函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性

1、函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性第一部分 函数的奇偶性一、奇偶函数的定义偶函数奇函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称函数的奇偶性常用结论奇偶函数定义的等价形式fxfxfxfx0eq f(fx,fx)1fx为偶函数；fxfxfxfx0eq f(fx,fx)1fx为奇函数. 2、如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则一定有f(0)0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).3、在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，

2、奇偶奇函数的奇偶性常见题型函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3 eq f(1,x) ；(2)f(x) eq r(x21) eq r(1x2) ；(3)f(x) eq blc(avs4alco1(x22x1，x0，,x22x1，x0.) 跟踪练习1、下列函数中为偶函数的是()Af(x)2x1 Bf(x)x3xCf(x) eq f(1,x2) Df(x)x eq f(1,x) 2、函数f(x)eq f(1,x)x的图像()A关于y轴对称 B关于直线yx对称C关于坐标原点对称 D关于直线yx对称3、已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间

3、是(，0)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(0，)4、设函数f(x)eq f(1x,1x)，则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)1Bf(x1)1Cf(x1)1Df(x1)15、设函数f(x)在(，)内有定义，下列函数必为奇函数的是()Ay|f(x)| Byxf(x2)Cyf(x)Dyf(x)f(x)6、已知函数f(x)eq f(r(9x2),|6x|6)，则函数f(x)()A既是奇函数也是偶函数 B既不是奇函数也不是偶函数C是奇函数，但不是偶函数 D是偶函数，但不是奇函数7、已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x

4、1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)1是偶函数 Df(x)1是奇函数8、(多选)下列函数是奇函数的是()Ay2x23 Byx3Cyx2，x0，1 Dyx9、(多选)下列说法中正确的是()A图象关于坐标原点对称的函数是奇函数B图象关于y轴对称的函数是偶函数C函数yx2在x(0，)上是偶函数D若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)010、(多选)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()Ayf(|x|) Byf(x)Cyxf(x) Dyf(x)x11、(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(

5、x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是偶函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数12、(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为具有奇偶性的函数的是()Ayxf(x) Byxf(x)Cyx2f(x) Dyx2f(x)13、(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x1)都为奇函数，则()Af(x1)为奇函数Bf(x)为周期函数Cf(x3)为奇函数Df(x2)为偶函数14、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)eq r(3x2)eq r(x23)；(2)f(x)eq blc

6、rc (avs4alco1(x2x，x0；)15、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)eq f(x3x2,x1)；(2)f(x)x2x3；(3)f(x)|x2|x2|；(4)f(x)x2eq f(a,x)(x0，aR).16、(1)已知函数f(x)，xR，若a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)，求证：f(x)为奇函数；(2)已知函数f(x)，xR，若x1，x2R，都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数；(3)设函数f(x)定义在(l，l)上，证明：f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数17、已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)eq

7、f(f（x）f（x）,2)，h(x)eq f(f（x）f（x）,2).(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？根据奇偶性求函数值例2(2022重庆模拟)已知函数f(x)ax5bx32，若f(2)7，求f(2)的值.跟踪练习1、(2022青岛模拟)已知f(x)x5ax3bx8(a，b是常数)，且f(3)5，则f(3)()A21B21C26D262、如图，给出奇函数yf(x)的局部图像，则f(2)f(1)的值为()A.2 B2 C1 D03、已知f(x)为奇函数，在区间3，6上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小

8、值为1，则2f(6)f(3)()A15 B13C5 D54、已知f(x)ax3bx1(ab0)，若f(2019)k，则f(2019)()Ak Bk C1k D2k5、已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)()3 B eq f(5,4) C eq f(5,4) D36、已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(x)0，f(0) eq r(3) ，则f(10)_7、已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x2ax，且f(3)6，则a的值为_8、若函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(gx，x0)为奇函数，则f(g(1)_.9、已知函数f(x)是

9、定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_10、已知f(x)是奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(1)的值是_11、若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_根据奇偶性求函数的解析式例3(1)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x2)，则当x0时，求f(x)的表达式.(2)已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，求f(x)的表达式跟踪练习1、(2022广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，则当x(，0)时，f(x)_2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，

10、当x0，f(x)2x2xa，则a_；当x0时，f(x)x22x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图像5、已知函数f(x)x2mx(m0)在区间0，2上的最小值为g(m)求函数g(m)的解析式；6、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式7、已知函数f(x)eq f(axb,1x2)是定义在(1，1)上的奇函数，且feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(2,5).(1)求函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f

