浙江省超级全能生2021届高三下学期3月联考数学试题

1、2021 浙江省“超全能生高考数学联试卷（3 月） 一、选题（共 10 题）1已知集合 P|24，Q|13，则 PQ（ ）Ax|23 Bx|23 Cx|2 Dx|32欧拉公式 cos+isine 自然底数，i 虚数单位）是瑞士数学家欧拉最早发现的是数学界最著名、最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数 ei 对应点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限在复平面内3若实数 x， 满足约束条件 ，则 z+2y 的取值范围是（ ）A3，2 B3，1 C2，+） D3，+） 4已知 ab 都大于零且不等于 1“log 1（1b1（aA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既

2、不充分也不必要条件）5已知函数 f（）ln|x|，其图象大致为（ ）ABCD6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A3 B2 C D7在直角坐标系中，已 O 坐标原点，（1）（1）点 P 满足 kPA3 且|PA|+|4，则|（ ）A B C D8已知离散型随机变量 ， 分布列为：1 2kPB1P1 3 5a b21 2 4 5P b a则下列说法一定正确的是（ ） AE（ ）（ ）1 2CD（ ）（ ）1 2BE（ ）（ ）1 2DD（ ）（ ）1 29如图，已知在 中，90，1，2，D 线段 BC 上一点，沿 AD将 翻转至 eq oac(,AB) eq oac(, )D若点

3、 B在平面 内的射影 H 恰好落在线段 AC 则二 面角 BA 正切的最大值为（ ）A B1 C D10设数列x 满足 x 2n n n2x ，nN n，且对于任意 x ，都存在正整数 使得 x1 nm，则实数 m 最大值为（ ）A B C2 D3二、填题：共 7 题，多空每小题 分，单空每小题 6 分，共 36 11函数 f（）cos2+sinxcos，则 f（）的最小正周期为 ，对称轴方程为 开式 1 2x 5 a a x+a 20 1 2 a x3+a x4 a x5，则 a ， 3 13已知圆内接四边 ABCD 边长 22 形 ABCD 的面积为 ， ，四边14已知直线 ：+（k0）与

4、圆 x+y 相切，且被圆（4）+y4 截得的弦长为 ，则 k ，b 15已知实数 x，y 足 x+yxy3，则 x24xy 的最大值为 16某次灯谜大会共设置 不同的谜题，分别藏在如图所示的 只灯笼里，每只灯 笼里仅放一个谜题并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题直到答完全部 6 谜题一名参与者一共有 顺序种不同的答题 已知非零向量的夹角为 ，若存在两不相等的正实数 ，使得1 2，则 12的取值范围为 三、解题：共 5 题，共 74 18已知锐角 中，sinA+bsincsin+bsin（）求 A；（）求 sinB+cosC 的取值围19如图，在三棱锥 P 中 PA

5、2AC1F 线段 BC 的中点已 知 AC，且二面角 PC 的平面角大小为 60（）求证：AC；（）求直线 PF 平面 PAC 所成角的正弦值20已知a b 分别是等差数列和等比数列 b 1 b 0且 a a N*n n 1 1 2 2 1 2（）若 a b ，a 等差数列，求a ，b 的通项公式；2 3 3 n n（）当 n2 时，证明： b n n21如图，已知点 A 别是椭圆 1 的左、右顶点，点 是椭圆 与1 2 1 1抛物线 C ：y 22px（0）的交点，直线 A ，A P 分别与抛物线 C 交于 ， 两点1 2 2（M， 不同于 ）（）求证：直线 MN 直 x 轴；（）设坐标原点

6、为 O分别记OPM， 的面积为 S S ，当OPA 为钝角时，1 2 2求的最大值22已知 a0，函数 f（） （）讨论函数 f（）的单调性；（）已知函数 f（）存在极值点 x x ，求证：f（x f（ 1 2 1 2参考答一、选题（共 10 题）1已知集合 P|24，Q|13，则 PQ（ ）Ax|23 Bx|2x3 Cx|2 Dx|3解：P|2x2Qx|1x3，PQx|12故选：C2欧拉公式 cos+isine 自然底数，i 虚数单位）是瑞士数学家欧拉最早发现的是数学界最著名、最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数 ei 对应点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解

7、：由题意得：ecos2+isin2，而 cos20，sin20，故点（cos2，sin2）在第二象限，故选：B在复平面内3若实数 x， 满足约束条件A3，2 B3，1 解：由约束条件作出可行域如图，则 z+2y 的取值范围是 ）C2，+） D3）由图可得，B（0，1），联立 ，解得 A1，1），作出直线 x+2y，由图可知，平移直 x+20 至 A z+2y 有最小值为，至 B ，z 有最大值为 2z+2y 的取值范围是3，2故选：A4已知 ab 都大于零且不等于 1“log 1（1b1（ ）aA充分不必要条件 C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件解：a， 都大于零且不等于 1，l

