Ch3 量子力学导论

1、原子物理第三章 量子力学导论1历史关键人物19世纪末20世纪初：电磁理论、量子理论、相对论人物：维恩（1893）、瑞利-金斯、普朗克（1900）、赫兹、爱因斯坦、德布罗意、康普顿(1923）、玻尔（1913）、海森堡、薛定谔、狄拉克、费曼、施温格、朝永振一郎2N.玻尔、M.玻恩、 W.L.布拉格、L.V.德布罗意、A.H.康普顿、M.居里、P.A.M 狄喇克、A.爱因斯坦、W.K.海森堡、郞之万、W.泡利、普朗克、薛定谔 等 第五次索尔维会议与会者合影(1927年)3事件：里程碑黑体辐射（维恩、普朗克，1911，1918）光电效应（赫兹、爱因斯坦1905，1921）玻尔氢原子理论（1913，1

2、922）康普顿效应（1923，1927）德布罗意-波粒二象性（1924，1929）不确定关系（海森堡1927，1932）波函数薛定谔方程（1926，1933）不相容原理（泡利 1925，1945）密度矩阵和量子统计等（朗道 1962）电子自旋、传播子（狄拉克1933、费曼1965等）43.1 物质的波粒二象性一、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波 20世纪初，光量子 -光的波粒二象性 5德布罗意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960) 德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于

3、用历史的观点，用对比的方法分析问题。 1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文关于量子理论的研究中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。 爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。德布罗意波 实物粒子的二象性6二、德布罗意假设一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的波动性。这种波称为德布罗意波，也叫物质波。德布罗意公式如速度v=5.0102m/s飞行的子弹，质量

4、为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为：如电子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为：太小测不到！X射线波段7德布罗意物质波思想起源1.X射线的研究:布拉格认为X射线是粒子劳厄提出X射线是波长极短的电磁波 X射线时而像波,时而像粒子的奇特性质引起了许多人的关注,德布罗意认为:波和粒子必定总是结合在一起.2.接受相对论和光量子学说,特别是1923年4月compton效应发现以后,使他对光子概念的认识更加深入、清晰。81923年9月24日，第二篇论文光量子、衍射和干涉1923年10月8日第三篇论文量子、气体运动理论及费马原理1924年完成了博士论文量子理论的

5、研究，11月25日通过答辩，1925年发表在物理杂志上，该论文对他一年来的工作提出了系统的有逻辑性的报告，完整地阐述了他的物质波理论及应用1923年9月10日，发表第一篇关于物质波的论文辐射波和量子提出了实物粒子也具有波粒二象性物质波概念的提出物质波思想的影响：1、具有独创性和非凡的技巧；2、提出用晶体对电子的衍射来验；3、得到了爱因斯坦的高度评价；4、量子力学是物质波思想的直接影响下的一个丰硕成果.9电子驻波例题1：从德布罗意波导出氢原子波尔理论中的角动量量子化条件。德布罗意把原子定态与驻波联系起来，即把能量量子化与有限空间驻波的波长和频率联系起来。如电子绕原子一周，驻波应衔接，所以圆周长应

6、等于波长的整数倍。再根据德布罗意关系得出角动量量子化条件10三、德布罗意假设的实验验证 1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。1实验装置 11 2实验结果(1)当U不变时，I与的关系如图不同的，I不同；在有的上将出现极值。(2)当不变时，I与U的关系如图当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化123实验解释 晶体结构：13当 时加强-布拉格公式。 波程差：14实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、中子、质子等都具有波动性。 可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。 对于通过电压U加速的电子：当U

7、不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值 当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大值。15观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie-1993 16汤姆逊实验1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属箔后射到照相底线上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。电子通过狭缝的衍射实验：1961年，约恩孙 (Jonsson)

