空间向量与立体几何

1、第三章空间向量与立体几何测试十一空间向量及其运算AI学习目标1 .会进行空间向量的加法、减法、数乘运算.会利用空间向量基本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解.会进行空间向量数量积的运算，并会求简单的向量夹角.II基础性训练一、选择题1.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BA + BC + DD =()2.(A) DB1 1(C) DB1(B) DB1(D) BD1平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB = a, AD = b, AA】=c，则下列式子中与叩相等的是()11(a) a + b+c2211(C)a + - bc TOC o 1-5 h z

2、 22、(B) a + b - c211(D)a b+c223.4.在平行六面体ABCD-A1B1ClD1中，向量AB、AD、BD是()(A)有相同起点的向量(B)等长的向量(C)共面向量(D)不共面向量已知空间的基底礼，/，k，向量 a=i+2/+3k，b=2i+j+k，c=-i+mjnk，若向量c与向量a，b共面，则实数m+n=()(A)1(B)-1(C)7(D)-75.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=1, AD=2, AA1 = 3，则 BD- AC1 5.(A)l(B)0(C)3(D)3二、填空题 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，化简 AB + AD AA1 =

3、. 已知向量i, j, k不共面，且向量a=mi5jk, b = 3i+j+rk,若allb，则实数m=, r=.平行六面体ABCDAlB1ClD1中，所有的棱长均为2,且aB - CC =2，则V aB , CC =；异面直线AB与CC1所成的角的大小为. 已知i，j，k是两两垂直的单位向量，且a=2ij+k，b=i+j3k，则a b=.平行六面体ABCD A1B1C1D1中，所有棱长均为1，且ZAAB=ZAAD=60，AB AD，则AC1的长度为.三、解答题如图，平行六面体 ABCDAlB1ClD1 中，AB = a, AD = b, AA】=C，E 为 A1D1 中点，用基底a，b，c表

4、示下列向量 DB , BE, AF ；(2)在图中画出DD + DB + CD化简后的向量.112.已知向量a=2i+j+3k,b=ij+2k，c=5i+3/+4k，求证向量a，b，c 共面.13.正方体ABCDAlB1C1D1中，棱长为1，E为CC1中点，求AB - BC ；求 AB - BE, cos AB , BE.m拓展性训练14.如图，点A是BCD所在平面外一点，G是BCD的重心, 求证：AG = 3(AB + AC + AD).(注：重心是三角形三条中线的交点，且CG : GE=2 : 1)第三章空间向量与立体几何测试十一空间向量及其运算A TOC o 1-5 h z DC BM

5、= BB + BM =-c +1 bD = -c + (AD - aB) = -1 a + -b -c .i 12222c Ad - Ab = BD = BD,. Ab、BD 共面.B c=a+b=T+3/+4k=i+时一nk, m = 3, =一4, m+n= 1.hh*hC BD A? = (AD - AB) (AB + AD + AA) = AD 2 - AB 2 + (AD - AB) AA=1 AD I2 -1 AB I2 +0 = 3 .6. AB + AD - AA1 = AC- AA】=A】C .17 . m = 15 , r = - 5 .120； 60 .一2 .10 .

6、5;I AC I2 = (AB + AD + AA )218=AB 2 + AD 2 + AA+ 2 AB AD + 2 AD AA + 2 AB AA = 1 + 1 + 1+0+2cos60+2cos60=5 . TOC o 1-5 h z 1 -Tt. 1. 11 11.(1) DB = a-b+c;BE = BA + AA + A E = -a+c + - AB = -a + b+c11.AF = AB + BF = AB + BB + BF = a + c + !(BC-BB ) = a + -b +1 c .112122(2) DD + DB + CD = DD + (CD + D

7、B) = DD + CB = DD + Da = DA .1111111解：设 c=ma+nb，贝95i+3j+4k=m (2i+j+3k) +n (ij+2k)=(2mn)i+ (mn)j+ (3m+2n)k,2m - n = 5cm = 2 m一n = 3 ，解得,所以c=2ab,所以向量a, b, c共面.I n = -13m + 2n = 4113. AB - BC = (AB + BB ) - (bC + CC )1111AB - BC + AB - CC + BB - BC + BB - CC = 0 + 0 + 0 +1 = 111111AB1 - BE = (AB + BB)

