第章差分方程精选课件

1、什么是时间序列？时间序列的研究内容和方法模型？时间序列分析的应用？序 言什么是时间序列？序 言第 1 章 差分方程1.1 时间序列模型一般原理：时间序列通常可以分解为趋势性、季节性、循环或周期性、和无规律性这四项。前三项具有可预测性，第四项对前三项有干扰性。如果其干扰或波动大小可以被估计，那么，时间序列的预测是可以进行的。 例（图1.1）：50个时间序列观测数据的分解和预测（选自Walter Enders的书“Applied Econometric Time Series”）第 1 章 差分方程1.1 时间序列模型（选自Walte第章差分方程精选课件该例子的数学模型：趋势项方程周期性方程无规律

2、性方程其中，Tt 为 t 期的趋势性成分； St 为 t 期的周期性成分； It 为 t 期的无规律性成分； et 为 t 期的纯随机扰动项。 t 期总的时间序列：该例子的数学模型：趋势项方程周期性方程无规律性方程其中，Tt差分方程所谓差分方程，是将变量表示为该变量滞后值、时间和其它变量的函数，它可以表示为按照这个定义，前面例子的三个成分方程都是差分方程。但真正理解差分方程的这个定义依赖于两条：1、差分的定义或含义；2、方程的定义及含义。这两条将在1.2节的I和II中解释。三个差分方程或时间序列的例子差分方程所谓差分方程，是将变量表示为该变量滞后值、时间和其它随机游走（或游动）或例：股价模型。

3、 yt 为股价，et +1的期望值为0。 即在知道第 t 期股价 yt 情况下，第 t +1期股价 yt+1 的期望值就等于yt ，即更广泛的随机差分方程这表示市场的变化是均衡的。随机游走（或游动）或例：股价模型。 yt 为股价，et +1结构方程和诱导方程将差分方程拆分成独立的单方程模型是很有用的。例：随机形式的萨缪尔森（1939）经典模型：其中，yt , ct和 it分别表示 t 期的实际GDP, 消费和投资。 ect , eit 分别是消费和投资的随机干扰项，均值都为零。a, b 为待估参数。第三个方程表示加速原理，即在消费增长必定带来新的投资支出前提下，投资支出等于消费变动的一定倍数。

4、这是一个结构方程，因为它表明了两个当期内生变量it和ct之间满足某个约束条件或系统结构。（1.1）（1.2）（1.3）结构方程和诱导方程将差分方程拆分成独立的单方程模型是很有用的诱导方程是将当期变量值表示成该变量滞后值、其它内生变量的滞后值、外生变量的当期值和过去值、以及扰动项的函数。式（1.2）或消费是一个诱导方程，但式（1.3）或投资还不是诱导方程。为了得到投资的诱导方程，将式（1.2）代入（1.3）得到诱导方程并不唯一。例如投资的诱导方程进一步可以写为将式（1.2）和（1.4）代入（1.1）得到GDP的诱导方程（1.4）（1.5）诱导方程是将当期变量值表示成该变量滞后值、其它内生变量的滞

5、后误差纠正：远期和即期价格在即期市场可以买卖一定的商品和金融产品进行即期交割，或在规定的未来某一日期完成交割。例：外汇（或期货）设某外汇的即期（或卖出）价格为 st 美元，未来一期的远期交割（或买入）价格为 ft 美元。假设一投机者以每单位 ft 美元的价格购买该远期外汇，即在 t 期，该投机者获得外汇，并按每单位 ft 美元进行支付。于是，每交易单位在t+1期的盈利（或亏损）为 st+1ft 。无偏远期利率假设认为投机行为的期望收益为零，即成立当该假设不成立，即 st+1与 ft 不一致时，后期就会进行某种调整以恢复均衡。考虑调整过程的误差纠正模型：误差纠正：远期和即期价格在即期市场可以买卖

