线性代数期末考试试卷+答案合集

1、大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）1311.若01x 0，则 。 2 x x 0123若齐次线性方程组x x 0只有零解，则 应满足。123 123x x x 0123已知矩阵A，B，C (c )满足AC CB则A与B分别是阶ijsn矩阵。aa11Aaaa3112 的行向量组线性。a22aa32n 阶方阵A满足A23AE0，则A1 。二、判断正误（210）若行列式D中每个元素都大于零，则D0（）零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合（）向量组 a1 ，a2a a1对应的分量成比例， 则向量组a ，a1 ，a2线性相关（）014. A

2、000100000，则A1 A（）0010105.若为可逆矩阵A的特征值，则A1 的特征值为。()三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题 2 分，共 10 分)设A为n阶矩阵，且2，则AT（。 2n 2n1 2n14n维向量组 1 ，2（3 s n）线性无关的充要条件是（。 1 1 1 1 ，2 ，2 ，2 ，2中任意两个向量都线性无关中存在一个向量不能用其余向量线性表示中任一个向量都不能用其余向量线性表示中不含零向量下列命题中正确的是()。 任意n个n1维向量线性相关 任意n个n1维向量线性无关 任意n1个n维向量线性相关 任意n1个n维向量线性无关设A，

3、B均为n 阶方阵，下面结论正确的是()。 若A，B均可逆，则AB可则 A B可逆A B 可逆，则 A B B 均可逆AB均可逆，AB可逆，则 A，5. 若， ， ，是线性方程组 A 0的基础解系，则 是12341234A 0的（）解向量基础解系通解A的行向四、计算题 (每小题9分，共63分)x ax abcdax bcdabx cdabcx d解3012.设AB A2B，且A 110,求B 。01解 . ( A 2E)B A(A2E)1 21 22 522B(A2E)1 A 43111 223 1100 21340110 0213B ,C 且矩阵 满足关系式 X (C B) E,0011002

4、1求 。0001 00021 1 a 2121问a, a ,。1221321 a x x222 321 为何值时线性方程组x x3 2有唯一解无解和有无穷多解？当213 123x xx 2123方程组有无穷多解时求其通解。 当 1且 2 时，方程组有唯一解；当 2 时方程组无解2当 1 0 c1 c0 120 1 2 1 3 0 1 设1 4, 9 , 0 , 10 求此向量组的秩和一个极大无关031031组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。100设A 010，求A021(7若A是n阶方阵，且AA 证明 AI0。其中I 为单位矩阵。大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5A 3E二、判

5、断正误2. 13. ssn n4.1. 2. 3. 4.5.三、单项选择题1. 2.3. 4.5.1.2.(A2E)B A(A2E)1 21 522 22(A2E)1 A 432111 223 3.4.1212aa1212a2111a，a，a a(2a(2a2)当a 或a1时，向量组a，a，a12328 1 1222123线性相关。5. 当 1且 2 时，方程组有唯一解；当 2 时方程组无解2当 1时，有无穷多组解，通解为 0 c1 c0 120 0 1 6.则 aa3，其中aa 2a 2a a123412341237.特征值 1，对于1100010E A 000，特征向量为k0l01231

6、02001五、证明题2 A 0， A 0一、选择题（本题共4416一项符合题目要求）1、设A，B为n阶方阵，满足等式AB 0，则必有（）(A)A 0或B 0; (B)AB 0； （C）0或B0; (D)AB0。2、A和B均为n阶矩阵，且(AB)2 A2 2ABB2 ，则必有（）A E ；(B)B E；（C） A B.(D)AB BA 。3、设A为mn矩阵，齐次方程组Ax 0仅有零解的充要条件是（(A)A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关4、 n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（）A的秩小于n；(B) 0 ；(C) A的特征值都等于零；(D

