19、 ,即2 y =x+2 x 22又弦中点在已知抛物线内P,即y2 2x ,即x+22 8,4 a2b22 4, c 8, c 2 2 ,令x 2 2 2 代入方程得8-y =4 y2 =4,y= 2,弦长为49,2 或1 2 2 2 2y=kx+1 代入x -y =1 得x -kx+1 -1=0 1-k2x 2-2kx-2=0 1k 2 002 得4k 2 +81-k =0 ,k= 2y P x 1-k2 =0 得k= 1 2 2 210,解：a =25 ,b =9,c =16 设F1,F2 为左,右焦点,就F1-4,0F 24,0 设PF1 r1 , PF2 r2 , F1PF2F1 F2

20、就r1 r2 22r1r 2 的最大值为a2 r1 2 r 2 2r1r 2 cos 2 2c 2 -得2r1r21+cos =4b 21+cos= 2 4b 2 2b r1 +r2 2 r1 r2 ,2r1 r2 r1r2 1+cos 的最小值为2 2b ,即1+cos 18 a225 第 8 页,共 16 页cos 7,0学习好资料2欢迎下载1,arccos 7 就当25 时,sin 取值得最大值25 即sinF1PF2 的最大值为1；2 2x y 11,设椭圆方程为 2 2 1a b 0 a b2由题意：C,2C,a c 成等差数列,c 24c c a c 即 a 2c 2 ,c 2a2

21、=2a 2-b 2,a 2=2b 22 2椭圆方程为 x 2 y 1,设 Ax ,y 1,Bx 2 ,y 2 2b b 2 2 2 2 2就 x1 2 y1 2 1 x2 2 y2 2 1 2b b 2b b2 2 2 2-得 x1 2 x2 y1 2 y2 02b bxm 2 ym 2 k 02b b即 2k 0k=1 2直线AB 方程为y-1=x+2 即y=x+3 ,代入椭圆方程即 x 2+2y 2-2b 2=0 得x 2+2x+3 2-2b 2=0 3x 2+12x+18-2b =0,2AB x1 x2 11 112 21218 2b 2 24332 2解得 b 2=12,椭圆方程为 x

22、 y 1 ,直线 l 方程为 x-y+3=0 24 12 12,证明：设Ax 1,y1,Dx 2,y2,AD 中点为Mx 0,y0直线l 的斜率为k,就2 x1 2 y1 1-得2 x0 2 y0 k 0a2b21a2b22 x2 2 y2 a2b2M x0 , y0 ,设Bx1 , y1 , Cx2 , y2 , BC 中点就为 x1 12 y1 1 2 0 a2b2x2 1 2 y2 1 2 0 a2b2-得2x1 1 2 y0 k 0a2b2第 9 页,共 16 页由,知M ,M均在直线学习好资料k 0 上,而欢迎下载l : 2 x 2 y M ,M又在直线l 上,a2b2如l 过原点,

23、就B,C 重合于原点,命题成立如l 与x 轴垂直,就由对称性知命题成立如l 不过原点且与x 轴不垂直,就M 与M 重合AB CD 第 10 页,共 16 页学习好资料 欢迎下载椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分PF1F2 在点P 处的外角. PT 上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的2. PT 平分PF1F2 在点P 处的外角,就焦点在直线两个端点. 3. 4. 5. 6. 7. 8.9. 10. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切. 2 2x y 如P0 x0 , y0 在椭圆 2 2

24、1 上,就过P0 的椭圆的切线方程是a bx0 x y0 y 1. a22 b如P0 x0 , y0 在椭圆x 2 2ay b2 1 外,就过Po 作椭圆的两条切线切点为P1,P2,就切点弦P1P2 的直线方程2是x0 x y0 y 1. a2b2椭圆x a2 y 2 2 b1ab0的左右焦点分别为F1,F 2,点P 为椭圆上任意一点F1PF2 ,就椭圆的焦点2角形的面积为S F1PF2 b2 tan 2. 椭圆x a2 y 2 2 b1 （ab0）的焦半径公式：2| MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 F1 c,0 , F2 c,0 M x0 , y0 .设过椭圆焦点F