6、一定的商品和金融产即变量在任何一期的变动都和变量前一期值与长期均衡的离差有关。当即期汇率st+1与远期汇率ft相等时， 则即期汇率和远期汇率就倾向于保持不变。当即期汇率st+1大于远期汇率ft时， 则即期汇率将会下降，远期汇率将会上升；当即期汇率st+1小于远期汇率ft时， 则远期汇率将会下降，即期汇率将会上升。即变量在任何一期的变动都和变量前一期值与长期均衡的离差有关。1.2 差分方程及解法差分的定义函数 y = f (t)在变量 t 的特定值 t* 处变化 h时的一阶差分定义为将单位标准化，以 h代表时期 t 处的一个单位变化，即h=1，并考虑自变量均匀分布的序列。不失一般性，去掉 t*

7、上的星号，则得到一阶差分同样，可从一阶差分的变化中得到二阶差分1.2 差分方程及解法差分的定义函数 y = f (t)在类似地，可以定义 n 阶差分 。记号：为了方便，通常将整个序列 表示成 。类似地，可以定义 n 阶差分 。记号：差分方程的形式 考虑 n 阶常系数线性差分方程，其一般形式可以表示为其中，xt 项称为推动过程，其形式非常广泛，可以是时间、其它变量的当期值或滞后值，和（或）随机干扰项的任一函数。 的一个重要特例是其中，bt 为常数（某些可取零），序列 et 不是 yt 的函数。于是，可以认为 只不过是一个未取定外生变量的序列。（1.10）差分方程的形式 考虑 n 阶常系数线性差分

8、方程式（1.10）可以写为差分算子形式（）。由（1.10）得令 ，则得到自回归方程令 ，则得到随机游走模型令 ，则得到（1.11）式（1.11）与通过给定导数求原函数的形式有类似之处。式（1.10）可以写为差分算子形式（）。由（1.10）得令进一步，式（1.11）又可以写成易知，式（1.10）可以写成关于的一个方程，其中 项的系数都为1。因此，差分方程是时间序列的一种数学结构和表示，是研究时间序列的一个重要方法。进一步，式（1.11）又可以写成的一个方程，其中 差分方程的解差分方程的解是将未知项 yt 表示为序列 中的元素和t （也可以和序列 的一些给定值，即初始条件）的一个已知函数，使得代入

9、到差分方程之中，满足方程式。例1： 或 易知， 是该差分方程的解。这里，c为任意常数。因此，其解有很多或不唯一。例2：考虑无规律性方程 的解。则可以验证，该一阶差分方程的解为这个解实际上可以从诱导方程的迭代推导出来（略）。注意诱导方程和解的区别。差分方程的解差分方程的解是将未知项 yt 表示为序列 1.3 差分方程及解法通过对y的诱导方程进行迭代，有可能得到整个y序列的解。初始条件已知的迭代考虑初始条件 y0已知的一阶差分方程a. 向前迭代（1.17）1.3 差分方程及解法通过对y的诱导方程进行迭代，有可能得（1.18）（1.18）b. 向后迭代也得到与式（1.18）相同的结果。b. 向后迭代

10、也得到与式（1.18）相同的结果。初始条件未知的迭代初始条件 y0未知时，式（1.18）也未知，即不是一阶差分方程（1.17）的解。对式（1.18）继续向后迭代，得到（1.20）初始条件未知的迭代初始条件 y0未知时，式（1.18）也未知若 ，则当 时，得到一阶差分方程（1.17）的一个解（1.21）而且，容易验证，对于任意常数 A，（1.22）也是一阶差分方程（1.17）的解。 注：解（1.21）或（1.22）的收敛性意味着序列et的过去 值对yt的当期值的影响越来越小。若 ，则当 非收敛序列（或收敛性）当 ，式（1.20）收敛到解（1.21）。当 ，式（1.20）不收敛或发散，但只要给出初

11、始条件 y0，则可使用解（1.18）。当 ，一阶差分方程（1.17）可写为使用迭代法，可得到当初始条件 y0 给定时，（1.26）是（1.17*）的一个解。若没有初始条件，式（1.26）可能是不收敛或发散的， 又未知，因此不是一个解。（1.17*）（1.26）非收敛序列（或收敛性）当 ，式（1.2收敛性图示右图为一个计算机随机模拟的解（1.18）的表现性质。其中，细线为解的序列，实线为解的确定性部分的序列。收敛性图示右图为一个计算机随机模拟的解（1.18）的表现性质1.4 备选解法对于一般的差分方程（1.10）齐次方程差分方程（1.10）中常数项a0和推动过程项xt都不出现时，就得到了齐次（差

