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1、初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 专题26 分而治之 分类讨论 阅读与考虑 在解决某些数学问题的时候,需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准,分成若干类,然后逐类讨论,才能得出正确的解答,这种解题方法称为分类讨论法 运用分类讨论法解题的关键是怎样正确进行分类正确分类的标准是:对所讨论的全体分类要“既不重复,又不遗漏;在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行;对于多级讨论,应逐级进行初中数学分类讨论问题的常见形式有: 1一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制,在使
2、用经过中必须讨论; 2题设条件中含有变量或参数时,必须根据变量或参数的不同取值进行讨论; 3一些问题的图形位置或形状不确定时,只要通过讨论,才能保证结论的完好性; 4一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时,只要通过讨论,才能保证解答的严密性; 5对于自然数问题,有时须按剩余类分类讨论 例题与求解 【例1】如图,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB 只要一个公共点,则R的取值范围是北京市宣武区中考试题 解题思路:圆与斜边只要一个公共点,则圆与斜边相切或圆与斜边相交 【例2】解方程:x2+x+3=x+10 解题思路:解绝对值方程的关键是去方程左边的
3、绝对值符号,这就要对x的取值范围进行分类讨论需分下列三种情况:x3;3x2;x2 【例3】若关于x的方程(6)(9)2(11715)x+54=0的解都是整数,则符合条件的整数k的值有 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 _ 全国初中数学竞赛试题 解题思路:用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、二次方程两种情形讨论,这样确定k 的值才能全面而准确 【例4】如图,已知ABC 中,AB =5,BC =3,AC =4,PQ AB ,P 点在AC 上与点A ,C 不重合,Q 在BC 上 (1)当PQC
4、 的面积与四边形PABQ 的面积相等时,求CP 的长; (2)当PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时,求CP 的长; (3)试问:在AB 上能否存在点M ,使得PQM 为等腰直角三角形?若不存在,请扼要讲明理由;若存在,请求出PQ 的长 福州市中考试题 解题思路:对于(3),使PQM 为等腰直角三角形有两种情况:一是以PQ 为直角边,二是以PQ 为斜边 【例5】证实:每个大于6的自然数n 都可表示为两个大于1且互质的自然数之和全国初中数学联赛试题 解题思路:由于自然数可分为奇数、偶数两大类,因而,很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论 【例6】设a 和b 是相异实数,证实:存在整数m 和n
5、,使得0+bn am ,0 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 解题思路:a,b为相异实数,则必有ab0或ab 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 9关于x的方程2+4m+ 4m2+2m+3=0,2+(2m+1)x+m2=0中,至少有一个方程有实数根,则m的取值范围是( ) A3 2 m 1 4 Bm 3 2 或m 1 4 C1 4 m 2 1 Dm 3 2 或m 2 1 四川省选拔赛试题 10如图,由25个点构成的55的正方形点阵中,横纵方向相邻的两
6、个点之间的距离都是1个单位定义:由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形,图中以A,B为顶点,面积为2的阵点平行四边形的个数为( ) A3个 B6个 C7个 D9个 武汉市四月调考试题 11如图,矩形ABCD中,AB=7,AD=3,BE=2EC,若F是AB上的点,使以F,A,D为顶点的三角形和以F,B,E为顶点的三角形类似,则这样的点F有( ) 绍兴市竞赛试题 A1个 B2个 C3个 D4个 12下面是某同学在一次测验中解答的填空题: 若2=a2,则=a 方程2(1)=1的解为=0 若直角三角形有两边长分别为3和4,则第三边长为 5 其中答题完全正确的题目个数为( ) A0个B1个C2
7、个D3个 重庆市中考试题 13在半径为5cm的圆内有长为53 cm的弦,则此弦所对的圆周角为( ) A60或120B30或120C60D120 14如图,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3假如边AB上的点P使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形类似,那么这样的点P有 ( ) A1个B2个C3个D4个 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 B A B C A D 第14题图 第15题图 15如图,菱形ABCD 的边长是5,两条对角线交于O 点,且AO ,BO 的长分别是关于x 的方程2 +(
8、2m 1)x +m 2 +3=0的根,则m 的值为 ( ) A 3 B 5或3 C 5 D 5或3 吉林省中考试题 16已知:关于x 的函数() ()4 1 1232 2 + +=x a x a a y 的图象与x 轴总有交点,求a 的取值范围 十堰市中考试题 17如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,正方形OABC 的边OA ,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为(2,2),反比例函数x k y =0,0的图象经过线段BC 的中点D (1) 求的值; (2) 若点P (,y )在该反比例函数的图象上运动不与点D 重合,过点P 作PR y 轴于点R ,作PQ BC 所在直线于点Q
9、 ,记四边形COPR 的面积为S ,求S 关于的解析式并写出的取值范围 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 18已知ABC 中,BC =6 cm ,CA =8 cm ,C =90,动点P 从点C 出发,以每秒1 cm 的速度沿CA , AB 运动到B 点 (1)设P 从C 开场运动的距离为 cm ,BCP 的面积为y cm 2 ,把y 表示成x 的函数; (2)从C 出发几秒时,S BCP = 1 4 S ABC ? 荆州市中考试题 19如图,已知O 1与O 2外切于点O ,以直线O 1O 2为轴,点O 为坐标原点建立直角
10、坐标系,直线AB 切O 1于点B ,切O 2于点A ,交y 轴于点C (0,2),交轴于点M ;BO 的延长线交O 2于点D ,且OB :OD =1:3 (1) 求O 2的半径长; (2) 求直线AB 的解析式; (3) 在直线AB 上能否存在点P ,使MO 2P 与MOB 类似?若存在,求出P 点坐标;若不存在,讲明理由 吉林省中考试题 y x C M A O O 1O 2 B D 20已知抛物线l 1:y =a 2 2am +am 2 +2m +1(a 0,m 0)的顶点为A ,抛物线l 2的顶点B 在y 轴上,且抛物线l 1和抛物线l 2关于点P (1,3)成中心对称 (1) 当a =1
11、时,求l 2的解析式和m 的值; 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 (2) 设l2与x轴正半轴的交点是C,当ABC为等腰三角形时,求a的值 浙江省竞赛试题 21已知定理:“若三个大于3的质数a,b,c知足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数,试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证实你的结论 全国初中数学联赛试题 22假如对一切的整数值,的二次三项式a2+b+c都是平方数即整数的平方,证实: (1) 2a,2b都是整数; (2) a,b,c都是整数,并且c是平方数 反过,假如(2)成立,能否对一切的整数值,a2+b+c的值都是平方数? 全国初中数学竞赛试题 232 007个质点均匀分布在半径为R的圆周上,依次记为P1,P2,P3,P2007小明用红色按如下规则去涂这些点:设某次涂第i个质点,则下次就涂第i个质点后面的第i个质点按此规则,小明能否 初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之精品 初中九年级数学竞赛培优讲
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