8、- (BC + CE)=AB - BC + AB - CE + BB - BC = BB - CE =0 + 0 + 0 +1 = 1 .2 25AB BE % 1(I AB 1=扣 2,1 BE 1= ，* = | .温| 诞 | = %14.证明. AG = AC + CG 2 2 111 CG = -CE = - -(CB + CD) = _(CB + CD) = _(CA + AB + CA + AD)3233 aG = AC + 3(2Ca + AB + AD) = 3(AB + AC + AD).测试十二空间向量及其运算BI学习目标会进行向量直角坐标的加减，数乘，数量积的运算.掌握

9、用直角坐标表示向量垂直，平行的条件.会利用向量的直角坐标表示计算向量的长度和两个向量的夹角.II基础性训练一、选择题a=（2，3，1），b= （2，0，3），c= （0，0，2），则 a+6b8c=（）（A）（14，3，3）（B）（14，3，35）（C）（14， 3， 12）（D）（ 14， 3， 3） 下列各组向量中不平行的是（）3.4.5.(A)a=(1, 2, 23.4.5.(A)a=(1, 2, 2), b=(2, 4, 4) (C)e=(2, 3, 0), f=(0, 0, 0)已知向量a=(2,1, 3), b= (4, 2,(A) 2(B)2与向量(一1,2, 2)共线的单位向量

10、是(1 2 21 2 2(a)(3，罕-)和(-,-,-)1221 2 2(C) (3，-，-)和(-3，-，-)若向量a= (12),b=(2,12)(A)2(B)2(B)c=(1, 0, 0), d=(3, 0, 0)(D)g=(2, 3, 5), h=(16, 24, 40) x),若 ab,则 x=()1010(D) - y)12 2(B)(3,3，-3)1 2 2(D)(-3，-3,3)-，工-人、，8、一,且a与b的夹角余弦为9,则久等于(2 (D)2 或-55二、填空题,I AB | =已知点4(3, 2, 1),向量AB = (2, 1, 5),则点,I AB | =已知 3(

11、2,3, 1)3x=( 1, 2, 3),则向量x=. 若向量a= (2, 1,2), b=(6,3, 2),则 cos=已知向量a= (1, 1, 0), b= ( 1, 0, 2),且ka+b与2ab互相垂直，则k值是若空间三点4(1, 5, 2), B(2, 4, 1), C(p, 3, q+2)共线，则p=, q=三、解答题已知向量a= (1,1, 2), b= (2, 1, 1), c= (2,2, 1),求(a+c) a；I a2b+c I；cosa+b, c.已知向量 a=(2,1, 0), b= (1, 2,1),求满足ma且mb的所有向量m.若Im 1= 2l30，求向量m.

12、已知向量a= (2, 1,2), b= (1, 2,1), c= (x, 5, 2),若c 与向量a, b 共面， 求实数x的值.14.直三棱柱ABCAlB1Cl 的底面ABC 中，CA = CB=1,ZBCA = 90，棱AA1=2, M、 N分别是A1B1，A1A的中点。如图，建立空间直角坐标系.求BN求BN的坐标及BN的长;求cos 的值; (3)求证：A1BLC1M.测试十二空间向量及其运算BAD b=2a =aHb； d=3cndc；而零向量与任何向量都平行.C 4. A5.cos =冬=6 X = 8,-2 或义 la llb l 3、X2 + 5.6.(5.=7 11-516.(

13、5.=7 11-51, 6), r 30 7. x = (,一,0) 8. cos V a,b = 219.10.p=3, q=2211.(a + c) -a = 12;l a - 2b + c = v 99 ； cosa + b,c11.m a = 0f2 x - J = 012. (1)设m= (x, j, z)由已知得jm.b = 0，j x + 2 z = 0，设x=a，则y=2a, z=5a,所以 m= (a, 2a, 5a)(aER). l m l=a2 + 4a2 + 25a2 = 230 ,得 a=2,所以 m= (2, 4, 10)或 m=(2,4,10).因为c与向量a,

