厦门大学2012级高等数学期中考试试题及答案

1、 PAGE PAGE 6厦门大学高等数学期中考试答案厦门大学高等数学期中考试答案A）考试日期2012.04.08高等数学 A1.（10 分）r a cos ) 的全长。解 ： dx ( r cos r sin ) d ， dy ( r sin r cos ) d， ds r 2 r 2 d 。故，2 2 222S 0ds 02 a d 4 a cos0 d 8 a sin2 8 a 。02.（10 分）y1( x ) ，y2(x) 为2 阶线性微分方程y p ( x ) y q ( x ) y 0 的两个解， 令W ( x ) y( x1y( x)2( x ) y ( x) y ( x ) (

2、 x ) ，y ( x )1y ( x)12122并称之为 y1( x ) 和 y2( x ) 的 Wronsky 行列式。 试证明：W (x) 满足方程W p ( x)W 0；W ( x ) W (x0 x)exp ( t ) dt。（1） y y yy y yy y =yy y y，故121212121212W p ( x )W y1( y 2 p ( x ) y 2) y2( y 1 p ( x ) y ) q ( x )( y y11 y y1) 0 。（2） 由（1）可得dWW pxdx ， 两边积分则有x dWxW0 ln xW ( W ( x )W ( x )0p (t )dt

3、，从而可知W x ) W x0 x)exp ( t ) dt。uvx2 ex cos2 （10 分）设方程 确定了函数u u x , y ) ， v v x , y ) 。 求在点x 1 y 1 ，uvy2e x sin2yu 0 v 处的du dv 。4解：方法一： 微分法。将u v x y 看成独立变量，对原方程组取全微分得到相应的线性化方程：2vu u2uvvvu 1uv 1(cose x) dx ex sindy cose du ex sindv 02yx22 2y y2yxyyvu uuv vvu 1uv 1sine xdx (ex cos) dy sine xdu ex cosdv

4、 0yx2yy22yxy y在 x 1 ， y 1 ， u 0 v 4处取值则有：22dx dy du dv 0222 22 222 22 2 ( )dy du dv 024222容易解得：11du ( dx 2dy ) ， dv ( dx dy ) 2 dy 。4方法二： 通过求偏导数来得到微分。u x ( F , G ) (x,v) ( F , G ) (u , v ) 1 ， 其中F , G 为将方程组右端项移至左端所得到的隐函数。2220222222222222其余偏导数的计算从略。 x 2 y 2 z 2 6（10 分）求曲线 ：在点（2, 1，1）处的对称式切线方程。( x 1)

5、2 y 2 2解：将方程组在（2, 1，1）处直接微分便得到 在此处的一般式切线方程：。 4 ( x 2 ) 2 ( y 1) 2 ( z 1) 0。2 ( x 2 ) 2 ( y 1) 0ijk于是， 该切线的方向向量为：v 21111 ( 1,1, 1) ， 故切线的对称式方程为：0 x 2 1y 1 1 z 1。1（10 分）给定三维空间内一个平面 P0，再给定正实数e 。 求到P0的距离和到 的距离的比值为常数 e 的动点的轨迹。 选择适当的坐标系， 从而说明上述轨迹所对应的二次曲面的类型。解： 设 Ax By Cz D 0 ， 其中A, B , C ) 为 的单位法向量； 设P0 (

6、 x0, y , z) 。00则所求动点轨迹的方程为：( x x ) 20 ( y y)0 ( z z0) 2 e 2 ( Ax By Cz D ) 2 。以 xoy 平面， 以P 0到 z 轴建立坐标系， 则上述方程化简为：x 2 y 2 ( z z)0 e 2 z 2 。0 e 1 时， 方程可整理为： x y (1 e 2 )( z z0) 2 2z0 zz， 动点轨迹为中心在1 e21 e20z(0, 0,01 e 2) 的椭球面。e 1 时， 方程可整理为： x y 2z( z 0 ) ， 动点轨迹为顶点在(0, 0,02z 0 的旋转抛物面。2e 1 x y (1 e 2 )( z

7、 z0) 2 2zz0 z 2 , 动点轨迹为中心在(0,0,0) 的z双叶双曲面。1 e 21 e201 e 2（10分）设u 为定义在平面上的二元函数， u 在直角坐标和极坐标下的函数表达式分别为：u (xy ) g (, ) 。 设u 关于( r ) 有连续的二阶偏导数。 试将二元函数 x 2 x2表示成极坐标( r , ) 下所对应的形式。 x r cos r x 2 y 2x 2 y 2 y r sin acr tany 。故而 ：xu u r u uxu y cos usin u ；xrxxrrxy2rr2 x2 cos ( u ) rxsinu()rx cos (cos usin

