第四篇多元函数微分学

1、第四篇多元函数微分学第1页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二多元函数微分法 在前面各章的学习中，我们讨论的函数都只限于一个自变量的函数，称为一元函数在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数一.多元函数的概念第2页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二 例如：矩形的面积s=xy，描述了面积s与长x、宽y这两个量之间的函数关系。又如，烧热的铁块中每一点的温度T与该点的位置之间有着密切的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标(x,y,x)表示时，温度T由x、y、z这三个变量确定，如果进一步考虑到冷却过程，那么T还和时间t有关，即T由x、y、x、t四个变量所决定。以上例

2、子中两个、三个、四个变量，分别称为二元、三元、四元函数，一般称为多元函数。第3页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二ff定义1： 的非空子集D到R的映射f，称为D上的一个点函数或n元函数。D称为这个函数的定义域。由以上定义，任意p D，p为( ) y R,记为y=f(p)，称 为函数f的第i个变量。Y称为f的因变量或y的自变量 的函数。又有： 多元函数是一元函数的推广，因此它仍然保留了一元函数的许多性质。 一元函数 y=f(x) 定义D： R x：D中的一个点p的坐标将P扩大到平面或几何空间或n维抽象n维空间 的点，所以称n元有序实数组( )是n维空间 的一个点。由此可有第4

3、页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二 定义2：如果独立变量 在它们的变化范围内任取一组值时，变量y按照一定的法则，总有一个实数与之对应，则y叫做 的n元函数，记为y=f( ). 叫做自变量，y叫做因变量，自变量 的变化范围叫做这个函数的定义域。当n=1时，y=f(p)即为一元函数。n 2时，n元函数称为多元函数。若强调一组 对应唯一的函数值时，函数称为单值函数。否则称为多元函数，今后一般的多元函数均为单值函数。 第5页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二二： 二元函数的几何表示 二元函数z=f(x,y)，定义域D为XOY面上的某一区域D。对 P(x,y)

4、D,空间中有点M(x,y,z)与P(x,y)中的(x,y)对应，其中z=f(x,y)。这样，p在D中变动时，M也在空间中变动。M形成轨迹就是z=f(x,y)的图像，一般来说，它是一曲面。例如：z= 为半球面。第6页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二三： 点函数的极限将一元函数微分法推广到多元函数，首先要将一元函数的极限推广到多元函数。一元函数的极限：y=f(x), f(x)=A, 即对 0, 0,当0|x- | 时，|f(x)-A|0, 的一个去心邻域N( , )当 x N( , ) 时，f(x) N(A, )。因此有，定义3：设函数f(p)在点集D上有定义， 为D的聚点，

5、A是一个定常数，如果 0, 0，当p N ( , )时，恒有 |f(p)-A| 成立则称A是点函数f(p)当p 时的极限，记为 f(p)=A 或记为f(p) A (p ) 多元函数的极限经常遇到的形式为n=2的情形。n=2，p=(x,y). f(p)记为z=f(x,y), ( , )N( , )=(x,y)|0 ，记p 极限记为 f(x,y)=A或f(x,y) A(p )第7页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二二元函数的极限也称为二重极限。多元函数的极限经常遇到的形式为n=2的情形。n=2，p=(x,y). f(p)记为z=f(x,y), ( , )N( , )=(x,y)

6、|0 ，记p 极限记为 f(x,y)=A或f(x,y) A(p )第8页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二例题分析：1.求证 : 证明：对 ,要证因为只须令 即可 对 当 时，有 第9页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二对于二重极限，务必注意： 二重极限存在，是指 以任何方式趋近于 时，函数 都无限接近于 ,故若 是以某一特定方式趋近于 ；即使 无限接近于A,也不能断定 的极限存在。反过来，若当 以不同方式趋近于 时， 的极限不同，则可断定 的极限不存在。同理，当取某一特定路径时， 的极限不存在，则可确定 的极限不存在。这与一元函数的极限存在一定是左右极

7、限存在且相等的道理相同。第10页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二例2：证明： ，当 时极限不存在。证明：取 时的路径。极限不存在。 得证。例3：以知第11页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二求解：沿沿 极限不存在。四。多元函数的连续性：1。一元函数的连续性： 在点 连续 多元函数的连续性： 在点 连续第12页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二二元函数 在 连续:若 在D上每一点均连续，称 在D内连续.2。间断点： 在 不连续，称 为的间断点。以下情形的 为间断点：1） 在 处极限不存在2） 在 处无定义3）第13页，共62页，202

8、2年，5月20日，3点29分，星期二3。连续函数的性质。定理1（最值定理）： 在有界闭区域D上有定义，且在D上连续，则 ,使得 , 称为 在D上的最小值和最大值.定理2（介值定理） 在有界闭区域D上连续，且m,M分别为 在D上的最小值，最大值。若数u满足 ，则 使得4.运算：多元连续函数的和，差，积均连续。分母不为零时，连续函数的商是连续的，多元连续函数的复合第14页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二函数也是连续的。多元初等函数在其定义区域上连续。五：本节例题1.已知 ， 若当y=1，z=x时，求 及z.解： y=1，z=x 有又第15页，共62页，2022年，5月20日，