8、og b1log a，a a若 0a1 时，则 10，所以（a1）（1）0， 若 a1 时，则 a，所以（a1）（1）0，所以“log b1”可以推出（a1）（1）0”，满足充分性； a因为（a1）（1）0，所以 a1，1 或 0a，0b1， 只能推出 log b0，不能推出 b1，不满足必要性；a a所以“log b1”是“（1）（b1）0”的充分不必要条件 a故选：A5已知函数 f（）ln|x|，其图象大致为（ ）ABCD解：函数 f（）的定义域为（，0），+），函数 f（x）ln|x|（），所以函数 f（）为奇函数，故排除 BD，因为 f（1）0，（ ）ln ln20，故排除 C，故选：

9、A6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A3 B2 C D解：由三视图知几何体是一个三棱柱，且在一个角上截去一个三棱锥 CABD， 侧棱与底面垂直，底面是以 2 为边长的等边三角形，高为 ，且 D 中点，则 BD1，几何体的体积 V ，故选：Dkk7在直角坐标系中，已 O 坐标原点，（1）（1）点 P 满足 k PA3 且|PA|+|4，则|（ ）kPBA B C解：设点 P（，），A（1，0），（1，0）， k ，k ，PA PBD所以 k PAPB3，x 1，x0，又|PA|+|4，所以点 P 轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，所以 2a4，2，c，2ab3，椭圆方程为 + ，由

10、解得 ，则|OP| 故选：B8已知离散型随机变量 ， 分布列为：1 211 3 5P a b21 2 4 5P b a则下列说法一定正确的是（ ） AE（ ）（ ）1 2CD（ ）（ ）1 2BE（ ）（ ）1 2DD（ ）（ ）1 2解：由题意可得：a+ ，a，（0， ）E（ ）a+3 +5b2+4，1E（ ）b+2 +4 +52+4a，2由 a b 的大小关系不确定因此 E（ ）与 E（ ）大小关系不确定1 2（ ）2b2（324b2 1 （524）2bb120，E（ ）44，2D（ ） 4b） + （4 4b2） 2 + （4 b4 ） + 4b5 ）（ ）20 + （ ， ），D（ ）

11、（ ）1 2故选：D9如图，已知在 中，90，1，2，D 线段 BC 上一点，沿 AD 将 翻转至 eq oac(,AB) eq oac(, )D若点 B在平面 内的射影 H 恰好落在线段 AC 则二 面角 BA 正切的最大值为（ ）A B1 C D 解：过 H HM 于 ，连接 B，过 H HN ，连接 B，因为点 B在平面 内的射影是 H ，所以 B平面 ， 由三垂线定理知 BCD，N，所以B 二面角 BDC 的平面角，设B，则 90， 所以 AN1 cos）sin，ANAH cos，所以 AH tan，于是 B ，因为BAC90，1，BC2，所以 AC，30，又因为 HC所以 tanta

12、n，所以 HCsin30 （，tan），令tant，则 tan ，当 t故选：C时等号成立，所以二面角 A 的正切的最大值为10设数列x 满足 x 2n n n2x ，nN n，且对于任意 x ，都存在正整数 使得 x1 nm，则实数 m 最大值为（ ）A B C2 D3解：数列x 满足 x x 2n +1 n2x ，N* n，且对于任意 x ，都存在正整数 n 得1x m，n若数列x 是递增数列则 x x 2n +1 n2x x x 3 或 x 0，n n n n存在正整数 n 得 x ，n故需 m3，此时 最大值为 3，若数列x 是递减数列，则 x x 22x x 0 x 3， n +1

13、n n n n存在正整数 n 得 x n，故需 m0，此时 最大值为 0，综上可得：m 最大值为 3，故选：D二、填题：共 7 题，多空每小题 分，单空每小题 6 分，共 36 11函数 （x）cosx+sincosx，则 （）的最小正周期为 ，对称轴方程为x + ，（kZ） 解：因为 f（）cos2x+sincosx+ sin2 sin（2x+ ）+ ，所以函数的最小正周期 T，令 2x+ k+解得：x k+（kZ），（kZ），所以函数的对称轴方程为：x k+，（kZ）故答案为：，x k+ ，（Z） 二项展开式（ 1 2x 5 a a +a x0 1 2 a x3+a x4 a x55，则

14、a 80 ， 3 31 解：二项展开式（12x5a a +a xa x+a 4a 50 1 2 3 4 5，则 a ， 3令 x0，可得 0而且（1+2x）a +a +a x0 1 2+a x3+a x4+a x5，再令 x ，可得，1+故答案为：80；3132， 31，13已知圆内接四边形 ABCD 边长 BC22，CDDA 形 ABCD 的面积为 解：由于 B+180，则 cosBcos，由题设及余弦定理得，则 AC ，四边在 中，AC2+BC2ABBC cos54cosB，在 中，AC2+DC2ADDC cos14+14cosB，由得 cosB ，故 B120，D60， 则 AC 由于

