弹性力学第六章有限元

1、弹性力学第六章有限元徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元1第1页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元2References 参考书徐芝纶，弹性力学简明教程第六章。高等教育出版社。华东水利学院， 弹性力学问题的有限单元法，水利电力出版社。卓家寿， 弹性力学中的有限元法，高等教育出版社。O.C. Zienkiewicz, The Finite Element Method,Third Edition, 51.818, Z66K.C. Rockey and so on ,The Finite Element Method, Se

2、cond Edition, 51.818, R682-2第2页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元3Introduction-1 导引-1The finite element method is an extension of the analysis techniques (matrix method) of ordinary framed structures. 有限元法是刚架结构分析技术的扩充。The finite element method was pioneered in the aircraft industry w

3、here there was an urgent need for accurate analysis of complex airframes. 有限元法首先应用于飞机工业。第3页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元4Introduction-2The availability of automatic digital computers from 1950 onwards contributed to the rapid development of matrix methods during this period. 从 1

4、950以后 数字计算机的出现使矩阵位移法迅速发展。第4页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元5Introduction-3The finite element method was developed rapidly from 1960 onwards and known in China from 1970 onwards.从 1960以后 有限元法迅速发展。 1970以后 传入我国。第5页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元6Introduction-4In a

5、continuum structure , a corresponding natural subdivision does not exist so that the continuum has to be artificially divided into a number of elements before the matrix method of analysis can be applied. 连续结构不存在自然的单元，须人为划分为单元第6页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元7Introduction-5The ar

6、tificial elements, which are termed finite elements or discrete elements, are usually chosen to be either rectangular or triangular in shape. 单元通常取为三角形或矩形。第7页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元86.1 Fundamental quantities and fundamental equations expressed by matrix6.1 基本量和基本方程的矩程表示Bo

7、dy force 体力： p=X YT Surface force 面力： p=X YTDisplacement 位移： f=u vTStrain 应变： =x y rxy T Stress 应力： = x y xy TGeometrical equations Physical equationsvirtual work equations第8页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元9Geometrical Equation 几何方程 x u/x /x 0 u = y = v/y = 0 /y v =Lf rxy u/y+v/x

8、/y /x x /x 0 = y L= 0 /y f =u vT rxy /y /x =Lf第9页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元10Physical Equation for Plane Stress Problem 平面应力问题的物理方程 x x+y 1 0 x y = E/(1- 2) y+x = E/(1- 2) 1 0 y xy rxy(1-)/2 0 0 (1-)/2 rxy x 1 0 x = y D = E/(1- 2) 1 0 = y xy 0 0 (1-)/2 rxy = D 第10页，共133页，2022

9、年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元11Virtual Work Equation 虚功方程 状态1： p=X YT p=X YT = x y xy T状态2： f*=u* v*T * =L f*虚功方程 ： f*Tpdx dy t+ f*Tpds t = *Tdx dy t注： f*Tp = u* v* X =X u*+Y v* Y *T =x * y* rxy* x = x x* + y y* + xy rxy* y xy第11页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元126.2 Basi

10、c Concepts about Finite Element Method6.2 有限单元法的概念有限单元法的计算模型1.The continuum structure is idealized as a structure consisting of a number of individual elements connected only at nodal points. 连续的结构理想化为仅由在结点相连的单元组成。第12页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元132.Displacement boundary: place

11、 a bar support at the node where displacement is zero. 位移边界：结点位移为零处，设置连杆.3. The system of external loads acting on the actual structure has to be replaced by an equivalent system of forces concentrated at the element nodes.This can be done by using the principle of virtual work and equating the work

12、 done by the actual loads to the work done by the equivalent nodal loads. 外力按静力等效的原则移置到结点上第13页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元14第14页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元15第15页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元16补充：关于离散 About Discretization In reality El

13、ements are connected together along their common boundaries. Here it is assumed that these elements are only interconnected at their nodes. 实际：单元间相连-假定：只结点相连第16页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元17关于离散-2However,in the finite element method, the individual elements are constrained to

14、deform in specific patterns. 然而，单元变形按指定模式. 第17页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元18关于离散-3Hence, although continuity is only specified at the nodal points, the choice of a suitable pattern of deflection for the elements can lead to the satisfaction of some,if not all,of the continuity

15、 requirements along the sides of adjacent elements. 位移模式使相连单元位移连续得某些满足第18页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元19关于离散-4Hence, as stated by Clough, finite elements are not merely pieces cut from the original structure, but are special types of elastic elements constrained to deform in sp

16、ecific patterns such that the overall continuity of the assemblage tends to be maintained第19页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元206.3 Displacement pattern and convergence criteria6.3 位移模式和收敛性 Fig. 1 shows the typical triangular element with nodes ijm numbered in an anti-clockwise orde