25、作直线与椭圆相交P,Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M ,N 两点,就MF NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P,Q, A 1,A 2 为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N,就MF NF. 11. AB 是椭圆2 x 2 y 1 的不平行于对称轴的弦,M x0 , y0 为AB 的中点,就kOM kAB b2,a2b2a212. 即K AB 2 b x0 ；x 2 2ay b2 1 内,就被Po 所平分的中点弦的方程是x x . 2 a y0 y y x 02y 02如P0 x0

26、, y0 在椭圆2a2b2a2b213. 如P0 x0 , y0 在椭圆x2 y b2 1 内,就过Po 的弦中点的轨迹方程是x a2 y b2 x x y y 2 . b2 a222a2双曲线1. 点P 处的切线PT 平分PF1F2 在点P 处的内角. PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长2. PT 平分PF1F2 在点P 处的内角,就焦点在直线轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）4. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆第 11 页,共 16 页学习好资料 欢迎下载5. 如P0 x0 ,

27、y0 在双曲线a x 2 2b y 2 2 1 （a0,b0）上,就过P0 的双曲线的切线方程是 x x a 2 y y b 2 1. 2 26. 如 P0 x0 , y0 在双曲线 x 2 y 2 1 （a0,b0）外,就过Po 作双曲线的两条切线切点为 P1,P2 ,就a bx x y y 切点弦P1P2 的直线方程是 2 2 1. a b2 27. 双曲线 x 2 y 2 1（a0,bo）的左右焦点分别为 F1,F 2,点P 为双曲线上任意一点 F1PF2 ,a b2就双曲线的焦点角形的面积为 S F1 PF2 b co t . 22 28. 双曲线 x 2 y 2 1（a0,bo）的焦

28、半径公式： F1 c,0 , F2 c,0 a b当 M x0 , y0 在右支上时,| MF1 | ex0 a , | MF 2 | ex0 a .当 M x0 , y0 在左支上时,| MF1 | ex0 a ,| MF2 | ex0 a9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P,Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M ,N 两点,就MF NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P,Q, A 1,A2 为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和 A 1Q 交于点N ,就MF N

29、F. 11. AB 是双曲线 x 2 2 y 2 2 1 （a0,b 0 ）的不平行于对称轴的弦,M x0 , y0 为AB 的中点,就a b2 2K OM K AB b x0 2,即 K AB b x0 2；a y0 a y0 2 212. 如 P0 x0 , y0 在双曲线 x 2 y 2 1（a 0,b 0 ）内,就被Po 所平分的中点弦的方程是a b2 2x0 x a 2 y0 y b 2 x0 a 2 y0 . b 2 2 213. 如P0 x0, y0 在双曲线 x 2 y 2 1 （a 0,b 0 ）内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是a b2 2x y x0 x y0 y a

30、2 b 2 a 2 b 2 . 椭圆与双曲线的经典结论1. 椭圆P1 ,P2 时椭圆 x 2 2 y 2 2 1 （abo）的两个顶点为a b2 2x y A 1P1 与A 2P2 交点的轨迹方程是 2 2a bA1 a,0 , A2 a,0 ,与y 轴平行的直线交椭圆于1. 第 12 页,共 16 页2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 学习好资料欢迎下载过椭圆x a2 y 2 2 b1a0, b 0上任一点Ax0 , y0 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,2就直线BC 有定向且k BC 2 b x0 （常数）. a y0 如P 为椭圆x a

