电磁矢论第四章、时变电磁场

1、电磁矢论第四章、时变电磁场第1页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.1 波动方程无源区的波动方程（均匀媒质中）：麦克斯韦方程组波动方程建立二阶矢量微分方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即波动性。一阶矢量微分方程组，描述了电场与磁场间的相互作用关系。电磁波动方程第2页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.1 波动方程推证（无源区 ）：同理可得：第3页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.1 波动方程 波动方程的解是空间沿一个特定方向传播的电磁波，研究电磁波的传播问题可以归结为在给定的边界条件和初始条件下求解波动方程的解。 矢量波动方程的解法

2、：设法把矢量波动方程分解成标量波动方程，通过求解标量波动方程（分离变量法）再求得带求的矢量函数。第4页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.1 波动方程 在直角坐标系中，波动方程可以分解成三个标量波动方程：第5页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.2 电磁场的位函数1、矢量位和标量位定义：上面的式子中 称为电磁场的矢量位， 称为电磁场的标量位。注： （在时变电磁场中 用矢量位 和标量位 来表示。)第6页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.2 电磁场的位函数就是说对一给定的时变电磁场可用不同的位函数来描述。不确定性满足下列变换关系的两组函

3、数 和 能描述同一个电磁问题。则有：原因：未规定 的散度（亥姆霍兹定理）。第7页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.2 电磁场的位函数通过规定 的散度可以得到惟一的 和 ，还可以使时变电磁问题的求解得到简化。在电磁场论中，对于时变电磁场通常规定 的散度为：上式称为洛伦兹规范。注：电磁场论中另一种常用的规范是库伦规范 ，通常在恒定磁场中应用。第8页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.2 电磁场的位函数2、位函数的微分方程（达朗贝尔方程）在线性和各向同性媒质中有：第9页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.2 电磁场的位函数同理有第10页，

4、共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.2 电磁场的位函数即：是洛伦兹规范下矢量位 和标量位 所满足的微分方程，称为达朗贝尔方程。第11页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.2 电磁场的位函数说明：应用洛仑兹规范的特点：1）位函数满足的方程在形式上是对称的，且比较简单，易求解； 2）矢量位只决定于 ，标量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出 ，无需解出 就可得到待求的电场和磁场。电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应用不同的规范条件，矢量位 和标量位 的解也不相同，但最终得到的电磁场矢量是相同的。第12页，共46页，2022年，5月20日

5、，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理）1、电磁场能量主要内容：坡印廷矢量和坡印廷定理电磁场能量分为两部分：电场能量和磁场能量电场的能量密度（单位体积内所储存的电场能量）： 磁场的能量密度（单位体积内所储存的磁场能量）： 磁场的能量密度： 磁场的能量： 第13页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理）随电磁波的传播，空间个点的电磁能量密度也发生着变化，即伴随着电磁波的传播发生着电磁场能量的流动。第14页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理）电磁能量流动满足能量守恒 进入体积V的

6、能量=体积V内变化的能量+体积V内损耗的能量 用坡印廷定理来表征电磁能量守恒关系，定量的描述电磁场能量的运动和转移。用能流密度矢量来描述电磁能量流动，也称坡印廷矢量，用 表示，单位W/M2方向：电磁能量流动的方向大小：单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位面积的能量。第15页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理）2、坡印廷矢量（能流密度矢量）描述时变电磁场中电磁能量流动的一个重要物理量。定义： 方向：电磁能量流动的方向大小：单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位面积的能量。第16页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电

7、磁能量守恒定律（坡印廷定理）3、坡印廷定理微分形式： 积分形式： 单位时间内通过闭合曲面进入体积V的电磁功率（能量）单位时间内体积V中电磁场能量的改变量单位时间内体积V内总的损耗功率（能量）物理意义：单位时间内，通过闭合曲面S进入体积V的电磁功率（能量）等于体积V中电磁场能量的改变量与损耗功率（能量）之和。 第17页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理） 坡印廷定理清楚的说明了电磁场是能量的储存者和传递者。 无论是电力传输还是电讯传输，都必须通过空间电磁波来实现能量的传递。第18页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电