14、b共面，所以设c=ma+nb(m, nER)x = -2m + nm = -3(x, 5, 2) =m (2, 1, 2)+n(1, 2, 1), 5 = m + 2n ，所以 n = 42 = -2m - nj x = 10(1)解：依题意得B(0, 1, 0), N(1, 0, 1), BN = (1,-1,1) l BN fQ - 0)2 + (0 -1)2 + (1 - 0)2 =松.(2)解：A1(1, 0, 2), B(0, 1, 0), C(0, 0, 0), B1 (0, 1, 2),Z. BA1 = (1,-1,2), CB = (0,1,2), B4 . CB1= 3,1

15、BA 1= 6,1 CB=t5BA - CB % 30.*. cos = 11 = 01 1(3)证明：,.，C(0, 0, 2), M(2,2,2)， AB = (-1,1,-2),CM = (1,1,0). AB-CM = 0 ,A1BCM. i 2 2 测试十三 直线的方向向量与直线的向量方程I学习目标会写出直线的向量参数方程以及利用它确定直线上点的坐标.会用向量共线定理处理四点共面问题.会利用直线的方向向量和向量共线定理证明线线平行、线面平行，线线垂直、线面 垂直.会利用向量求两条异面直线所成的角.II基础性训练一、选择题1.向量OA = (1, 2, 0), OB =(1, 0, 6

16、)点C为线段AB的中点，则点C的坐标为()2.(A)(0, 2, 6)已知点A(2,2,(B)(2,2, 2.(A)(0, 2, 6)已知点A(2,2,2-4), B(1, 5,1)，若 OC = AB，则点 c 的坐标为()(A) (2,14 10T(A) (2,14 10T,T14 100)(-2,耳,-3)14 1014 10(C)(2,- ，;)(D)(-2，-,；)333 33.下列条件中，使点M与点A, B, C 3.(A) DM = 2OA - OB - OC(B) DM = 1 oA +1 oB +1 oC532(C) MA 2MB + MC = 0(D) (C) MA 2MB

17、 + MC = 04.正方体ABCD A1B1ClDl中，棱长为2, O是底面ABCD的中心，E, F分别是CC1, AD 的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为()5.而 (Ar已知 A(5.而 (Ar已知 A(0, 0, 0)(A)(2,3,1)v15工4(C)52(D) 3B(1, 1, 1), C(1. 2(B)(1,1,1),下列四个点中在平面ABC内的点是(2)(C)(1,2,1)(D)(1,0,3)二、填空题已知点4(1, 2, 0), B(2, 1, 3),若点P(x, y, z)为直线AB上任意一点，则直线 AB的向量参数方程为(x, y, z)=，若AP - 2Bp

18、时，点P的坐标为.已知A, B, C三点不共线，O是平面外任意一点，若有OP = 5 OA + 3 OB +人OC确定 的点与A, B,C三点共面，则 U.若直线&且它们的方向向量分别为a=(2, y,6)，b=(3, 6, z),则实数y+z=正方体ABCDA1B1ClD1的棱长为2, M是DC的中点，点N在CC1上，且D1MAN, 则NC的长度为.正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1 = 2,则A1C与BC1所成角的余弦值为三、解答题直三棱柱 ABCA1B1C1 中，匕ACB=90, AC=BC=CC1 = 1.求异面直线AC1与CB1所成角的大小;证明：BC1AB1.12.如图，已

19、知四棱锥PABCD的底面为正方形，PAL平面ABCD, PA= AD, E, F分别是AB, PC的中点.求证：EF上平面PCD.13.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC=BC=CC1，ACBC,点D是AB的中点.求证：ACJ平面CDB1；求异面直线AC1与B1D所成的角的大小.14.正方体ABCD-A1B1C1D1中，M, N分别是AB, A1D1的中点，求证：MN平面BBRD.C.C.测试十三 直线的方向向量与直线的向量方程1.C 2. B 3. C MC = -MA + 2MB1.4. B如图，建立空间直角坐标系D-xyz, FD = （L。，2）， .15OE = （-1,1

20、,1）, Icos 1=宇.BB5.D AD = 2AB - AC所以向量AD, AB, AC共面，点(1，0，3)在平面ABC5.（x，y，z） = （1，2，0）+r（-3，-1，3）； （-5, 0，6），此时 t=2. TOC o 1-5 h z 21 2；因为一+ + 人=1 .15 5 35.9. 1.1彳如图，建立空间直角坐标系O-xyz，则 CA； = (f3,1,2),BC =(拓,1,2),1Icos 1= 411.解：如图，建立空间直角坐标系Cxyz则 CA； = (f3,1,2),BC =(拓,1,2),1Icos 1= 411.解：如图，建立空间直角坐标系Cxyz则

