差商与牛顿多项式

1、差商与牛顿多项式第1页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三5 重节点差商 定义5 (重节点差商)若 ,?则定义 类似的有分析：(2)首先,由定义泰勒展开式第2页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三(2)首先,由定义泰勒展开式证明：第3页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三第4页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三给定的函数表并记5 差分，等距节点插值多项式5.1 差分及性质 且即1、差分（1）记号 向前差分算子；在 称为点的步长为h的一阶向前差分 中心差分算子. 定义6 向后差分算子； 二阶向前差分； 二阶向后差分； 若

2、二阶中心差分；、向后、中心差分.分别第5页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三 (3) 一般地， 阶向前差分； 阶向后差分；I 不变算子（恒等算子）； （4）设A与B为两算子, 如，则称算子A与B为相等。记为 若，则称A为B的逆算子。记为 若（自己证）E 位移算子第6页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三 2、性质性质 1 的各阶差分均可用函数值表示。 其中 证明： 用算子二项式定理：得即#第7页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三用归纳法可证。 性质 2 差分与差商的关系 令 证明： 当m=1时， 假设当m=k时，有 则#自己证一般地第8

3、页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三 性质3 差分与导数关系 证明： 性质2定理7 5.2 牛顿向前插值，向后插值公式 函数表设有 被插值点。 （1）当 靠近 (表初或差头)时，通常取插值节点：以下推导以 为节点的等距插值公式。 作变换 则又由 1、公式自己证第9页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三 代入(4.2)：（牛顿前插公式或表初公式）：即得牛顿向前插值公式系数系数系数系数第10页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三 作变换 又则再由 （牛顿后插公式或表末公式）：即得牛顿向后插值公式 （2）当 靠近 时，通常取插值节点：，以下为插

4、值节点的等距插值公式。推导以系数系数系数系数第11页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三 注：（1）（5.2）、(5.3)使用于等距节点。 （2）（5.2）、(5.3)的系数分别为 ，差分表2-7求解方法见表2-7。(5.2)的系数(5.3)的系数第12页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三 说明:节点的取法：取与x尽量接近的节点。注意两点，首先，若 2、计算量 （1）计算差分（计算量忽略不记）； （2）由前插（后插）公式计算近似值：（计算步骤）乘除法次数大约为: +秦九韶算法达到了误差要求，则其他一些节点就用不到了，因此，表中的n可以相当大，牛顿插值公式中

5、的n不一定就是表中的n；另外,表初式计算。在公式中的比重是一样的。若x不在表初、表末而在表中间，则有例4。例4还有另外的选取节点的方法，也可以用牛顿向后插值公公式中 似乎占有较大比重，而从误差公式的对称性知 第13页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三例4 已知 Bessel函数函数表试用牛顿向前插值公式计算近似值。解：取各阶差分见表2-8 第14页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三表2-8解：取各阶差分见表2-8 表2-9，如表2-9。利用牛顿向前插值公式（5.2）计算精确值：第15页，共16页，2022年，5月20日，4点50分，星期三 说明：也可取节点为利用牛顿向后插值公式（5.3）计算。本课重点：P.85 6作业:(1)理解