9、3点29分，星期二2.求极限.1) 2)3)解:1) 2 ) 3)第16页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二2. 全微分与偏导数一。偏导数 回忆y=f(x) 在x0的导数：f (x0)= 对于多元函数来说，由于有n个变量，其偏导数即是对于某一个自变量的导数，其它的自变量看成是不变的量的导数，故有定义1：设z=f(x,y)在P0的某一领域上有定义，当自变量x 取增量， ，y不变， z取得偏增量第17页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二若当 时，极限 存在，此极限值称为z=f(x,y)在P0处对x的偏导数,记为fx(x0,y0)第18页，共62页，2022年

10、，5月20日，3点29分，星期二若z=f(x,y)在D上任意一点P(x,y)均对 x存在偏导，则在P上形成对x的偏导函数，即第19页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二从定义看，求z=f(x,y)对x的偏导数的偏微分法，实际上与一元函数的微分法是一致的。同理，可以得到其他的多元函数的偏导数，u=f(x1,x2,xn)给x1以增量第20页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二例1。F(x,y)=x3+2x2y-y3在点（1，3）关于x与y的偏导。解：第21页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二例2。第22页，共62页，2022年，5月20日，3

11、点29分，星期二例3。u=ln(1+x+y2+z3).求（ux+uy+uz)l(1,1,1)第23页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二二元函数偏导数的几何意义： 二元函数z=f(x,y)的图形是一曲面，将y固定为b，则f(x,b)就是z=f(x,y)与平面y=b的交线，故为交线在（a,b)处对x轴的斜率二。全微分1。全微分的概念： 一元函数y=f(x),给x以增量第24页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二类似的多元函数也有(以二元函数为例)(1).全增量,z=f(x,y)在点P(x,y)的某领域上有定义.对自变量x给增量 增量,y给则称为z=f(x,y)

12、在点P(x,y)对(2)定义: 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全增量可表示为其中A,B与x, y无关z=A x+B y+o(p)第25页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二dz,或df(x,y),即dz=同理可定义其他多元函数的全微分.第26页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二例:考察f(x,y)=xy在点(处的可微性第27页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二处可微时，在 处一定连续。故有以下结论：f(x,y)在点（x,y）可微，则一定在(x,y)连续。若f(x,y)在D没一点处均可微，则说在D上可微。2。可微的条件：（以二

13、元函数z=f(x,y)为例）由y=f(x)可微大家知道， ，即那么z=f(x,y)的微分中的A=?,B=?定理1：(可微的必要条件)若z=f(x,y)在p(x,y)处可微，那么，z=f(x,y)在点（x,y）处的偏导数 一定存在，且 证明：z在p(x,y)处可微第28页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二故 当中 ， 所以 所以 类似多元函数 可微，则 由以上定理知，可微则偏导数存在，若偏导数存在，是否一定可微呢？答案是否定的。 第29页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二举例： 在原点（0，0）显然同理若f(x,y)在（0，0）可微，则 应是 的高阶无穷子

14、。而 不存在所以，虽然f(x,y)在（0，0）处的偏导数存在，但f(x,y)在（0，0）处不可微。故有:第30页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二定理2：(可微的充分条件) z=f(x,y)的偏导 在点p(x,y)的某一领域内存在，且在点p处连续，则z=f(x,y)在p(x,y)处可微证明：应用一元函数的拉格朗日中值定理有：又由 在p(x,y)连续，所以有同理：第31页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二而所以z=f(x,y)在p(x,y)可微。经常地，记 的微分同样可记为：第32页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二例题分析：1。 解：

15、2。解：3解：第33页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二 3. 复合函数微分法一。连锁法则：定理1：设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)的偏导数存在，函数z=f(u,v) 在相应于（x,y）的点(u,v)可微，则有：证明： 第34页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二f(u,v)在（u,v）可微，故 均存在，故上式当 时的极限为第35页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二例1：z= ,x=rcos ,y=rsin . 求 ， . 解： = =2xcos +2ysin =2rcos +2rsin =2r. = =2x(-r

16、sin )+2yrcos =-2r cos sin +2r sin cos =0.第36页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二以上规则称为连锁规则。如下图所示：对于复合函数的微分法，注意以下几点： 1. z=f(u.v),u=u(x).v=v(x).则： ，这时z实际上是x的一元函数。 2.z=f(u,v,w).u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y).则：3.z=f(u,v,x).u=u(x,y),v=v(x,y).则： （令w=x）第37页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二 = .这里的 是z=f(u,v,x)=f(u(x,y),v(x,y

