压轴大题突破练-函数与导数(二)

1、压轴大题突破练函数与导数(二)1已知函数f(x)aln xbx2.(1)当a2，beq f(1,2)时，求函数f(x)在eq f(1,e)，e上的最大值；(2)当b0时，若不等式f(x)mx对所有的a0，eq f(3,2)，x(1，e2都成立，求实数m的取值范围解(1)由题意知，f(x)2ln xeq f(1,2)x2，f(x)eq f(2,x)xeq f(2x2,x)，当eq f(1,e)xe时，令f(x)0得eq f(1,e)xeq r(2)；令f(x)0，得eq r(2)0，h(a)在0，eq f(3,2)上单调递增，h(a)minh(0)x，mx对所有的x(1，e2都成立1xe2，e2

2、x1，m(x)mine2.2函数f(x)xln xax2x(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)若函数f(x)的图象在直线yx图象的下方，求a的取值范围；(3)求证：2 0132 0122 0122 013.(1)解f(x)ln x2ax.因为f(1)0，所以a0.(2)解由题意，得xln xax2xx，所以xln xax2eq f(ln x,x).设h(x)eq f(ln x,x)，则h(x)eq f(1ln x,x2).令h(x)0，得0 xe，所以h(x)在(0，e)上单调递增；令h(x)e，所以h(x)在(e，)上单调递减所以h(x)maxh(e)eq f(1,

3、e)，所以aeq f(1,e).(3)证明由(2)知h(x)eq f(ln x,x)在(e，)上单调递减，所以当xe时，h(x)h(x1)，即eq f(ln x,x)eq f(lnx1,x1)，所以(x1)ln xxln(x1)，所以ln xx1ln(x1)x，所以xx1(x1)x，令x2 012，得2 0122 0132 0132 012.3已知函数f(x)ln xax1.(1)若函数f(x)在点A(1，f(1)处的切线l与直线4x3y30垂直，求a的值；(2)若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：ln(n1)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n1)(nN*)(

4、1)解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)eq f(1,x)a.所以f(1)1a.所以切线l的斜率为1a.因为切线l与直线4x3y30垂直，所以1aeq f(3,4)，解得aeq f(1,4).(2)解若a0，则f(x)eq f(1,x)a0，f(x)在(0，)上是单调递增函数而f(1)1a0，f(x)0不恒成立，故a0.考虑a0，则当x(0，eq f(1,a)时，f(x)eq f(1,x)a0；当xeq f(1,a)，)时，f(x)eq f(1,x)a0.所以f(x)在(0，eq f(1,a)上是单调递增函数，在eq f(1,a)，)上是单调递减函数所以f(x)的最大值为f(eq f(1

5、,a)ln a.要使f(x)0恒成立，只须ln a0即可由ln a0，解得a1，即a的取值范围为1，)(3)证明由(2)，知当a1时，f(x)0在(0，)上恒成立，且f(x)在(0,1)上是增函数，f(1)0，所以ln xx1在x(0,1)上恒成立令xeq f(k,k1)(kN*)，则lneq f(k,k1)eq f(k,k1)1eq f(1,k1)，令k1,2，n，则有lneq f(1,2)eq f(1,2)，lneq f(2,3)eq f(1,3)，lneq f(3,4)eq f(1,4)，lneq f(n,n1)eq f(1,n1)，以上各式两边分别相加，得lneq f(1,2)lneq

6、 f(2,3)lneq f(n,n1)(eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n1)，即lneq f(1,n1)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,n1)(nN*)4已知函数f(x)aln xx2(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)的极小值；(2)当a1时，过坐标原点O作曲线yf(x)的切线，设切点为P(m，n)，求实数m的值；(3)设定义在D上的函数yg(x)在点Q(x0，y0)处的切线方程为l：yh(x)，当xx0时，若eq f(gxhx,xx0)0在D内恒成立，则称点Q为函数yg(x)的“好点”当a8时，试问函数yf(x)是否存在“好点”，若存在，请求出“

7、好点”的横坐标；若不存在，请说明理由解(1)当a1时，f(x)ln xx23x，f(x)2x3eq f(1,x)eq f(2x23x1,x)eq f(x12x1,x)(x0)，当0 x0，f(x)单调递增；当eq f(1,2)x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x1时，f(x)取到极小值2.(2)当a1时，f(x)ln xx2x，f(x)2x1eq f(1,x)(x0)，所以切线的斜率k2m1eq f(1,m)eq f(n0,m0)eq f(m2mln m,m)，整理得m2ln m10，显然m1是这个方程的解，又yx2ln x1在(0，)上是增函数，所以方程x2ln x10

8、有唯一实数解，故m1.(3)当a8时，f(x)8ln xx210 x，f(x)2x10eq f(8,x)，函数yf(x)在其图象上一点Q(x0，f(x0)处的切线方程h(x)(2x0eq f(8,x0)10)(xx0)xeq oal(2,0)10 x08ln x0.设F(x)f(x)h(x)，则F(x0)0，F(x)f(x)h(x)(2xeq f(8,x)10)(2x0eq f(8,x0)10)eq f(2xx0 xf(4,x0),x)，若0 x02，F(x)在(x0，eq f(4,x0)上单调递减，所以当x(x0，eq f(4,x0)时，F(x)F(x0)0，此时eq f(Fx,xx0)2，F(x)在(eq f(4,x0)，x0)上单调递减，所以