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文档简介

1、6.4 曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。 L1 是“凹(上凸)”弧，L2是“凸(下凸)”弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。1K切=f(x)0 y单调递增凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方.凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方.K切=f(x)0 y单调递减x0 y0px0 y0y=f(x)pxyyxoo几何特征y=f(x)连续曲线的

2、凹弧段与凸弧段有分界点.2一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方(凹函数)图形上任意弧段位于所张弦的下方(凸函数)3的值分别是4定义25.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.xyo123abxyo123曲线的凹凸与拐点ab几何特征凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小. x1x2x3x1x2x36定理1定理 1可根据定义进行 证明，下面证明定理 1.二、曲线凹凸的判定7定理28证明分别应用L定理，得两式相减，得由假设9这就证明了同理可证（1）注定理的结论可推广到任意区间上例1解注意到,10三、曲线的拐点及其求法1.定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.拐点的求法证11方法1:12例2解凸的凹的凸的拐点拐点1314方法2:例3解15注意:16二阶导数变号，例5解17例6求曲线的拐点解18是拐点例7Jensen不等式证由Taylor公式，得19各式乘以再相加，得=1=120思考题21思考题解答例22小结:作业:1.如何来研究函数的凹凸性.2.

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