常微分方程讲稿

1、关于常微分方程1第一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月26.1 线性微分方程组的一般理论第二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月3一阶线性微分方程组:称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.非齐次线性微分方程组 (1)则式（1）变为(2)称式（1）为第三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月4一 齐次线性微分方程组1 叠加原理定理1证明:则有所以如果是方程（2）的m个解,则它们的线性组合也是方程(2)的解，这里 是任意常数。由于是方程（2）的m个解第四张，PPT共四十三页，创作于2022年6月52 函数向量组线性相关与线性无关定义 设是一组定义在区间a,b上的函数列向量，如果存在

2、一组不全为零的常数使得对所有 ，有恒等式则称在区间a,b上线性相关；否则就称这组向量函数在区间a,b上线性无关。第五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月6证明:例1证明:函数向量组在任何区间都是线性相关的.第六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月7例2证明:函数向量组证明:要使第七张，PPT共四十三页，创作于2022年6月8则需因为所以故线性无关.第八张，PPT共四十三页，创作于2022年6月93 函数向量组线性相关与无关的判别准则(1) Wronsky行列式由这n个向量函数所构成的行列式称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式第九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月1

3、0(2)定理2证明:第十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月11(3)定理3证明:“反证法”则现在考虑函数向量由定理1知,如果（2）的解线性无关，则它们的Wronsky行列式第十一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月12由(3)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾注1:注2:第十二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月13(4)定理4一阶微分方程组(2)一定存在n个线性无关的解.证明:由解的存在唯一性定理知,(2)一定存在满足初始条件且第十三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月144 通解结构及基本解组定理5证明:由已知条件,第十四张，PPT共四十三页，创作于202

4、2年6月15又因为第十五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月16即它们构成n维线性空间的基,现在考虑函数向量由定理1知,由(4)知,因此,由解的存在唯一性定理,应有即第十六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月17推论1(2)的线性无关解的最大个数等于n。基本解组:一个基本解组。注1:齐次微分方程组(2)的基本解组不唯一。注2:齐次微分方程组(2)的所有解的集合构成一个n维线性空间。注3: 由n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去。第十七张，PPT共四十三页，创作于2022年6月18推论2第十八张，PPT共四十三

5、页，创作于2022年6月195 解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义则称这个矩阵为齐次微分方程组(2)的解矩阵。则称该解矩阵为(2)的基解矩阵。基解矩阵以基本解组为列构成的矩阵。第十九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月20注:这里C是确定的N维向量空间第二十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月21例3验证是方程组基解矩阵.解:由于又由于第二十一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月22证明:第二十二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月23证明:于是有由此可得第二十三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月24即有例4验证是方程组的基解矩阵,并求其通解。解:第二十四张，PP

6、T共四十三页，创作于2022年6月25又由于其通解为第二十五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月26二 非齐次线性微分方程组1 非齐线性微分方程组解的性质性质1性质2第二十六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月27性质32 通解结构定理定理6这里C是确定的常数列向量。证明:由性质2知,即这里C是确定的常数列向量。第二十七张，PPT共四十三页，创作于2022年6月283 常数变易公式则(2)的通解为其中C是任意的常数列向量,下面寻求(1)形如的解,把(7)代入(1),得(1) 一阶线性微分方程组的常数变易公式第二十八张，PPT共四十三页，创作于2022年6月29从而反之,可验证(8)

7、是方程组(1)满足初始条件的特解。因此,(7)变为第二十九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月30定理7 向量函数是(1)的解,且满足初始条件 方程组(1)的通解为注1:注2:公式(8)或(9)称为(1)的常数变易公式。第三十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月31例5求方程组的通解.解:由例4知是对应齐次方程的基解矩阵,由(8)得方程的特解为第三十一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月32所以,原方程的通解为第三十二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月33例6试求初值问题解:由例3知是对应齐次方程的基解矩阵,第三十三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月34故方程

8、满足初始条件的解是第三十四张，PPT共四十三页，创作于2022年6月35(2) n阶线性微分方程的常数变易公式则线性微分方组的初值问题的基本解组为从而其基解矩阵为第三十五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月36第三十六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月37推论3的基本解组,那么非齐线性方程的满足初始条件解为第三十七张，PPT共四十三页，创作于2022年6月38公式(13)称为(12)的常数变易公式.方程(12)的通解可表为第三十八张，PPT共四十三页，创作于2022年6月39但是第三十九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月40而通解是第四十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月41例7试求方程的一个解。解:易知对应齐线性方