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文档简介

1、压轴大题突破练函数与导数(二)1已知函数f(x)aln xbx2.(1)当a2,beq f(1,2)时,求函数f(x)在eq f(1,e),e上的最大值;(2)当b0时,若不等式f(x)mx对所有的a0,eq f(3,2),x(1,e2都成立,求实数m的取值范围解(1)由题意知,f(x)2ln xeq f(1,2)x2,f(x)eq f(2,x)xeq f(2x2,x),当eq f(1,e)xe时,令f(x)0得eq f(1,e)xeq r(2);令f(x)0,得eq r(2)0,h(a)在0,eq f(3,2)上单调递增,h(a)minh(0)x,mx对所有的x(1,e2都成立1xe2,e2

2、x1,m(x)mine2.2函数f(x)xln xax2x(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值,求a的值;(2)若函数f(x)的图象在直线yx图象的下方,求a的取值范围;(3)求证:2 0132 0122 0122 013.(1)解f(x)ln x2ax.因为f(1)0,所以a0.(2)解由题意,得xln xax2xx,所以xln xax2eq f(ln x,x).设h(x)eq f(ln x,x),则h(x)eq f(1ln x,x2).令h(x)0,得0 xe,所以h(x)在(0,e)上单调递增;令h(x)e,所以h(x)在(e,)上单调递减所以h(x)maxh(e)eq f(1,

3、e),所以aeq f(1,e).(3)证明由(2)知h(x)eq f(ln x,x)在(e,)上单调递减,所以当xe时,h(x)h(x1),即eq f(ln x,x)eq f(lnx1,x1),所以(x1)ln xxln(x1),所以ln xx1ln(x1)x,所以xx1(x1)x,令x2 012,得2 0122 0132 0132 012.3已知函数f(x)ln xax1.(1)若函数f(x)在点A(1,f(1)处的切线l与直线4x3y30垂直,求a的值;(2)若f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:ln(n1)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n1)(nN*)(

4、1)解函数f(x)的定义域为(0,),f(x)eq f(1,x)a.所以f(1)1a.所以切线l的斜率为1a.因为切线l与直线4x3y30垂直,所以1aeq f(3,4),解得aeq f(1,4).(2)解若a0,则f(x)eq f(1,x)a0,f(x)在(0,)上是单调递增函数而f(1)1a0,f(x)0不恒成立,故a0.考虑a0,则当x(0,eq f(1,a)时,f(x)eq f(1,x)a0;当xeq f(1,a),)时,f(x)eq f(1,x)a0.所以f(x)在(0,eq f(1,a)上是单调递增函数,在eq f(1,a),)上是单调递减函数所以f(x)的最大值为f(eq f(1

5、,a)ln a.要使f(x)0恒成立,只须ln a0即可由ln a0,解得a1,即a的取值范围为1,)(3)证明由(2),知当a1时,f(x)0在(0,)上恒成立,且f(x)在(0,1)上是增函数,f(1)0,所以ln xx1在x(0,1)上恒成立令xeq f(k,k1)(kN*),则lneq f(k,k1)eq f(k,k1)1eq f(1,k1),令k1,2,n,则有lneq f(1,2)eq f(1,2),lneq f(2,3)eq f(1,3),lneq f(3,4)eq f(1,4),lneq f(n,n1)eq f(1,n1),以上各式两边分别相加,得lneq f(1,2)lneq

6、 f(2,3)lneq f(n,n1)(eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n1),即lneq f(1,n1)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n1)(nN*)4已知函数f(x)aln xx2(a2)x.(1)当a1时,求函数f(x)的极小值;(2)当a1时,过坐标原点O作曲线yf(x)的切线,设切点为P(m,n),求实数m的值;(3)设定义在D上的函数yg(x)在点Q(x0,y0)处的切线方程为l:yh(x),当xx0时,若eq f(gxhx,xx0)0在D内恒成立,则称点Q为函数yg(x)的“好点”当a8时,试问函数yf(x)是否存在“好点”,若存在,请求出“

7、好点”的横坐标;若不存在,请说明理由解(1)当a1时,f(x)ln xx23x,f(x)2x3eq f(1,x)eq f(2x23x1,x)eq f(x12x1,x)(x0),当0 x0,f(x)单调递增;当eq f(1,2)x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)单调递增所以当x1时,f(x)取到极小值2.(2)当a1时,f(x)ln xx2x,f(x)2x1eq f(1,x)(x0),所以切线的斜率k2m1eq f(1,m)eq f(n0,m0)eq f(m2mln m,m),整理得m2ln m10,显然m1是这个方程的解,又yx2ln x1在(0,)上是增函数,所以方程x2ln x10

8、有唯一实数解,故m1.(3)当a8时,f(x)8ln xx210 x,f(x)2x10eq f(8,x),函数yf(x)在其图象上一点Q(x0,f(x0)处的切线方程h(x)(2x0eq f(8,x0)10)(xx0)xeq oal(2,0)10 x08ln x0.设F(x)f(x)h(x),则F(x0)0,F(x)f(x)h(x)(2xeq f(8,x)10)(2x0eq f(8,x0)10)eq f(2xx0 xf(4,x0),x),若0 x02,F(x)在(x0,eq f(4,x0)上单调递减,所以当x(x0,eq f(4,x0)时,F(x)F(x0)0,此时eq f(Fx,xx0)2,F(x)在(eq f(4,x0),x0)上单调递减,所以

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