12、分）方程齐次方程（1.30）解的一个性质是：若 为（1.30）的解，则对于任意常数 A， 也是（1.30）的解。当阶数n较高时，迭代法就显得非常复杂和困难，此时可使用其它的备选解法。（1.10）（1.30）1.4 备选解法对于一般的差分方程（1.10）齐次方程差分一阶差分方程的备选解法考虑一般的一阶差分方程则得到一阶齐次方程（1.27）显然，恒零序列 是齐次方程（1.27）的一个解。另外，当初始条件 y0已知且非零时， 也是它的一个解。两者都包含在（1.27）的齐次通解之中， A为任意常数（此时，上式右端y0可以省略）。（1.10*）若 为（1.10*）的一个特解，则（1.10*）的通解为参数

13、 A对应于非零的初始条件y0，即 。一阶差分方程的备选解法考虑一般的一阶差分方程则得到一阶齐次方一般差分方程的解法对于一般差分方程（1.10），其求解方法通常为第1步：建立齐次方程（1.30），求出它的n个齐次解第2步：求出（1.10）的一个特解 ；第3步：通解为所有齐次解的线性组合与特解之和，即第4步：将初始条件代入通解中，确定线性组合的系数。一般差分方程的解法对于一般差分方程（1.10），其求解方法通1.6 解齐次差分方程解一阶齐次差分方程在第4节“备选解法”里已经介绍了一阶齐次差分方程解的形式为（1.27）其中，A为任意常数。一般的 n 阶（线性）差分方程为（1.10）1.6 解齐次差分

14、方程解一阶齐次差分方程在第4节“备选解法解二阶齐次差分方程考虑一般的二阶齐次方程a 待定，A为任意常数。把它代入到（1.45），得到（1.45）的解。猜想其齐次解也如一阶一样有相同的形式消去 A和 a t-2之后，得到关于 a 的一元二次方程（1.46）(1.47)又称它为特征方程，其解称为特征根。解二阶齐次差分方程考虑一般的二阶齐次方程a 待定，A为任意常运用一元二次的求根公式，得个两个特征根为(1.48)其中，为判别式。于是，都是（1.45）的解，其中A1和 A2为任意常数，且它们之和也是（1.45）的解，即为二阶差分方程的齐次解。但是，解的性质则取决于这两个特征根 a1, a2和判别式

15、d。(1.48*)运用一元二次的求根公式，得个两个特征根为(1.48)其中，为情形1：判别式此时，a1和a2为两个不同的实数特征根。当a1或a2的绝对值大于1时，则二阶差分方程的齐次解(1.48*) 就趋于发散。例1：则齐次解为其解的轨迹如右图所示，随着时间t增大，它趋于零。情形1：判别式此时，a1和a2为两个不同的实数特征根。当a1则齐次解为其解的轨迹如右图所示，随着时间t增大，它发散。例2：则齐次解为其解的轨迹如右图所示，随着时间t增大，它发散。例2情形2：判别式此时，a1和a2为两个重根，即其中，A1和A2为任意常数。显然，当 |a1|2时，解就发散；当 |a1| 2时，解就收敛。除了

16、是一个解之外，可以验证 是另一个解。于是，得到了齐次解情形2：判别式此时，a1和a2为两个重根，即其中，A1和A2第章差分方程精选课件情形3：判别式此时 ，a1和a2为两个共轭的虚数特征根，即这里， 。则注意齐次解的表达式为(1.48*)令 ，选择 ，使得满足由de Moivre定理知因 是实数， 是复数，所以 必为复数，假设情形3：判别式此时 第章差分方程精选课件其中， 均为任意实数。于是，可以计算出从齐次解的表达式(1.48*) ，可得由于 是任意常数，所以可以将齐次解写成其中， 均为任意实数。（1.49）三角函数表达式说明了齐次解（1.49）在时间路径上像波浪一样，其波动频率取决于 的大