8、 usin) (cos usin u )rrrrrr cos (cos 2 usin u sin2 sin ) ( sin ucos2 cos u sin 2 u )r 2r2rrrrrr 22usin usin 2 usin 2usin 2 2u cos2 。r2r2rrrrr2 27（10 分）在第一卦限内做椭球面xa2yb2zc 1的切平面使得该切平面与三个坐标平面所围成的四面体体积最小。 求此切平面与椭球的切点， 并求此最小体积。解：设切点为 P0 ( x0, y , z0) ， 则过P0的切平面方程为： x 0 ( x a 2x ) y 0b ( y y ) z 0c ( z z0)

9、 0 。P0在椭球面上， 故上述方程可改写为截距式方程：a 2xb 2ya 2zxa 2xb 2ya 2z 1 。故所求四面体体积为：V0 1 a 2 b 2 c 00最小， 即求目标函数L ( x ,y , z )xyz限制在椭球面上的6 xyz000Lagrange 标函数的最大值点必满足如下方程：L(xy , z )xyz ( x a2yb2zc1) 2xyz 0a22yxz 0b2。 2 z 0c 2 x 2 a2yb2 z 2 1c 2a 2 x b 2 xzy c 2 xyz 2 xa2 yb2 z 2 。c 2故， 所求切点为P0 ( 3 3a,b,33c) ， 对应的最小体积为

10、V 2abc 。（10 分）设 f x, y) 为平面上 二元函数， f x, y) 在平面 上任意一点 P ( x, y) 处的梯度向 量为f x, y) ( 2x, y) 。 给定P0 () f x , y ) P0点的等高线。（f x , y ）f x , y ) c f x , y ) 0。 故， f x , y )P0的等高线满足如下微分方程：2 xdx ydy 0 。它的通解为： 2 x 2 y 2 C ， C R 。 带入P02 x 2 y 2 3 。方法二： 设所求等高线的方程为 y y ( x ) ，则在等高线上任意一点 P ( x , y ) 处的切向量为(1, y ) 。

11、由于等高线上任意一点的切向量和梯度向量垂直，故可得到如下微分方程： 2 x yy 0。y 1从中易知所求等高线为： 2 x 2 y 2 3 。（20分）设有弹簧振子如右图。设弹簧的弹性系数为c k 2k 为某正的A 处然后无初速度地松开，假定整个运动过程中不考虑空气等产生的阻力。建立以平衡位置为原 点，向下为正方向的坐标轴， 并设初始时刻为t 0 ， 初始时刻振子恰好位A处。试考察以下两种情形下振子的运动情况。写出振子不受外力影响下做简谐振动的运动方程， 并求解之。假设振子受到F B sin pt 运动方程并求解之。解： （1）设在t x(t) 处， 此时振子受到的弹性恢复力为：F (t) k

12、 2 x(t) Newton第二定律可知此时振子满足的运动方程为：x k 2 x 0 ，x (0 A , x 0 0 。此二阶常系数微分方程的通解为： x t ) C cos kt D sin kt 为：x (t ) A cos kt 。（2）在受周期外力影响下， 同样利用 Newton 第二定律可得到振子满足的运动方程为：x k 2 x B sin pt 。x k 2 x Be ipt 。下分两种情况考虑： B Bip k . 令 x (t ) ikt2 ikt Be ikt ，从而C 2ik2k。故原方程的一个特解为： x (t ) B t cos kt x(t) 2 kB t cos k

13、t C cos kt D sin kt 。 带2 kx (t ) A cos kt B2 kBsin kt 2t cos kt 。p k . 令 x (t ) Ce，带入复化方程可得：C ( k 2p 2 ) eipt Be ipt ，从而C B。故原k 2 p 2方程的一个特解为：x(t) Bsin pt。k 2 p 2从而原方程通解为：x(t) Bsin pt C cos kt D sin kt 。带入初值， 可知振子的位移函数为：k 2 p 2 BpBx (t ) A coskt sin kt sin pt 。p 2 k 2kk 2 p2附加题：（10分）z f x, y) D x 均有界， 试yf x , y D 连续。ffx M , M ， 其中M D Pfy ( x ,