11、(x)在(1，1)上是增函数；(3)解关于实数t的不等式f(t1)f(t)0.函数奇偶性的应用例4已知定义在(1，1)上的函数f(x)eq f(x,x21).(1)试判断f(x)的奇偶性及在(1，1)上的单调性；(2)解不等式f(t1)f(2t)0时，f(x)x(x1)C函数f(x)有最小值 eq f(1,4) D不等式f(x)0的解集是(1，1)2、已知定义在R上的函数f(x)在(，2)上单调递减，且f(x2)为偶函数，则f(1)，f(4)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2) 的大小关系为()Af(4)f(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,

12、2) Bf(1)f(4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2) Cf eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2) f(4)f(1) Df(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2) 0 Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)5、(2022白银模拟)已知f(x)ax2x(a2)为奇函数，则“m0”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件6、设f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递增，则f(2)，f()，f(3)的大小顺序是()Af()f(3)f(2) Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()

13、Df(3)f()f(2)7、如果奇函数f(x)在3,7上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间7，3上()A单调递增且最小值为5B单调递减且最小值为5C单调递增且最大值为5D单调递减且最大值为58、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的xR都有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)x2axb，则ab等于()A0 B1 C2 D29、已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)0()Ax|x4Bx|x4Cx|x6Dx|x211、已知定义在R上的偶函数f(x)满足在0，)上单调递增，f(3)0，则关于x的不等式eq f(fx2fx2,x)0的解集为()A(5，2)(0，)B

14、(，5)(0,1)C(3,0)(3，)D(5,0)(1，)12、设f(x)为偶函数，且在区间(，0)内是增函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为_21、已知实数a，b满足(a1)5(b3)52 020(1a)32 020(3b)3，则ab_22、函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是_23、(2022福建质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称以下关于f(x)的结论：f(x)是周期函数；f(x)在(0,2)上单调递减；f(x)满足f(x)f(4x)；其中正确的结论是_(写出所有正确结论的序号)24、设f(x)是(，

15、)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0 x1时，f(x)x.(1)求f()；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积25、已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x，x0，,0，x0，,x2mx，x0).(2)若f(xa) eq f(1,f（x）) ，则T2a(a0).(3)若f(xa) eq f(1,f（x）) ，则T2a(a0).三、函数周期性的应用例1定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2 023)等于()A336 B338C337 D339跟踪练习(

16、2022重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x2)f(x2)，当x(0,2)时，f(x)x2，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(13,2)等于()Aeq f(9,4) Beq f(1,4) C.eq f(1,4) D.eq f(9,4)2、在R上函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x) eq blc(avs4alco1(xa，1x0，,|2x|，0 x1，f(7)a，则实数a的取值范围为()A(，3)B(3，)C(，1) D(1，)4、(2022宿州市模拟(一)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)f(2x)，当x0，1时，f(

17、x)4x1，则在(1，3)上，f(x)1的解集是()A eq blc(rc(avs4alco1(1，f(3,2) B eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)，f(5,2) C eq blcrc)(avs4alco1(f(3,2)，3) D2，3)5、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(3x)f(x)，则f(2 025)()A3 B0 C1 D36、已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2x)f(x)0，当x2，0时，f(x)x22x，则当x4，6时，yf(x)的最小值为()A8 B1 C0 D17、已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3

18、)2，则f(2 021)等于()A2 B0 C2 D48、已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)0，)则f(2 023)_.14、函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2 021)f(2 022)_.15、已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0 x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为_16、已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(x)，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，f(6)0，则f(2 022)_17、已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x4)f(

19、x)，若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，f(2)2，则f(2 026)_18、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_19、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式第三部分 函数的对称性一、函数对称性常用结论(1)f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x)的图象关于直线xa对称(2)f(ax)f(bx)f(x)的图象关于直线xeq f(ab,2)对称f(ax)f(bx)

20、f(x)的图象关于点eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)，0)对称f(2ax)f(x)2bf(x)的图象关于点(a，b)对称二、函数对称性的应用例已知函数yf(x)2为奇函数，g(x)eq f(2x1,x)，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x6，y6)，则y1y2y6_.跟踪练习1、(2022山东师大附中第二次月考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x3)f(x)，当x0，3时，f(x)x23x，则以下关于f(x)的结论错误的是()A周期为6 B图象关于 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0) 对称Cf(2 021)2 D图象关于x eq f(3,2) 对称2、已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)2，则f(2 021)等于()A2 B0 C2 D43、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的xR都有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)x2axb，则ab等于()A0 B1 C2 D24、(多选)(2022湖北新高考9N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x2)是奇函数，则()Af(x)的图象关于点(2,0)对称Bf(x)的图象关于直线x2对称Cf(x)的周期为4Df(x)的周期为85、(2022承德模拟)已知函数f(x)的定