21、A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), B1(O, 1, 1), C1 (0, 0, 1)(1) AC广(-1,0,1), CB1 = (0,1,1),cos = -1 ._ = 2 ,异面直线AC1与CB1所成角为60. BC1=(OU), AB1=(Tm,得 bc1 - ab1=。,所以 bc1ab1.12.证：如图，建立空间直角坐标系Axyz，设AB=2,则：A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), .E为AB的中点，F为PC的中点，.E(1, 0, 0), F(1, 1, 1), EF = (0,1,

22、1)CD = (-2,0,0), CD - EF = (-2,0,0) (0,1,1) = 0.EFCD.PD = (0,2,-2), PD - EF = (0,2,-2) - (0,1,1) =0 :,EFPD.因为 PDHCD=D,EF 平面 PCD.解：如图，建立空间直角坐标系Cxyz,设AC=BC=CC1 = 2，贝C(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C1 (0, 0, 2), B1(0, 2, 2), D(1, 1, 0). 设BC1与B1C的交点为E,则E(0, 1, 1).DE = (-1,0,1),、= (-2,0,2), DE = 2 A?

23、 , ADE#AC1. DE u 平面 CDB1, AC1 *平面 CDB1,AAq平面 CDB (2)设异面直线AC1与B1D所成的角为0 ,AC1 = (2 0, 2),叩=(1,1,2),、.3cos0 =1 cos 1，所以0 =30异面直线AC1与B1D所成的角为3014.设 AB = a, AD = b, AA = c11111 11因为MN *平面BB1D1D 所以MN平面BBDD.测试十四平面的法向量和平面的向量表示则 MN = MA + AA + A N = - a + c 11因为MN *平面BB1D1D 所以MN平面BBDD.测试十四平面的法向量和平面的向量表示I学习目标

24、会求平面的法向量.会利用平面的法向量证明两个平面平行和垂直问题.II基础性训练一、选择题过点A(2,5, 1)且与向量a= ( 3, 2, 1)垂直的向量()(A)有且只有一个(B)只有两个且方向相反(C)有无数个且共线(D)有无数个且共面设平面a内两个向量的坐标分别为(1, 2, 1), ( 1, 1, 2),则下列向量中是平面a的 法向量的是()(A)(1,(A)(1,2,5)(B)(1,1,1) (C)(1,1,1)(D)(1,1,1)3.已知空间中三点4(0, 2, 3), B(2, 1, 6), C(1,1, 5),若向量a分别与AB, AC都垂直，且I a 1= 3，则a=()4.

25、(A)(4.(A)(1, 1, 1)(B)(1,1, 1)(C)( 1, 1, 1)(d)( 1, 1, 1)或(1, 1, 1)已知a P，平面a与平面P的法向量分别为m=(1,2, 3), n=(2, 3入，4),则入 =()5(A) 35(b) - 37 (C)-7(D) - 3 平面a的法向量为m,若向量AB 1 m，则直线AB与平面a的位置关系为()(A) AB ua(B)ABa(C) AB ua 或 ABa(D)不确定二、填空题已知a &，平面a与平面6的法向量分别为m, n,且m=(1,2, 5), n=(3, 6, z)，则 z=.7.如图，在正三棱锥7.如图，在正三棱锥S A

26、BC中，点O是ABC的中心，点D是棱BC的中点，则平面 ABC的一个法向量可以是，平面SAD的一个法向量可以是.若A(0, 2, 1), B(1, 1, 0), C(2, 1, 2)是平面a内的三点，设平面a的法向量a= (x, y, z),贝9 x ： y ： z=.如图AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上非A, B的任意一点，则图中直角三角形共有 个.三、解答题三、解答题(2)以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出(1)中三个法向量的坐标.11.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PDL底面ABCD, AD=PD=2. AB =4, E, F分别为CD,PB

