时间序列修改后异方差

1、21 异方差时间序列模21.0 21 异方差时间序列模21.0 自回归模型进展概述严平稳随机序列Yt, 且 EYt,于是就可定义条 件期望(或条件均值): 用条件期望性质(1)(本文标号)可有依条件期望的性质(2)=EYt记误差(或残差etYt-(Yt-1,Yt-用21.0.121.0.2式必有Eet =EYt-(Yt-1,Yt-(0-均值性(中心化(用性质(2): EX=EEXYt-1,Yt-2, )(用性质(3)EXYt-1,Yt-2,)Yt-1,Yt-=(Yt-1,Yt-2,)EXYt-1,Yt-XYt-Yt-1,Yt-2(Yt-1,Yt-2,)-再用21.0.1)即有et 的条件均值与

2、条件方差为了符号简便, 以下记Ft-1=Yt-1,Yt-首先考虑et 的条件均值E(etFt-1)=EYt-(Yt-1,Yt-2,)Ft-=E(YtFt-1)-E(Yt-1,Yt-2,)Ft-=(Yt-1,Yt-2,)-(Yt-1,Yt-(第一项依21.0.1, 第二项依性质(3)和再看条件方差 (注意此处严格按定义写表达式=Eet Ft-2=Eet Ft-2(用21.0.7式(用性质此处 S2(Yt-1,Yt-2,)为条件方差函数, 这里也是依性质(1)才有此表示. 注意, et的条件均值是零, 条件方差是非负的函数 S2(Yt-1,Yt-2,), 它不一定是常数!, Yt=(Yt-1,Yt

3、-其中( Yt-1,Yt-2,)被称为自回归函数, 不一定是线性的. 可称为新息序列, 与前面出现的线性模型的新息序列不同除非Yt是正态序列. 顺, 满足21.0.4式的et为鞅序列, 称它为鞅差序列, 因为对它的求和是离散的鞅序列由于Yt是严平稳随机序列, EYt0. 限制00, 是为了保证型21.1.2有平稳解! 否则, 若0=0, 考查如下 ARCH(1) 模将它代入21.1.5式t=(1yt-1 2 2yt-1 将它两边平yt =1yt-1 t 将它两边平yt =1yt-1 t 将它两边取对数log(yt )=log(1)+log(yt-1 )+log(t xt=log(yt ), c

4、=log(1t=log(t )(仍为i.i.d.序列), 上式xt=c+xt-1+这不是熟悉的一元 AR(1)模型吗? 而且不满足平稳性条件,所以, 没有平稳解.限制tN(0, 1), 而不是tN(0, 2), 是标准其三所要求其四, 为使ARCH模型有平稳解, 对系数还要加限制. 较早的限制(也是较强)在此条件下, 不仅有平稳解, 还有有穷二阶矩. 后来, 也有人放宽条件, 只保证有平稳解, 不保证有有穷二阶矩. 所有这些结果的推理, 都要用到非线性时间序列分析的新成果.其五ARCH 模型的不同表述. Engle(1982)首次先提ARCH模型时, 使用了如下叙述ytyt-1,yt-2,y1

5、 N(0, ht), ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p ,2易见, 21.1.5与21.1.5是等价的其六ARCH 模型的变形. 一种变其六ARCH 模型的变形. 一种变形方式是仿式的做法, 即将21.1.5式两边平方, 再将21.1.6式代入yt =htt =(0+1yt-1 +2yt-2 +pyt-p =(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p )(1+t -=0+1yt-1 +2yt-2 +pyt-+(t -1)(0+1yt-1 +2yt-2 +pyt-p =0+1yt-12+2yt-2 +pyt-p +ht(t -=0+1yt-12+2yt-2 +pyt-p +对序

6、列yt 而言, 此式很像线AR(p), wt=ht(t -1)一个平稳的鞅差序列. 此式恰好是(21.1.5)式! 书中(p80010-p80119) 所作的解释和说明欠准确不和2ARCH模型的本义. 况且, 从原理上来说, 得到了yt 的解还不能说就得到了原序列yt的解. 好在只关心yt 2条件方差时, 只用yt 的解也够了. 不过, 用(21.1.5)式讲ARCH 模型, 对初学者容易产生误解. 用推导出的21.1.9式作为一种变形方式, 是严格的, 而且, 也可放心地使用它所谓使用它, 就是将原数据平方后得到: y12 , , , yT , 它们AR(p)模型, 便得到参数0,1,p的一