17、),x)中将y看成是常量，对x的偏导。而 是z=f(u,v,x)中将u,v看成常量对x的偏导。这二者意义不一样。所以：4.实际上,也可以将u=u(x,y),v=v(x,y)代入到z=f(u,v)中，变成z是x,y的函数，再对求偏导，效果应是一致的，只是用连锁规则会更简洁一些例题解析：Z=arcsin ,y=x .求，解： 第38页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二x=2.z=uv+sinx,u=e ，v=cosxy.求 解： cosx =v +u-sin(xy) y+cosy第39页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二 =cosxy +e (-ysinxy

18、)+cosx3.y=x .求解：令y=u ,u=x,v=x,则：vuu lnu 1 =xx+x lnx =x (1+lnx)4.z= ,f为可微函数,验证:解:令v=x y ,z= =F(y.v)第40页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二所以 = = 2x, = = 故 + =2 - + = 而 =上式. 得证. 二.一阶微分形式不变性:在一元函数中,y=f(x), dy=f (x)dx, y=f(u), u是自变量时, dy=f (u)du. u是中间变量时, u=u(x),dy=f (u)du 第41页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二 即不论u是中

19、间变量还是自变量,dy=f (u)du,这就是一元函数二阶微分形式具有不变性. 对于多元函数(以二元函数为例).z=f(u,v).u,v为自变量时, dz= du+ dv而当z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)时,因dz= dx+ dy = ( )dx+( )dy = dx+ dy+ dx+ dy = du+ dv. 所以不论u,v是自变量,还是中间变量,z=f(u,v),均有dz= du+ dv多元函数一阶全微分形式只有不变性.第42页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二 4 隐函数微分法一. 一元函数隐函数微分法 设y=f(x)是由方程F(x,y)=0确定

20、的隐函数,求 =f(x). 对F(x,y)=0两边对x求导,将y看成是中间变量, =0. 例: e -xy=0,确定y是x的函数.求 . 解: e -y-x =0 = .二. 由方程确定的隐函数 Th1.(隐函数存在定理) 设(n+1)元函数F(x ,x ,x ,u)在点p ( )的某一邻域上具有偏导数,且F( )=0,F ( ) 0,则在P 的某个邻域上,由方程F(x ,x ,x ,u)=0确定的唯一单值连续函数且具有连续偏导的n元函数.u=f(x ,x ,x ),它满足条件: 第43页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二 u =f( ) F , f( )=0而且有: =-

21、 事实上:将F(x ,x ,x ,u)看成是复合函数,则两边对x 求偏导: + =0 =- = 这就是隐函数的求导公式. 例1: 设 ,决定z=z(x,y),求 , . 解: = , F(x,y,z)= , =2x, =2z-4.故 =- = .第44页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二 例2: 2sin(x+2y-3z-u )-4x +siny=0决定u=u(x,y,z).求 . 解:令F(x,y,z,u)=2sin(x+2y-3z-u )-4x +siny 所以 = =4cos(x+2y-3z-u )+cosy =2cos(x+2y-3z-u ) 2u 所以 =- 例3

22、: siny+e xy =0,决定y=f(x).求 . 解: =- =e y , =cosy-2xy 所以 =第45页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二同时对上述各题,也可直接对方程两边求偏导,但必须注意到其中一个变量是中间变量.例如: = ln ,决定z=z(x,y),求 .解:两边对求x偏导.有: = 故 = 三.由方程组确定的隐函数 一般情况下: 当只有量x,y独立变化时,这方程组就可以确定两个二元函数u=u(x,y),v=v(x,y). 定理2: (隐函数存在定理) F(x,y,u,v),G(x,y,u,v),在 p (x ,y ,u ,v )的某一邻域上是有连续的

23、偏导 第46页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二并且F(p )=0,G(p )=0,若由偏导组成的方程雅可比行列式 J= = ,当J 时,则 在p 的N(p , )上唯一确定单值连续且只有连续的偏导的函数u=u(x,y),v=v(x,y),且 u =u(x ,y ),v =v(x ,y ) =- =- =- =-第47页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二第48页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二第49页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二 2. 确定了 解:两边对x求导四;反函数微分法则: 若 在区间I上严格单调,可

24、导且 则的反函数也可导,且对于二元函数来说有定理：（反函数微分法）设第50页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二在点(u,v)的某一邻域上连续且有连续偏导，又则由决定唯一一组连续单值函数函数u,v连续，且偏导也连续，且推导如下：上式两边对x求偏导第51页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二例：由确定的反函数求解：方程组两边对x求偏导，解：第52页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二由对x求偏导第53页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二高阶偏导数在一元函数中：是x的函数，在可导的情况下，f对x的二阶导数n阶导数对于二元函数来说，仍是x,y的二元函数因而考虑二阶偏导数，乃至高阶的偏导数（在可导的情况下）第54页，共62页，2022年，5月20日，3点29分，星期二若