27、的中点.求平面AEF的一个法向量的坐标.12.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2, AA1=4, E, F, M, N分另是A1D1， D1D, BC, BB1 的中点.求证：平面EFq 平面AMN.13.13.M, N分别是DC, CC, BC中点.正方体 ABCD-A1B1 C1D1 中，P 求证：平面PAAL平面MND.测试十四 平面的法向量和平面的向量表示1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6.-15 7. OS；BC8. x ： j ： z=2 ：-1 ： 3 9. 4 个， PAC,APAB,AABC,APBC 10.解：（1）由正方体可得：DD

28、1平面ABCD, ABL平面ADD,平面ABCD的一个法向量为DD, 平面ADD1A1的一个法向量为AB ,连接AC, ACBD, ACBB1，得AC平面 BBRD, 平面BDD1B1的一个法向量为AC .如图，建立空间直角坐标系D-xyz,珏C可得D1（0, 0, 2）, A（2, 0, 0）, B（2, 2, 0）, C（0, 2, 0）.DD = （0,0,2）, AB = （0,2,0）, AC = （-2,2,0）11.如图，建立空间直角坐标系D-xyz，设AD = 2,可得A（0, 2, 0）, B（4, 2, 0）, C（4, 0, 0）, P（0, 0, 2）, E（2, 0,

29、 0）, F（2, 1, 1）.平面AEF的一个法向量为m=（x, y, z）,AE = （2,-2,0）, AF = （2,-1,1）,|2 x - 2 y = 0，令x=1,得y=1, z=-1, m= （1, 1,-1）.2 x - y + z = 012.如图，建立空间直角坐标系D-xyz,可得A(2, 0,0), B(2,2, 0), C(0,2, 0), B1(2,2,4),。1(0, 0, 4),C1 (0, 2,4), E(1, 0,4), F(0, 0,2),M(1, 2, 0), N(2, 2, 2).平面EFC1的一个法向量为m=(x, y, z),EW =(T2，)，E

30、F = (T0,-2),EC - m = 0所以一1,所以EF - m = 0令 y = 1,得 x=2, z= 1, m= (2, 1,-1). 设平面AMN的一个法向量为n=(a, b, c).I a + 2b = 0AM =(1，2,0)，AN =(0,2,2),所以Lb + 2c = 0令 b=1,得 a = 2, c= 1, n= (2, 1,1). 因为m=n,所以平面EFq平面AMN.13.如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设AB=2,可得A(2, 0,0), B(2, 2,0), C(0,2,0), B1(2,2, 2),C1 (0, 2, 2),P(0, 1, 0),M(0,

31、 2,1),N(1, 2,0).平面PA A的一个法向量为m= (x, y, z), 1AA = (0,0,2), AP = (2,1,0),12 z = 0令 x=1,得 y=2, m= (1, 2, 0),2 x + y = 0同理，平面AMN的一个法向量为n=(a, b, c),.一|a + 2b = 0DN = (1,2,0),DM = (0,2,1)，所以八.12b + c = 0令 b=1,得 a=2, c=2, n= (2, 1, 2).因为m n = 0,所以mn,所以平面RA1A平面MND.测试十五直线与平面的夹角、二面角I学习目标1 .会利用定义求直线与平面的夹角，二面角.

32、会利用平面的法向量求直线与平面的夹角，二面角.会根据所给的几何体，合理的建立空间直角坐标系解决相关角度问题.II基础性训练一、选择题n若直线l与平面a成角为3，直线a在平面a内，且直线l与直线a异面，则直线l与直 线a所成的角的取值范围是()nn 2nn nnn(A) (0, (B),(C) -，一(D) (0, TOC o 1-5 h z 33 33 22n已知二面角a-l-p的大小为y，异面直线a，b分别垂直于平面a，p，则异面直线a，b所成角的大小为()(a) n(b) n(c) n)2n6323 正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与平面BDD 所成角的大小为()nnnn(A)(

33、B)(C)三(D) s6432正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1中点，平面AfiC与平面ABCD所成二面角的 余弦值为()寸2必63(A)(B)3)5. ABCD为正方形，E是AB中点，将 ADAE和CBE折起，使得AE与BE重合，记A， B重合后的点为P，则二面角D-PE-C的大小为()(A) (B) j(C) ?(D) 6432二、填空题2 一设n1, n2分别为一个二面角的两个半平面的法向重，右V气,气=3 n，则此二面角的 大小为.棱长为1的正方体ABCD-AlB1ClDl，P是棱CC1上一点，CP=m，且直线AP与平面2J1BBRD所成的角的正弦值为厂，则m=. 正四棱