7、种估计.如果对yt =htt 两边取对数log(yt )=log(ht)+log(t =log(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p )+log(t xt=log(yt ), c=Elog(t ), t=log(xt=log(yt ), c=Elog(t ), t=log(t )-c, 于是上式可x(t)=c+log(0+1ex(t-1)+2ex(t-2)+p ex(t-p)+ t. 21.1.10于是又得到一种变形. 此式是关于序列x(t)的非线性自回归模型, 注意, 上式中的序列ti.i.d.的. 此外, ARCH模型还有别的表示方法, 不再一一介绍了.其七, 根据数y1,y2,yT

8、, 要作自回归条件异方差模型的统计分析, 包含两项内容, 首先是用假设检验方法, 判别这些数据是否有条件异方差条件性, 即, S(yt-1, yt-2, )=常数? 如果是否定回答, 第二项内容就是对ARCH模型未知参数的估计. 欲知检验方法, 请查阅有关文献, 或见此书 (p8083-p80813)提供的较早出现的检验方法. 欲知参数的估计方法, 可参看Hamilton的书(p8033-21.2GARCH(GeneralizedARCH) 模型Engle(1982)提出ARCH模型后, 受到应用者的关注特别是金融界. 稍后几年, 也被时间序列分重视. 从前面对新息列et限制条件的放宽过程可见

9、, 提出ARCH模型, 无疑是对时间序列分析理论和应用研究有开拓性的意义. ARCH模型的理论研究和应用中, 人们 会发问: 在21.1.6式中, yt 的条件方差 S(yt-ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p , 只依p 个历史值, 能2考虑依赖全部历史值的情况? Bollerslev(1986)给出了回答如下的更广的模型, GARCH模型yt=S(yt-1,yt-2,如下的更广的模型, GARCH模型yt=S(yt-1,yt-2,)t200,i0,j0,其中ti.i.d.N(0,1)分布, 且t与yt-1yt-2独立对此 GARCH 模型作如下说明其一, 利用第三章反复使用的

10、模型迭代法, 由21.2.2式知htS(yt-1yt-2确实依赖序列的全部历史值. 尽此依赖函数被有限参数所确定其二, 1997经济学奖, 被两位定理论的Black-Scholes 方程的学者获得. 从理论上人们发现Black-Scholes方程的解是连续时间变化的随机过程, 对它间散化采样序列, 恰好满足 GARCH 模型. 于是GARCH模型更被认可, 而且, 金融界特偏爱GARCH模型其三, 如前所述21.2.3式的条件00, 仍不能放宽00. 而且, 21.2.3式中的条件 i0, i=1,2,p, 还应附加一个限制: 1+2+ p0, 否则, i=0 (i=1,2,p). , 一个潜

11、在原因是: 应用者默认p1,且文献其四, 与对ARCH 模型的说明中的其四很类似. 为模型有平稳解对系数i(i=1,2,p)和j=1,2,q. 还要加限制. 较早的限制(也是较强)j=1,2,q. 还要加限制. 较早的限制(也是较强)1+p+1+q在此条件下, 不仅有平稳解, 还有有穷二阶矩. 其余ARCH情况相同, 从略其五, 统计问题. 与对ARCH模型的说明中的其六很类似. 但是, 它比ARCH 模型要复杂, 此书也只提供了较早的21.3 其它扩展模-ARCH模型从前面的平稳性条件来看, 所有人都会感到太苛刻了.特别当p或q较大时, 每个i和j都小得很. 实用受限制. 于是有如下模型出现

12、, 即将21.1.6式改为ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-其中01, =1时就是ARCH模型, 1时, -模型它不需要21.1.8式,也有平稳解(p81411-17). 同理可推广出-GARCH模型指数GARCH模型以上-ARCH 模型克服了21.1.8式的条件太强的缺点但是, 约束条件i0, 也, 因为它导致数估计算法的复交杂性. 于是, 有人log(ht)(其优点见 p812-多元ARCH(其优点见 p812-多元ARCH模型在金融领域, 多元序列有广泛的实际背景, 因此他关心多元ARCH和GARCH模型. 而且特别关心不同量之的条件相关系数. 这就要设及如何定义此类模.为实际使用此模型, 要使用半拉直运算, 即将对称方阵的对交线和上半部分的元素列成向量. 用记号 Xt=vech(YtYt表示. 于是, 按照GARCH模型的形的推广, 多元GARCH可写YtYt-1,Y