8、制成长为50um，宽为0.3um ，缝间距为1.0um的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。17中子衍射射线衍射X18X射线经晶体的衍射图电子射线经晶体的衍射图19由于电子波长比可见光波长小10-310-5数量级，从而可大大提高电子显微镜的分辨率。1932年，德国的鲁斯卡研制成功电子显微镜。我国已制成80万倍的电子显微镜，分辨率为14.4nm.n， 能分辨大个分子有着广泛的应用前景。四、应用举例1、电子显微镜2、扫描隧道显微镜1981年，德国的宾尼希和瑞士的罗雷尔制成了扫描隧道显微镜，他们两人因此与鲁斯卡共获1986年的诺贝尔物理学奖金。其横向分辨率

9、可得0.1nm，纵向分辨率可得0.001nm ，它在纳米材料、生命科学和微电子学中起着不可估量的作用。20例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长(1) 质量100g, v = 10ms1运动的小球。(2) 以 2.0 103ms 1速度运动的质子。(3) 动能为 1.6 107 J 的电子21练习题:1.在B=1.2510-2T的匀强磁场中沿半径为R=1.66cm的圆轨道运动的粒子的德布罗意波长=.2.运动速率等于300K时方均根速率的德布罗意波长是.氢原子质量m=1.6710-27kg,玻尔兹曼常数k=1.3810-23JK-1223.已知第一玻尔轨道的半径为a,当氢原子中电子沿第n玻尔轨道

10、运动时,其相应的德布罗意波长是.4.能量为15ev的光子,被处于基态的氢原子吸收,使氢原子电离发射一个光电子,此光电子的德布罗意波长为.23海森伯（W. K. Heisenberg，1901-1976） 德国理论物理学家。他于1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，而于25岁时提出的不确定关系则与物质波的概率解释一起奠定了量子力学的基础。为此，他于1932年获得诺贝尔物理学奖金。不确定关系243.2 测不准原理25薛定谔设想对一个放射性原子核及一只猫在一个密封的盒中,再放一个侦察器,只要这个侦察器一探察到原子核衰变就立即放出毒气,把猫杀死.根据哥本哈根阐释,你不打开盒子,原子核的衰变处于半

11、衰变半不衰变的状态,而导致毒气在放于不放之间,猫的性命也处于死与不死之间,直至有人打开盒子,猫才会从重叠状态中变成生猫或者死猫.薛定谔猫26另一个实验和盒中猫差不多,不过这次我们用两只猫,这两只猫各自被放上两支火箭,火箭上什么所需都有,也有一样的残忍装置,而这两支火箭被一条管连住,管里面有一个放射性原子,在某一刻,管被切断,放射性原子被随机分到一支火箭上,除非有人打开火箭,否则放射性原子同时处于两支火箭,所以两只猫都是处于半生半死的状态,火箭背向飞行,一架去到大麦哲伦云,一架去到仙女座大星系,假设大麦哲伦外星人打开火箭，见到是一只死猫,在同一时刻,仙女座大星系的猫就立即从重叠状态复苏,它是一只

12、生猫.薛定谔强调不能接受盒內的是一只又是生又是死的猫. 薛定谔猫27（uncertainty relation） 经典粒子运动轨道的概念在多大程度上适用于微观世界？ 海森伯（Heisenberg）于1927年根据对一些理想实验的分析和德布洛意关系得出“不确定关系”： 粒子在同一方向的坐标和动量不能同时确定:：动量不确定范围xp：坐标不确定范围x测不准关系28粗略的表示：海森堡严格推出：一、测不准关系的表述和含义29二、测不准关系的简单导出1、单峰衍射30海森堡严格推出：31能量和时间也是一对共轭物理量,有:简略推导如下:32 不确定关系是微观粒子固有属性波粒二象性决定的，与仪器精度和测量方法的

13、缺陷无关。不确定关系是海森伯(heisenberg)1926年提出的。他根据一些假想实验的分析，首先得出关系式 。后来玻恩按照波函数的统计解释给出严格证明，使其表述更为确切，从而和状态叠加原理一起，成为量子力学的两个基本原理。 33科学史上的“宿命论”科学理论，特别是牛顿引力论的成功，使得法国科学家拉普拉斯侯爵在19世纪初论断，宇宙是完全被决定的。他认为存在一组科学定律，只要我们完全知道宇宙在某一时刻的状态，我们便能依此预言宇宙中将会发生的任一事件。例如，假定我们知道某一个时刻的太阳和行星的位置和速度，则可用牛顿定律计算出在任何其他时刻的太阳系的状态。这种情形下的宿命论是显而易见的，但拉普拉斯