17、小。 而解的稳定性则由 的值是否小于 1 或 是否大于 1 所决定。其中， 均为任意实数。从齐次解的表达式(1例：其判别式所以，其齐次解为其中， 均为任意实数。于是，对于二阶差分方程 可得齐次解（1.49）当 ，即 ，则波动的增幅不变；当 ，即 ，则波动呈递减趋势；当 ，即 ，则波动呈发散趋势；由于 ，所以例：其判别式所以，其齐次解为其中， 均为任取的齐次解的齐次解随着 的值增大，波动的频率加快。取的齐次解的齐次解随着 的值增大，波动的频率加快。稳定性条件及其图示情形2的稳定性条件为弧线 AOB，即情形1的稳定性条件在AOB的上面，即它等价于且情形3的稳定性条件在AOB的下面，即 ，且，且即

18、等号成立等价于1是一个特征根或常数解 的情形。稳定性条件及其图示情形2的稳定性条件为弧线 AOB，即情形1高阶方程假设每一个齐次解具有形式 ，其中A为任意常数。代入（1.55），得到（1.56）考虑 n 阶齐次方程（1.55）两边除以 ，得到特征方程（1.57） n 阶多项式有n个根，记这n个特征根分别为 。 可以为实数或复数。复数根则成对出现，相互共轭。稳定性条件要求除了为1的单特征根（对应常数解），其它特征根的绝对值都小于1或在单位园之内；否则解将发散。高阶方程假设每一个齐次解具有形式 所有特征根都是相异实根，此时，解的表达式为其中， 为任意常数。给定n个初始条件，则可以确定它们的具体取值

19、。（1.57*）齐次解的表达式所有特征根都是实根，但有 个重根。不妨设其中， 为任意常数。特别地， 或 。假设互不相同的特征根有s个，则齐次方程的通解就等于这 s 个不同特征根所产生的解之和，其中含有n个参数。给定n个初始条件，就可以确定这 n个参数的具体取值。于是，这m个重根所产生的解可以写为所有特征根都是相异实根，此时，解的表达式为其中， 一些特征根为复根，此时它们共轭出现，记一对共轭根为其中， 为任意常数。转换为极坐标，则可以写成于是，齐次差分方程的通解就等于所有不同实或复特征根所产生的解之和；其中含有n个参数。给定n个初始条件，就可以确定这 n个参数的具体取值。，则由这对共轭根所产生的

20、解为其中， 为任意常数。一些特征根为复根，此时它们共轭出现，记一对共轭根为其中， 所有特征根都位于单位圆内的必要条件为稳定性判别条件所有特征根都位于单位圆内的充分条件为若 ，则至少有一个特征根等于1。包含一个或多个等于1的特征根序列称为单位根序列。此时，n 阶差分方程（1.10）的解可能发散或不稳定。对于三阶方程，稳定性条件可以写为后两个式子中的任何一个可由其它四个式子导出。由特征方程，可得所有特征根都位于单位圆内的必要条件为稳定性判别条件所有特征根1.7* 求确定性过程的特解情形1： xt = 0此时，差分方程的形式为令解的形式为常数，即（1.58）代入到（1.58）之中，得到寻找特解需要技

21、巧，跟推动过程xt的具体形式有关。本节介绍推动过程xt为确定性项的求特解方法。所以（1.59）只要，则得到（1.58）一个特解1.7* 求确定性过程的特解情形1： xt = 0此时，差如果，则yt是一个单位根序列，其齐次解已包含常数解，此时，除非a0= 0；否则常数解就无效，而应该考虑线性特解 ，于是，线性解将出现在单位根过程中。把 代入到（1.58）之中，得到注意到，所以若，则继续尝试使用作为解。对于n阶方程，这些解中总会有一个会是特解。如果，则yt是一个单位根序列，其齐次解已包含常数解，此时情形2：此时，差分方程的形式为考虑一阶方程（1.58*）令解的形式为其中，（1. 60）把上式代入（