7、) A的特征值都不等于零二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A的行列式，A是A的伴随矩阵，则A=。6、A为nn阶矩阵，且A2A2E 0，则(A2E)1 。12117、已知方程组23a 21a 2 1 3无解，则 。38f (x x x 2x2 3x2 tx2 2x x2x xt 123121 21 3是。1 x1 x11111 x11111 y11111 y9、计算行列式 D 10、计算n 阶行列式四、证明题（本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分。写出证明过程）11、若向量组 , ,123线性相关，向量组2, ,3线性无关。证明：(1) 1能有 ,2线性表

8、出；(2) 4不能由 , ,12线性表出。12A是nE是nAEfA(EA)(EA)1。证明（1） (E f ( A)(E 2E；（2） f ( f ( A) A。五、解答题（31232骤）20013、设A032，求一个正交矩阵P使得P1AP为对角矩阵。023x xx014、已知方程组 x 2 0与方程组123xax2xx a 1有公共解。12123x 4x a2x 0求a 的值。12315设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为已知1且是它的三个解向量，2321 3，14232355求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空题5、-125;6、2；7

9、、-1；8、t 3 5三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：x0001x0001x1000y0101y（4 分）按第一行展开得按第三列展开得x0D xy x2 y2 。（4分）1y10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子换化为上三角形行列式xii13，再通过行列式的变1xLx2nD x 313x（4）2nnii1 MM1x2Mx 3n 3n1 x 3（4）ii1四、证明题11、证明：(1)(1)、因为 , 线性无关，所以23323又 1线性相关，故3能由 2 线性表出。(4分)3r 12 ) 3，3（2（反正法）若不，则4 ,2线性表出，不妨设4 k 1k 2k 。33

10、由（1）知，能由 线性表出，123不妨设1 t1t 。23所以4 k (t11t2) k2 k ，33这表明 2 ,3线性相关，矛盾。12、证明（1）(E f (A)(E A) E (E A)(E A)1 (E A)(EA(EA)(EA)1(EA(EA(EA2E（4）（2）f ( f (A) E f (A)E f (A)1由（1）得：E f (A)1 1 (E A) ，代入上式得2 1(E1(E A22五、解答题13、解：（4 分）（1）EA 0A 的特征值为1 1，2 2 ，3 5 （4 分） 0 （2） 1的特征向量为1，11111 2的特征向量为0，220 5 的特征向量为 0 1。（3

11、分）331 （3）因为特征值不相等，则 , ,123正交。（2分） 0 10（4）将 , ,单位化得p 1 1，p 0，p 1 1（2 分）22123221 1 2031001001（5）P p , p , p1236）P1 AP 020（1）00514、解：该非齐次线性方程组 Ax b 对应的齐次方程组为因R( 3，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都它的基础解系。（5分）另一方面，记向量 21 (2 ) ，则3直接计算得 (3,4,5,6)T 0 ， 就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为x

12、k 32 k43，k R。（7分）1546615、解：将与联立得非齐次线性方程组:若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵 A 作初等行变换得:1A 11112a4a0001101a 10.（4）0(a 2)(a0121a1001aa11当a 1 rA) rA) 2 3 即为的通解，此时011001100000A 000000 ，000 1则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: 0 ,111所以与的全部公共解为k 0 ，k为任意常数.（4分）112 当a 2 时，有 r( A) r( A) 3 ，方程组有唯一解, 此时10A 010 1 ，0011

13、0000 0 0 0故方程组的解为: 1 ,即与有唯一公共解x 1 .（4分）11线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28 分)一、 单项选择题（14228分）或未选均无分。a11a21a12 =m，a13 aa2223a11 =n，则行列式a11 aa2121aa1213aa2223等于（）A. m+nC. n- mB. - (m+n)D. m- n1002设矩阵A= ，则A- 10200010303A. 0 12 0 0 B.B.0 010210 31 1 0 00 020 1 C. 0 1 1D. 01 0 12 3 1 2 3 0 0 设矩阵A= 10 A*是A的伴随矩阵则A中位（1

14、2的元素（）2 1466C.2D.2设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A=0B. BCA=0C. A0时B=CD. |A|0时B=C已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）1C. 3B.2D.4设两个向量组1，2和1，2均线性相关，则（）0，使+=0+121122s112+=02ss0，（1211222s+）=0ss0，使（）+（- ）+1211222s（ -s）=0s0，0，+12s12s11+=0+=022ss1122ss设矩阵A的秩为r，则A中（）所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0Ax=b是一非齐次线性方程组