14、进一步假定存在着某些定律，它们类似地制约其他每一件东西，包括人类的行为。 34测不准原理表明：同时严格 确定两个共轭变量（例如， 位置和速度）的数值是不可 能的，它们的数值的准确度 有个下限。这是一条自然定律。它说明，在原子层次上，同时得到一个粒子的位置和速度的严格准确的测量在原则上是不可能的。 35 不要试图更好的从逻辑上去理解量子力学.因为其本身就是不可以用逻辑解释的36例题1：一颗质量为10g的子弹，具有200m/s的速度，动量的不确定量为0.01%，问在确定该子弹的位置时，有多大的不确定范围？ 解：子弹的动量为子弹的动量的不确定量为由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为这个不确定

15、范围是微不足道的，可见不确定关系对宏观物体来说，实际上是不起作用的。37例题2：一电子具有具有200m/s的速率，动量的不确定量为0.01%，问在确定该电子的位置时，有多大的不确定范围？解：电子的动量为子弹的动量的不确定量为由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小。在这种情况下，电子位置的不确定范围比电子本身的大小要大几亿倍以上。38例3.电子显像管中电子加速电压10kv,枪口直径0.01cm,电子射出后横向速度不确定量?原子线度10-10m,原子中电子速度不确定量?解: 显像管中的电子经10kv电压加速原子中的电子 玻尔理论电子轨道运动速

16、度v 106m/s, 原子中谈电子的运动速度、位置已无意义,也无确定的轨道,波动性显著的电子只能以各处出现的几率来描述其所处的状态.电子横向速度的不确定量可忽略39例4.光子波长300nm,若测长精度/=10-6, 求光子位置的不确定量?解:40三、不确定关系的应用：举例 1、估算氢原子可能具有的最低能量电子束缚在半径为r 的球内，所以按不确定关系当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：代入上式得：41基态能应满足：由此得出基态氢原子半径：基态氢原子的能量：与波尔理论结果一致。本例还说明：量子体系有所谓的零点能。422、解释谱线的自然宽度原子中某激发态的平均寿命为普朗克能量子假说不确定关系

17、谱线的自然宽度它能解释谱线的自然宽度。433.3 波函数及其物理意义44如何理解物质粒子的波动性？开始有二种典型理解：一个实物粒子看成一个波包。问题：波包会扩散；电子衍射，电子不可分。实物粒子看成疏密波。波包说夸大了波动性一面。 问题： 电子衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。45(2)入射弱电子流，长时间积累形成干涉条纹。(1)入射强电子流，一次性形成干涉条纹；124647一、波函数 概率密度1、平面简谐波的波函数一个频率为n ，波长为l 、沿x方向传播的单色平面波的波函数为复数形式482、自由粒子的波函数一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率和波长：波函

18、数可以写成493、波函数的统计解释某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。概率密度波函数(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率，即| 2 代表概率密度。波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。k加速电场单缝105个2104个10个E50t时刻，xx+dx、yy+dy、zz+dz、的体元 内发现粒子的几率： 表示t时刻、（x、y、z）处发现粒子的几率密度。1.波恩的波函数几率解释

19、是量子力学基本原理之一2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率3.单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验注：51 2归一化条件由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的总几率应当为1：4、波函数的标准条件及归一化1波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几率在某处不发生突变。523.4 薛定谔波动方程参考阅读：哈密顿原理，拉格朗日方程53一、薛定谔波动方程的建立 经典力学（质点） 量子力学(微观粒子) 特点 粒子性 波粒二象性 运动情况 沿轨道运动 无轨道 状态描述 坐标(r)和动量(p) 波函数 由初态求末态 牛