22、1.60），得为使得两边对应相等，取因此，特解就为情形2：此时，差分方程的形式为考虑一阶方程（1.58*）令解如果 当，尝试使用为使得两边对应相等，取因此，特解就为则可以运用情形1中的技巧。把它代入（1.60），得作为解。当，该特解将收敛于 。如果 当，尝试使用为使得两边对应相等，取因此，特解就为则可以 当，尝试使用为使得两边对应相等，取因此，特解就为把它代入（1.60），得作为解。 当，尝试使用为使得两边对应相等，取因此，特解就为把它代入（ 当式（1.60）化为为使得两边对应相等，取因此，特解就为把它代入（1.60），得此时 。 对于高阶方程，同样可以使用这类方法。 此时(a1=1)，高阶方

23、程就等价于推动过程 xt=0，常数项为 a0+b，其求解即化为情形1。则尝试使用 当式（1.60）化为为使得两边对应相等，取因此，特解就为把情形3：此时，差分方程的形式为其特解形式一般为（1. 62）把它解的形式 代入上式，得到其中， 为待定常数。考虑 d =1 时的二阶方程为使得两边对应相等，可解得（1. 62*）情形3：此时，差分方程的形式为其特解形式一般为（1. 62）代入式（1.62*)，得到为使得两边对应相等，可解得若，则令解的形式为即代入式（1.62*)，得到为使得两边对应相等，可解得若，则令1.8* 求随机性过程的待定系数法简单情形 I：考虑只带一个随机项的一阶差分方程（1.64

24、）这一节介绍推动过程为随机性项的求特解的待定系数法。因这种待定系数法可能无解，所以称它为挑战解。令挑战解为其中，（1.17）将式（1.64）代入到式（1.17），得到1.8* 求随机性过程的待定系数法简单情形 I：考虑只带一合并同类项，得到（1.65）式（1.65）对 t 的所有值和序列 的所有可能值都成立。因此，必须满足求解过程可以分为独立的两组来求解，即后两个方程可以解出b0和b1，余下前面的方程组可以解出a0, a1, a2, ，即合并同类项，得到（1.65）式（1.65）对 t 的所有值和由前面的方程组可解得第二组方程的求解可分两种情况。当|a1|1时，此时特解为这个结果与用迭代法求得

25、的式（1.21）的结果完全相同。由前面的方程组可解得第二组方程的求解可分两种情况。当|a1此时特解为这个解的形式是不规则的，即求和有可能发散。施加初始条件则得到解因齐次解为 ，所以，当|a1|1时，就得到通解给定一个初始条件，就可以确定常数A的值。这个结果与用迭代法求得的式（1.26）的结果完全相同。此时特解为这个解的形式是不规则的，即求和有可能发散。施加初简单情形 II：考虑带二个随机项的一阶差分方程令挑战解仍为（1.67）代入到式（1.67），得到因此（1.64）简单情形 II：考虑带二个随机项的一阶差分方程令挑战解仍为（另外，比较常数项和截距项的系数，可得其求解仍要可分两种情况：，此时当

26、|a1|1时，特解为加上齐次解之后可得通解（略）。此时特解为这个解的形式是不规则的，即求和有可能发散。施加初始条件（与前一节同理）后可得到另外，比较常数项和截距项的系数，可得其求解仍要可分两种情况：高阶方程考虑带一个随机项的二阶差分方程令挑战解仍为（1.68）代入到式（1.68），得到对两边对应项分别施加相等，得到(B)高阶方程考虑带一个随机项的二阶差分方程令挑战解仍为（1.68当 时，系数 的解满足二阶差分方程(C)(C*)满足初始条件解得其中方程（C*）的收敛性条件与式（1.68）的齐次方程的收敛性条件完全相同，都取决于系数a1和a2。当 时，系数 的解满足二阶差分再来考察式（B）中参数b0, b1, b2的求解，分两种情况： ，则由式（B）可知又可以分为两种情况：i) 。则解为 ，则式（B）等价于ii) a2 = -1, a1=2。则解为注1：由前面讨论（或参见图1.5）可知，收敛性条件为注2：挑战解也是由确定性部分和随机性部分所组成，它们实际上是独立进行的，可以分别来确定。再