中线倍长法及截长补短经典讲义讲解学习

1、中线倍长法及截长补短经典讲义精品资料几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:例 1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，ABC中，AD是 BC边上的中线，求证：AD12ABCDE(AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边 、AC和两个角BAD和CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。A例 2、中线一倍辅助线作法AABC中AD是 BC边中线B方式 1： 延长 AD到 E，使 DE=AD，DBC连DE接 BE方式 2：间接倍长AM方式 3：作 CFAD 于 F，延长ADBCF作 AD 的延长线于 EN使

2、 DN=MD，BCD连接 BE连接 CDEA例 3、ABC中，AB=5，AC=3，求中线 AD的取值范围DBC例4、已知在ABC中，AB=AC，D在 AB上，E在 AC的延长FE仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2精品资料线上，DE交 BC于 ，且 ，求证：BD=CEA课堂练习：已知 ，BDA=，AE是ABD 的中线B ，求证：C=BAECED作业：1、在四边形 ABCD中，DC，E 为 BC 边的中点，EAF，AF与DC的延长线相交于点 。试探究线段 AB与 、CF之间的数量关系，并证明A你的结论DBCEF2、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于 M，ATMA平分BAC交 CM

3、于 ，交 BC于 T，过 D作 DE/AB交DBBC于 E，求证：CT=BE.ETC3：已知在ABC中，AD是 BC边上的中线，E是 AD上一点，且 ，延长 BE交 AC于 ，求证：AF=EF（二）截长补短法ADBC图 1-1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3精品资料 ABCDBCABDCBDABCBAD+BCDED作BADFBCABDABCDF，在RtADE与CDFDDE DFCDADBCF图ADERtCDFDAEDCF.BADDAEBADDCFBADBCDBCEABADECDEDCEECB.ADBC.CDADBCCDCFCB，DFDACDBCFCEBCED A 4FCEBCESA

4、S3FE2ADBCADCBCDDCECDEFDEADE1CB图 2-2 34FDEADEASADA，DFCFADBC.例3. 已知，如图 3-1，2， 为 上一点，且 于点 ，P BNPD BCDAB BC BD+ =2 .BAP+ BCP=180.求证：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4精品资料分析：与例 1 相类似，证两个角的和是 180，可把它们移到一起，让它们是邻BCP= EAP补角，即证明 ，因而此题适用“补短”进行全AN等三角形的构造.P PEPBAE的延长线于点 ，如图3-2证明：过点 作垂直PD，在RtBPE与RtBPD12BCD图 3-1 PE PD BPBPEBP

5、ERtBPDBD.BCBDDCBEDCBE即DC-.ANP在RtAPE与RtCPD1 2 BCD图 3-2 AAPERtCPDPAEPCDBAPPAEBAPBCP ABCACCD.CAC至E使CEABAC.BD图 4-1A2AC到CDECEDACB，1ACB，ABDAED12CBDB E 图 4-2ABDAEDAASAE.又AC+CEACABDC.EA12在ABAFAFDACDFCBD图 4-3仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5精品资料 12 AFDACDSASDCAFDACD.ACBFDBFB.AFFBAB.作业：AD1、已知：如图，ABCDFAD FAE是正方形， = . 求证：

6、BE DF AE+ = .FCBEABCDEAB AE BC DE CDABC AEDAD2、五边形中， = ， + = ， + =180，求证： 平分CDEABEDC（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例 ANEF2 314CBD图 12、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6精品资料例：如图 2：AD 为ABC 的中线，且12，34，求证：BECFEF.AEF2314CBDM图2练习：已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向形外作等

7、腰直角三角形，如图 4， 求证 EF2AD。EFA3、延长已知边构造三角形：例如：如图 6：已知 ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于EBDCB，图 4求证：ADBCBAODC图 64、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。AD3124BC图 75、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8：在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 的延长于 E 。求证：BD2CE.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7精品资料6、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 9；AC、BD

8、相交于 O 点，且 ABDC，ACBD，求证AD.ADO8、取线段中点构造全等三有形。BC例如：如图 10：ABDC，AD 求证：ABCDCB.10 1NADBMC图 10截长补短专题训练作业：1、如图，等腰梯形 ABCD中，AB=DC，E为 AD中点，连接 ，CE（1）求证：；（2）若BEC=90，过点 B作 CD，垂足为点 ，交 CE于点 G，连接，求证：BG=DG+CD2如图， ABCD中，E是 BC边的中点，连接 AE，F为 CD边上一点，且满足DFABAEFCD（1）若=105，=35求FAE的度数；（2）求证：AFCDCFEBA2题图仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8精品

9、资料3、如图，直角梯形 ABCD中，B=90，D=45（1）若 AB=6cm，求梯形 ABCD的面积；（2）若 E、H分别是梯形 ABCD的边 、CD、DA上一点，且满足 EF=GH，EFH=，求证：HD=BE+BF4、如图，梯形 ABCD中，点 E在 BC上，AE=BE，且 ，连接 EF5.在ABCD中，对角线BD BC，G为BD 延长线上一点且ABG为等边三EAG的长；（2）求证：AE BEGE.6. 已知：如图，在矩形ABCD中，是对角线.点 为矩形外一点且满足ACPAP PC，AP PC.PC交于点N ，连接，过点P作 PAD于M .1ADC（1）：若AP5,AB BC ，求矩形ABCD的面积；MN3（2）：若CD PM ，求证：AC APPN.B仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9精品资料7、如图，在正方形中，点P是的中点，连接，过点B作ABCD交的延长线于点E，连接，过点A作 交于点F ，连接。（1）若 2，求的长；（2）求证：