8、磁能量守恒定律（坡印廷定理）推导（由麦克斯韦方程组来推导）：由式（1）-式（2）得：第19页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理）在线性和各向同性媒质中，当参数不随时间发生变化：将式（4）和式（5）代入式（3）有：第20页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理）利用矢量恒等式：即可得到坡印廷定理的微分形式：再在任意闭合曲面S所包围的体积V上对上式两端进行积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式：第21页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印

9、廷定理）Eg：同轴线的内导体半径为a、外导体的内半径为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U，导体中流过的电流为I。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。同轴线第22页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理） 解：（1）在理想导体中不存在电场和磁场，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为：内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量为：第23页，共46页，2022年，5月20

10、日，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理）电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如图所示。穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）第24页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电磁能量守恒定律（坡印廷定理）（2）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，因此，在内导体表面外侧的电场为内磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）第25页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.3 电磁能

11、量守恒定律（坡印廷定理）同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况） 由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。进入每单位长度内导体的功率为:式中R是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。第26页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.4 惟一性定理针对时变电磁场中麦克斯韦方程组的解提出来的。时变电磁场的惟一性问题：麦克斯韦方程组解的惟一性问题。表述：在以闭合面S为边界的有界区域V内，若给定t=0时刻的电场强度和磁场强度（边界条件），且在t0时给定S上的电场强度切向分量和磁场强度切向分量（边界条件）。那

12、么在t0时区域内的电磁场可由麦克斯韦方程组惟一确定。意义：指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁问题的求解提供了理论依据。第27页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）时谐电磁场：场量随时间按正弦规律变化的电磁场，也称正弦电磁场。特点：（1）易于激励，在工程上应用最多的就是时谐电磁场，广播、电视和通信的载波等都是时谐电磁场；（2）在线性和各向同性媒质中，任意时变电磁场在一定条件下均可按傅里叶级数展开为不同频率的时谐电磁场的叠加。第28页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）1、时谐电磁场的复数表示对于

13、时谐电磁场，其场量 和 都是以一定的角频率随时间t按正弦规律变化的。在直角坐标系中， 的瞬时表达式（实数表达式）为：与时间无关的初相位振幅（仅与空间坐标有关）第29页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）利用三角公式：时间因子复数表示法对复数取实部空间相位因子复振幅，或称分量的复数形式其中： 各个分量的复数形式。第30页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）有关说明：（1）复矢量只是数学表达式，不代表真实的场；（2）真实的场是复矢量的实部，即与之相对应的瞬时表达式；（3）只有频率相同的时谐场之间才能使用

14、复矢量方法进行运算。式中： 为 的复矢量同理可得： 、 、第31页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）场量复数形式与实数形式之间的转换：复矢量瞬时矢量取实部取实部取实部取实部第32页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）Eg：已知电场强度复矢量 ，其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。解：第33页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）2、时谐电磁场的麦克斯韦方程组对于时谐电磁场由麦克斯韦方程微分形式可得：第34页，共46页，2022年，5月20

15、日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）第35页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）麦克斯韦方程复数形式注意：（1）方程组中各场量形式上是实数，实际应均为复数；（2）方程组中没有与时间相关的因子，因为时间因子ejt缺省；（3）麦克斯韦方程组复数形式只能适用与时谐电磁场。第36页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）3、亥姆霍兹方程（时谐电磁场所满足的波动方程）对于时谐电磁场亥姆霍兹方程第37页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）若令k2=2，

16、则亥姆霍兹方程变为：说明：亥姆霍兹方程的解为时谐电磁场（正弦电磁场）。第38页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）4、时谐电磁场的位函数对于时谐电磁场第39页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）复矢量瞬时矢量位函数定义洛伦兹规范达朗贝尔方程第40页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）5、平均坡印廷矢量坡印廷矢量瞬时形式：平均坡印廷矢量：在坡印廷矢量的瞬时表达式中 、 均为实数，即：推导可得，在时谐电磁场中评价坡印廷矢量为：上式中： 、 为场量的复数表达式； 为对场量 的复数表达式取共轭运算。第41页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）推导：第42页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）代入 的定义式中一般会将 的省略，即：第43页，共46页，2022年，5月20日，7点0分，星期五4.5 时谐电磁场（正弦电磁场）说明： (1) 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。 (2)在 中， 和 都是实数形式且是时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密