15、B+180，sinBsin ，由以上的结果及题设，可知四边形 的面积 S +S ABABC ACDBC sinB+ ADCD sinD （12+ ） ，故答案为： ， 14已知直线 ：+（k0）与圆 x+y 相切，且被圆（4）+y4 截得的弦长为 ，则 k ， 解：由直线 l：+（0）与圆 x+y1 相切，得 ，又直线 l：kx+（k）被圆（x4）+y4 截得的弦长为，联立可得，故答案为： ，（k0），b2 15已知实数 x，y 足 x+yxy3，则 x24xy 的最大值为 5 【解答】解x+y3，x+yxy+3，又x+y|x|+|y|2|x|2|xy|xy+32|若 xy0 时，+32，3，

16、 xy0 时，+32，1 1xy3设 t，则 24t（t2）4，t1，3，当 t 时，S 945，maxS 最大值为 5故答案 516某次灯谜大会共设置 不同的谜题，分别藏在如图所示的 只灯笼里，每只灯 笼里仅放一个谜题并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部 谜题，则一名参与者一共有 60 顺序种不同的答题解：由题意可知，只需要同一列顺序为从下到上即可，一共 只灯笼， 第一步，从 6 个选 3 个，第二步，从 3 个选 个，最后回答剩下的哪一个，故有 C 3C 2C 16 3 160 种，故答案为：60 已知非零向量的夹角为 ，若存在两不相等的正实数

17、，使得1 2，则 12的取值范围为 （0， 3） 解：由即，可得，即设可得解得即，t0，或或 3； 1 2故答案为：（0， ，+）三、答题共 5 题， 74 解答应出必要文字说明、明过程或演步骤18已知锐角 中，sinA+bsincsin+bsin（）求 A；（）求 sinB+cosC 的取值围解：（）asin+bsincsin+sinBa+bc2+b即 b+cabc，得 cosA ，则 A ，（）sinB+cossinB+cos（B）sincos（+B）sinBcosB+ sin sinBcosB （sinB cosB）sin（B），三角形是锐角三角形，0BB+BB则，0C，C， ，AB，则

18、 sin sin（B）sin，即 sin（），则 sin（B ） ，即 sinB+cos 取值范围是（ ， ）19如图，在三棱锥 P 中，PA2AC1F 为线段 BC 的中点已知 AC，且二面角 PC 的平面角大小为 60 （）求证：AC；（）求直线 PF 平面 PAC 所成角的正弦值【解答】（1）证明：在平面 ABC 内，过 B 作 ，使 BD，取 BD 点 ， 连接 CD、，因为 PAAB+PC，所以 PB，所以 为二面角 AB 平面角，于是60， 又 PB1，所以 为正三角形，所以 PE，即 BD，因为 EF，所以 ，又因为 PE， 平面 ， 平面 ，所以 BD平面 ，又因为 PF 平面

19、 ，所以 BD，又因为 AC，所以 AC（2）解；建立如图所示的空间直角坐标系，PEPA sin60 ,因为 AB，所以 平面 ， 因为 AB 平面 ，所以平面 ABCD平面 ， 又因为 PE，平面 平面 ， 所以 PE平面 ABCD，所以点坐标如下：A(0,0,0),(0,0),C(1,0,0),( , ),F(),( , ,), ( , , ),(0, ,),设平面 法向量为 (,y,z),令 y1, (0,1,2),所以直线 PF 平面 PAC 所成角的正弦值为 20已知a b 分别是等差数列和等比数列 b 1 b 0且 a a N*n n 1 1 2 2 1 2（）若 a b ，a 等

20、差数列，求a ，b 的通项公式；2 3 3 n n（）当 n2 时，证明： b n n解：（）设等差数列a 的公差为 ，b 的公比为 ,则 d0, 且 1,n na b 1， b 即 1+d,1 1 2 2又 a b ，a 等差数列,可得 2b a , 2q 2 3 3 3 2 32+3d,解得 d ,q ,则 a 1 (n ；b ) n n1；（）证明：由 a b 1a b ，1 1 2 2即 1+d,d0,0 且 q1,则 n2 时，b 1n(1+d)11+Cd+C d+.+d11+(n1)a ,n所以当 n2 时，a n n21如图，已知点 A 别是椭圆 1 的左、右顶点，点 是椭圆 与1 2 1 1抛物线 C ：y 22px（0）的交点，直线 A ，A P 分别与抛物线 C 交于 ， 两点1 2 2（M， 不同于 ）（）求证：直线 MN 直 x 轴；（）设坐标原点为 O分别记OPM， 的面积为 S S ，当OPA 为钝角时，1 2 2求的最大值解：（）证明：根据题意可得 A (2,0), 1 2设 P(x y M(x ,y N( y ),0 0 1 1 2 2则直线 A 1y2，联立 ,消去