34、锥的底面边长为4,侧棱长为3,则侧面与底面所成二面角的余弦值为.在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA = OB=OC，M是AB 的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为.三、解答题11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF 所成角的大小12.正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为AB中点，求二面角AEC-B的余弦值.13.正三棱柱13.正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1,

35、 D是BC的中点，求直线BB1与平面AC1D所成的角余弦值;（2）求二面角C-AC-D的大小.求AC与平面SBC所成角的大小.（2）求二面角A-SC-B的大小.测试十五直线与平面的夹角、二面角1. C 2. BA 建立空间直角坐标系，平面BDD1B1的法向量为AC .CC EPLPD, EPPC,ZDPC 是二面角 D-PE-C 的平面角，且PD=PC=CD，二面n角的平面角的大小为3.6.76.7.3兀或3 .m = 2 .建立空间直角坐标系D-xyz，设P（0，1， m），得AP = （-1，1， m），平面BB1D1D的法向量为AC =（-1，1，0），设AP与平面BB1D1D所成角为。

36、，则sir =Icos Icos 11=丁410- 511.解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz, AB=2,则 A (2, 0, 2), E(1, 0, 0), F(2, 1, 0), B(2, 2, 0),C1(0, 2, 2),BC1(-2,0,2),EF = (LI,0),AE = (1,0,2).1设平面A1EF的法向量为m=(x, y, z),令 z=1,则 x=-2, y=2,所以 m=(2, 2, 1).2设BC1 与平面A1EF所成角为。，则sin9 =I cos vm,BCI=n ,nBC1与平面A1EF所成角的大小为-.12.解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设AB

37、=2,则 A(2, 0, 2), E(2, 1, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0). 因为DD1平面EBC,所以平面EBC的法向量为DD = (0,0,2).1设平面A占。的法向量为m=(x, j, z),-2x + y = 0 -2x + y = 0 y-2z = 0EC = (-2,1,0),AE = (0,1-2),则m -DD _m -DD _ v6=-6-令 z=l,贝J y=2, x=l,所以 m= (1, 2, 1), cos =1 mDD IiJ 6因为二面角AECB为钝角，所以二面角A-EC-B的余弦值为-彳-.13.解：取8C的中点如图，建立空间直角坐标

38、系D-xyz，设 AB=BBl = 2,A(73,0,0), B(0, 1, 0), C(0, -1, 0), q(0, -1, 2),设平面ACD的法向量为m=(x, y, z),DA = (5,0,0),DC = (0-1,2),x = 0_则 - .令 z=l,则 y=2,所以 m= (0, 2, 1).-y + 2z = 0设直线昭与平面馈。所成的角为。，叫=(0,0,2),m则 sin0 =1 cos 1= 一 1 mBB Ii= = 5,所以AC与平面SBC所成角的余弦值为设平面ACC.的法向量为=(x, y, z)1 ”AC = (75,1,0), CC =(0,0,2),则1令

39、x=i,贝ijy = j3,所以n = (l,-3,0),cos=-=一土一15 因为二面角CAq。为锐角，所以二面角ASCB余弦值为514.解：如图，建立空间直角坐标系14.解：如图，建立空间直角坐标系B-xyz，设AB=1,则 B(0, 0, 0), A(0, 1, 0), C(1, 0, 0), S(0, 1, 1).(1)设平面SBC的法向量为m=(x, y, z),SB = (0,1,1), BC = (1,0,0)I y + z = 0则=0 .令 z=1，则y=-1，所以 m=(0,-1，1).设AC与平面SBC所成角为0 ,AC = (1,-1,0),贝g sin0 =1 co

40、s 1= m = _L .I m II AC I 2兀AC与平面SBC所成角为丁 .6(2)设平面ASC的法向量为n=(x, y, z),I x y = 0AS = (0,0,1), AC = (1,-1,0)则:cos vm,ncos vm,n =三三=-1I m II n I 2令 x=1,则 y=1,所以 m= (1, 1, 0),因为二面角A-SC-B为锐角，所以二面角A-SC-B为3 .测试十六距离(选学)I学习目标掌握点到直线距离，点到平面的距离的向量公式.会求两点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离.II基础性训练一、选择题已知au a , AW a，点A