31、2 y b2 1 （ab 0 ）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1 F2 , 22PF2 F1 ,就ac tan 2co t 2. ac 设椭圆x a2 y 2 2 b1（ab0）的两个焦点为F1,F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在PF1F2 2中,记F1PF2 , PF1 F2 , F1 F2P ,就有sin sin sin c e. a如椭圆2 x 2 y 1（ab0）的左,右焦点分别为F1,F2,左准线为L,就当0e 2 1 时,可a2b2在椭圆上求一点P,使得PF1 是P 到对应准线距离d 与PF2 的比例中项. P 为椭圆x a2 y 2 2 b1 （a

32、 b 0 ）上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内确定点,就22a | AF2 | | PA | | PF1 | 2a | AF1 |,当且仅当A, F2 , P 三点共线时,等号成立. 椭圆x 2 x0 y 2 y0 1与直线Ax By C0有公共点的充要条件是2 a2 2 B b Ax0 b22 2A a By0 2 C . 已知椭圆x a2 y 2 2 b1 （ab0 ）,O 为坐标原点,P,Q 为椭圆上两动点,且OP OQ .（1 ）21111;（2）|OP| +|OQ| 2 2 的最大值为2 2 4a b ;（3）S OPQ 的最小值是2 2 a b 2. 2 | OP | 2

33、 | OQ | a2b2a2b2a2b过椭圆x a2 y 2 2 b1（ab0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交2x 轴于P,就| PF | e. | MN | 2已知椭圆x 2 2ay2 a1 （ab0）b,A ,B ,是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点2 b2 aP x0 ,0 , 就2 bx0 a2a2. 设P 点是椭圆x a2 y b2 1 （ab0）上异于长轴端点的任一点,F1 ,F2 为其焦点记F1PF2 ,就221 | PF1 | PF2 | 2 2b .2 S PF F 1 2 2 b tan 2. 1 cos 设A ,B

34、 是椭圆2 x 2 y 1 （ab0 ）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB , a2b2第 13 页,共 16 页学习好资料 欢迎下载2ab 2 | cos | PBA , BPA ,c,e 分别是椭圆的半焦距离心率,就有1 | PA | 2 2 2 .2 a c co s 2 2 tan tan 1 e 2 .3 S PAB 2a b 2 2 cot . b a13. 已知椭圆 x 2 2 y 2 2 1 （ab0）的右准线 l 与 x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交a b于A ,B 两点,点C 在右准线 l 上,且 BC x 轴,就直线AC 经过线段EF 的中点.

35、14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 16. 椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率. （注: 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内,外角平分线与长轴交点分别称为内,外点 . ）17. 椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中, 半焦距必为内,外点到椭圆中心的比例中项 . 双曲线1. 2. 3. 4. 5. 双曲线x a2 y b2 1 （a0,b

36、0）的两个顶点为A1 a,0 , A2 a,0 ,与y 轴平行的直线交双曲线22于P1,P2 时A 1P1 与A 2P2 交点的轨迹方程是2 x 2 y 1. a2b2过双曲线2 x 2 y 1 （a0,bo）上任一点Ax0 , y0 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于a2b2B,C 两点,就直线BC 有定向且k BC 2 b x0 （常数）. 2 a y0 如P 为双曲线2 x 2 y 1 （a0,b0 ）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, a2b2PF1F2 , PF2 F1 ,就c atan co t 2 2（或c atan 2cot2）. c ac a设双曲线2

37、x 2 y 1（a0,b0）的两个焦点为F1,F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点,a2b2在PF1F2 中,记F1 PF2 , PF1F2 , F1F2 P ,就有sin sin c e. sin a如双曲线2 x 2 y 1 （a0,b0）的左,右焦点分别为F1,F2,左准线为L ,就当1e 2 1a2b2第 14 页,共 16 页学习好资料 欢迎下载时,可在双曲线上求一点 P,使得PF1 是P 到对应准线距离 d 与PF2 的比例中项. 2 26. P 为双曲线 x 2 y 2 1 （a0,b0 ）上任一点 ,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内确定点,就a b| AF2 | 2 a