20、顿方程 薛定谔方程 运动方程 ？54对x、y、z分别求二次偏导：一、薛定谔方程的建立1自由粒子的薛定谔方程对t求一次偏导：55自由粒子的薛定谔方程。 三者相加：拉普拉斯算符：自由粒子: 56则有： 处在以势能表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程2一般粒子的薛定谔方程57二、定态薛定谔方程能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能 中不显含时间t，将其代入方程：E为一常数波函数分离变量： 58 解出：定态波函数1定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量2定态中粒子的几率密度不随时间变化3 定态薛定谔方程59如果 是方程的解，那么它们的的线性组合 也

21、是方程的解， 为任意常数。即如果 是体系可能的状态，那么它们的的线性组合 也是体系一个可能的状态 4态迭加原理603具体的势场 决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数 的具体形式，只要我们知道了微观粒三、薛定谔方程的讨论1薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 在势场 中随时间变化 的规律。2薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果相一致来得到证明。61 子初始时刻的状态 。原则上说，只要通过薛定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 。4薛定谔方程中有虚数单位i，所以 一般是复数形式。 表示概率波， 是表示粒子在时刻t、在空间某处出现的概率。因而薛

22、定谔方程所描述的状态随时间变化的规律，是一种统计规律。625在薛定谔方程的建立中，应用了 ，所 以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 的粒子，这是方程的局限性。63例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为 这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？ 解：由于粒子做一维运动，所以有 由于势能中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。方程的解为定态解因此一维定态薛定谔方程为641方程的通解(1) 所以波函数为零，即粒子不可能跑到阱外去，(2) 时， ， 方程为 令 二阶齐次微分方程，它的通解为式中A、B为两常数。 652常数的确定及能量量子化根据波

23、函数的标准条件，波函数应连续， ，( ？)当时，表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。66波函数的归一化： 能量是量子化的 3讨论(1)能量不能任意取值，束缚在一维无限深势阱中的粒子的能量是量子的。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出的，不用再做量子化的假定。67(2)波函数的物理意义处在不同能级的粒子，在势阱中的几率分布不同。(3)实际意义：金属内的自由电子，可看成在势阱中运动的粒子。 68 例2 势垒贯穿 粒子受到的势能为： 计算粒子在三个区出现的几率。粒子具有的能量为E， 解：设粒子在I、II、III区的波函数分别为 ，它们满足的薛定谔方程为： 令 69方程的解为：根据波函数

24、的连续条件和归一化条件可以确定常数，结果如图： 70可见，虽然， 粒子仍可以穿过II区进入III区，这种贯穿势垒的效应称为隧道效应。粒子从I区到III区的几率为 71扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling MicroscopySTM)STM原理 . 0.1nm, 0.01nm1986年，宾尼博士和罗雷尔与发明电子显微镜的鲁斯卡获诺贝尔物理学奖。 72733.6 氢原子的量子力学处理一、氢原子的薛定谔方程电子在原子核的库仑场中运动： 定态薛定谔方程： 氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系： 氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程： 74二、分离变量1 代入方程，并用 乘以两边： 是一

25、个与 无关的常数。 径向方程：角方程：752 代入方程，并用 乘以两边： 是一个与 无关的常数。 76三、 三方程的解1 方程的解方程的解为：波函数单值： 波函数归一化：772 方程的解关联勒让德方程。求解过程中发现，为了得到符合波函数标准条件的解，必须对 和 加以限制：方程的解为关联勒让德多项式： 783 方程的解关联拉盖尔方程，方程的解为关联拉盖尔多项式 玻尔半径只要给出了 、 的一对具体的数值，就可以得到一个満足标准条件的解。 79四、H原子的波函数对应一组量子数 ，就能给出 波函数的一个具体形式，因此 确定了原子的状态。80当 时， 取任何值都能使R满足标准条件的 解。所以正值的能量是连续的，相当于自由电子 与H+离子结合为原子时释放的能量。 3.6 .2 量子力学对氢原子运动状态的描绘一、量子数 的物理意义1主量子数 与能量量子化当 时， 能量是量子化的，自然得出。81 2角量子数 和角动量角子化 角动量是量子化的，自然得出。 旧量子论： 当角动量很大时， ， , 二者一致， 所以玻尔理论给出了