15、，12D.所有 r 阶子式都不为 0是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（）A.Ax=0的一个解B.1 +1Ax=b的一个解122122C.-1Ax=0的一个解-1Ax=b的一个解设n阶方阵A不可逆，则必有（）秩(A)n=0秩(A)=n-1D.Ax=0只有零解设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）如存在数和向量A=，则A的属于特征值B.如存在数和非零向量，使(EA)=0，则A的特征值的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如，A3A的属于123123，有可能线性相关123123设0A3A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）k3C. k=3B. k3设A是正交矩阵

16、，则下列结论错误的是（）|A|2必为1=AT|A|1的行（列）向量组是正交单位向量组设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（与B相似AB不等价AB有相同的特征值AB合同下列矩阵中是正定矩阵的为（）A. 2 A. 3 4 3 4B. 2 B.1 00C. 0 2 1 1 D. 1 2 0 3 51 0 第二部分非选择题（共72分）二、填空题（10220分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。1 1115.3 56 .9 25 3616.设A=1 1 1 ，B= 12. 则A+2B=.1 1 1 2 417.设 A=(a ) ，|A|=2，A 表示|A|中元

17、素 a的代数余子式（i,j=1,2,3）,则ij 33ijij(a A A +a )2+(aA +a +a )2+(aA +a +aA)2=.11 2112 2213 21 2122 23 2331 2132 33 2318.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=.A343，若，12Ax=b2同的解，则它的通解为.设A是mn矩阵，A的秩为r(n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解中含有解的个数为.设向量、23，则向量+与的内积（+，-）=.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为. 0 10 6 2A 1 3 ，已知1 是它的一个特征

18、向量，则所对应的特征2 10 8 值为.2设实二次型f(x,x,x,x,x)的秩为4正惯性指数为则其规范形为.12345三、计算题（7642分） 1 2 2 3 A3 4 ，B= .求（1）ABT（2）|4A|.2 4 01 2 315 11 23 4 .201 11 5 3 3 4 2 3A= 1 1 0BAB=A+2B.1 2 2 1 3 0 13 0128.给定向量组 ，= ，= ，= .1 02 23 24 4 3 4 9试判断4是否为1，2的线性组合；若是，则求出组合系数。 . 1 2 .A=2 42 21 06 2 3 333 3 4 1）秩（A；（2）A的列向量组的一个最大线性无

19、关组。 0 2 2 A= 2 3 48TD，24 使T- 1AT=D.试用配方法化下列二次型为标准形f(x,x)=x2 2x 3x4x 4x 4x x ，1231231 21 32 3并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（2510分）设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A- 1EA+A2.设0Ax=b12Ax=0的一个基础解系.试证明=+101=+20Ax=b的解；答案：，01线性无关。一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）二、填空题（本大题共 10 空，每空 2 分，共 20 分）15.616. 33717.418. 1019. +c(- )（或11

20、2137+c(2-)，c为任意常数2120.n-r21.522.223.124. z2zzz21234三、计算题（7642分） 120 22 86=.25.解1）ABT= 3=.40 341812102）|4A|=43|A|=64|A|，3|A|=120340 2.所以|4A|=64（-2）=-1285111111=20 5111111=20 550550312511201120110010153355303411131=1562解 AB=A+2B即（A- 2E）B=A，而 221 141655 30 10 40.A-2E）- 1=11 15 3 123 14 42 38所以B=(A-2E)- 1A=15 = 2196.164 1221292130 2130 053 1301 1305 03解一 0112 0112 02240112 088 001 341901311201414000002101,所以0100=241+，组合系数为（2，1，1）.23解二 考虑=x+x+x，41122332x1 x2 3x3 0 1即 x3x 12x2x423x1 4x2 x3 .方程组有唯一解（2，11）T，组合系数为（，1，）.解 A施行初等行变换12102121021