41、到平面a的距离为m,点A到直线a的距离为，则()(A)mNn(B)mn(C)mWn(D)mn正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, M是棱A1A的中点，O是BD1的中点，则MO的 长为()；3克一况(A) -3(B) -(C)气：2(D) -3-矩形ABCD中，AB=3, BC=4, BAL平面ABCD, PA=1,则P到矩形对角线BD的距离（13(A) y(B (C)5 *29(D离（13(A) y。匕J已知直线o平面a,且a与平面a的距离为也那么到直线a的距离与到平面a的距离 都等于d的点的集合是（）（A） 一条直线（B）三条平行直线 （C）两条平行直线 （D）两个平面如图，正方体A

42、BCD-A1BlClDl的棱长为1, O是底面AfD的中心，则O到平面 ABC1D1的距离为（）（A） 1（B）亨（C）亨（D）二、填空题棱长为4的正方体内一点P,它到共顶点的三个面的距离分别为1, 1, 3,则点P到正 方体中心O的距离为.线段AB在平面a外，A, B两点到平面a的距离分别为1和3,则线段AB的中点C到 平面a的距离为.二面角a -Z-p为60，点AEa,且点A到平面P的距离为3,则点A到棱l的距离为 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则直线BC到平面AB1C1的距离为.如图，正方体的棱长为1, C, D分别是两条棱的中点，A, B, M是顶点，那么点M到 截面AB

43、CD的距离是.三、解答题11.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2, BB1=4，点 E, F 分别是 CC, A1D1 的中点.DiC,DiC,求EF的长；（2）求点A到直线EF的距离.12.正四棱锥S-ABCD的所有棱长均为2, E, F, G分别为棱AB, AD, SB的中点.求证：BD平面EFG,并求出直线BD到平面EFG的距离;求点C到平面EFG的距离.13.长方体ABCD-A1B1C1D1 中，AD=1, AB=2, BB=3. 求两个平行平面AB1D1与平面BDC1之间的距离.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC/所截面而得到的，其中 AEC1F

44、为平行四边形且 AB=4, BC=2, CC1 = 3, BE=1.求BF的长；求点C到平面AECF的距离.测试十六距离(选学)1. C 2. B 3. A 4. C 5. B插 以共顶点的三条棱为坐标轴建立空间直角坐标系，可得点P的坐标为(1, 1, 3),中心 O 的坐标为(2, 2, 2),所以 PO = (1,1,-1),1 PO I=t3 .1或2分A, B两点在平面a同侧和异侧两种情况讨论.2y39.109.10.a如图，建立空间直角坐标系，可得AM =(0, 1, 0),平面ABCD的法向量为m (2, 2, 1),解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz,则 A (2, 0, 0)

45、, E(0, 2, 2), F(1, 0, 4).EF =(0,2, 2),所以I EF I= .(12 + 22 + (-2)2 = 3 .7AF = (-1, 0, 4),I cos I=.3*17所以 sin =2% 26.,、. 2d =1 AFI sin 1= 一，即点 A 到直线 EF 的距离为一v 26 .3气.17312.解：（1）因为E, F分别为棱AB, AD的中点，所以EFBD.又EFu平面EFG, BD二 平面EFG,所以BD平面EFG.如图建立空间直角坐标系，则 A G;2则 A G;2，0, 0), B(0、旧,0)D (0, 2 , 0), v 20)S(0, 0

46、,略2 ), E0)A2v2g(0，弁，2).AAp八 -二p2 八-v2设平面EFG的法向量为m= （xj, z), EF = (0,一% 2,0), EC =设平面EFG的法向量为m= （x可得 m=(1, 0, 1),-,巨.巨一一 一 IEB m I 1EB =（F-F-，0），所以点B到平面EFG的距离为d = 2 2I m I 2即直线BD到平面EFG的距离1 .(3* v2 I EC m I 3(2) EC = (，一亍,0), d =22I m I213.如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1, 0, 0), B(1, 2, 0), B1(1, 2, 3), D1(0,0

47、, 3), C1(0, 2, 3),设平面 AB1D1 与平面BDC1 的一个法向量为m=(x, y, z), AD(-1, 0, 3), DB1 =(1, 2, 0).一x + 3z = 0，设 x=6，则 y = 3, z=2,x + 2 y = 0所以 m=(6,3, 2).平面AB1D1与平面BDC1之间的距离等于点到B平面AB1D1的距离，AB =（0, 2, 0）,I AB m I 66所以d =-.平面AB1D1与平面BDC1之间的距离等于亍解：（1解：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz,14.解：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz,.n.n =(44).则 D(0,

48、 0, 0), B(2, 4, 0),A(2, 0, 0), C(0, 4, 0), E(2, 4, 1), C1 (0, 4, 3).设，F(0, 0, z).，/AEC1F为平行四边形，AF = EC,(2, 0, z) = (2, 0, 2).z=2.F(0, 0, 2). BF =(2, 4, 2), I BF I= 26 .(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF, 所以设n1= (x, y, z).由，竺=0，得性:;0，,设y=1，则x=4, z=4,n AF = 0 2x + 2x = 011In I 11111又 CC = (0,0,3), d = I

49、 CC1 . % | =笔33 .C 到平面 AECF 的距离为 上I3.1.BB1.BB1 = 2,连接B1C,过B作B1C的垂测试十七角和距离的综合运算(选学)I学习目标会建立适当的坐标系处理角度和距离的综合问题.II基础性训练解答题如图，长方体 ABCDA1B1ClD1 中,AB=BC=1, 线交CC1于E,交B1C于F,B求证：A1C平面EBD；求点A到平面A1B1C的距离：求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.2.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB#DC,ZDAB=90, /AL底面ABCD, 且 PA=AD=DC= - AB 1 , M 是 PB 的中点。2证明：平面

50、PADL平面PCD；求AC与PB所成的角的余弦值；求平面AMC与平面PMC所成二面角的余弦值.3.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，匕ABC=90, AB=BC=BB1 = 1,点 D 是 A1C 的 中点.(1)求A1B1与AC所成的角的大小;求证：8DL平面AB1C；求二面角C-AB-B的余弦值.4.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2, D为CC1中点.(1)求证：AB1上平面ABD；求二面角A-A1D-B的余弦值;(3)求点C到平面A1BD的距离.5.在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SACL平面ABC, SA=SC =2巨，M, N分别为A

51、B, SB的中点.证明:ACXSB；求二面角N-CM-B的余弦值;求点B到平面CMN的距离.6.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PBBC, PDLCD，且 PA = 2, E为PD中点.求证：P4L平面ABCD；求二面角E-AC-D的余弦值；2(5在线段BC上是否存在点F使得点E到平面PAF的距离为厂？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.测试十七角和距离的综合运算（选学）1.解：如图建立空间直角坐标系Axjz1.1(1)A(0, 0, 0, ), A1(0, 0, 2), E(1, 1, )B(1，0，。)，。(。，1,1/ A1C + (1,1,-2),

52、 BE = (0,1,2), DE = (1,0,).0), C(1, 1, 00), C(1, 1, 0),A1C1BE A1C1DE即拓皿，伯皿.VBEnDE=E 所以 A1C平面 EBD. a O. i 1Li（2）设平面A1B1C的一个法向量为m=（x, y, z）,则，空1 = 0.X = 0，令z=1,得m=(0, 2, 1).BC - m = 0y = 2 z10 AA1 =(0, 0, 2),I AA - m I 22 t所以，所求的距离为d = - 飞=甘设ED与m所成角为。，则 sin 0 =I cos I=1所以直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值为5 .设ED与m所成

53、角为。，则 sin 0 =I cos I=1所以直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值为5 .2.解一：（1）B4L 底面 ABCD,PAL AB.VAB AD, ABL底面 PAD.VAB#DC,ADC 底面 PAD.VDC u平面PCD，：.平面PADL平面PCD.解二：（1）如图，建立空间直角坐标系Axyz,P(0, 0,P(0, 0, 1), D(1, 0, 0), B(0, 210), C(1, 1, 0), M(0, 1, 丁)2可求出平面PAD法向量为AD =(02, 0),平面PDC法向量为a=(1, 0,1), AD m = 0,所以平面PADL平面PCD.10(2) AC =(1, 1, 0), PB =(0, 2,1), Icos V