17、r. Y m图1为一典型的三角形单元， i 结点 ijm 逆钟向编号-x正向到 jy正向。 Fig.1 x Element with nodes numbered 单元的结点编号第20页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元21 Displacement pattern 位移模式 The displacement representation is given by the two linear polynomials with six constants 位移用有6个常数的线性多项式表示 u=1+ 2x+ 3y (1) v=4+

18、5x+ 6y (2)第21页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元22Since these displacements are both linear in x and y , displacement continuity is ensured along the interface between adjoining elements for any identical nodal displacement.因为位移在单元上均为线性，相邻单元交界面上的位移连续性因同一结点位移相同而得到保证。 Displacement cont

19、inuity 位移连续性第22页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元23u=1+ 2x+ 3y (1)Substitution of the nodal coordinates into equation (1) yields:结点坐标代入方程（1）得： ui = 1 + 2 xi + 3 yi uj = 1 + 2 xj +3 yj (3) um = 1+ 2 xm +3 ym ui=u(xi,yi) uj=u(xj,yj) um=u(xm,ym) To obtain 1 2 3 求 1 2 3-1 第23页，共133页，202

20、2年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元24u=1+ 2x+ 3y (1)Substitution of the nodal coordinates into equation (1) yields:结点坐标代入方程（1）得： ui 1 xi yi 1 uj = 1 xj yj 2 (3) um 1 xm ym 3 ui=u(xi,yi) uj=u(xj,yj) um=u(xm,ym) To obtain 1 2 3 求 1 2 3-1 第24页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元25Sol

21、ving eq. (3),we obtain: 解方程（3）得 1 ui xi yi 1 ui yi 1 xi ui T 2 = 1/2A uj xj yj 1 uj yj 1 xj u j 3 um xm ym 1 um ym 1 xm um 1 xi yi 1 xj yj = 2A (4) 1 xm ym The above expression is ensured when the node ijm are in an anti-clockwise order. (A-area of triangle ijm 单元面积)当结点逆钟向编号 x正向到 y正向 时，上式成立To obtain

22、 1 2 3 求 1 2 3-2 第25页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元26Substitution of 1 2 3 into eq. (1) yields:将 1 2 3代入方程（1）得： ui xi yi 1 ui yi 1 xi ui u = 1/2A uj xj yj + 1 uj yj x + 1 xj u j y um xm ym 1 um ym 1 xm um 1 x y 1 x y 1 x y = 1/2A 1 xj yj ui + 1 xm ym uj+ 1 xi y i um 1 xm ym 1 xi

23、yi 1 xj yj u = Ni(x,y) ui +Nj(x,y) uj + Nm(x,y) um v = Ni(x,y) vi +Nj(x,y) vj + Nm(x,y) vm第26页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元27In which： 1 x y 1 xi yi 其中： Ni(x,y)= 1 xj yj 1 xj yj 1 xm ym 1 xm ym = (ai+bix+ciy) /(2A) (i,j,m) xj yj 1 yj ai= xm ym = xjym-xmyj bi= - 1 ym =yj-ym 1 xj

24、ci= 1 xm =xm-xj (i,j,m) 1 xi yi 2A = 1 xj yj 1 xm ym第27页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元28Ni is called element displacement function or element shape function.Ni 叫做单元位移函数或单元形函数。 Ni(xi,yi)=1 Ni(xj,yj)=0 Ni(xm,ym)=0 (i,j,m) 1 x y 1 xi yi Ni(x,y)= 1 xj yj 1 xj yj 1 xm ym 1 xm ym第28页，共

25、133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元29 u = Ni(x,y) ui +Nj(x,y) uj + Nm(x,y) um v = Ni(x,y) vi +Nj(x,y) vj + Nm(x,y) vmf = N e f=u vT nodal displacement matrix:结点位移列阵： e=ui vi uj vj um vmTshape function matrix: 形函数矩阵： Ni 0 Nj 0 Nm 0 N = 0 Ni 0 Nj 0 Nm 有限个自由度问题 第29页，共133页，2022年，5月20日，9点40分

26、，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元30Convergence Criteria 收敛准则-1Criterion 1： The displacement function chosen should be such that it does not permit straining of an element to occur when the nodal displacements are caused by a rigid body displacement.准则1：位移模式必须反映单元的刚体位移。第30页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版

27、2000/7弹性力学第六章有限元31Convergence Criteria 收敛准则-2Criterion 2： The displacement function has to be taken so that the constant strain (constant first derivative) could be observed.准则2：位移模式必须反映单元的常量应变。第31页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元32Convergence Criteria 收敛准则-3Criterion 3： The displa

28、cement function should be so chosen that the strains at the interface between elements are finite (even though indeterminate and not equal).准则3：位移模式必须使单元公共边上的应变在不同单元中为常量。第32页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元33Convergence Criteria 收敛准则-3准则3：位移模式必须使位移处处连续. (1)单元内位移连续. (2)单元公共边上的位移连续。第

29、33页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元34Further discussion about criteria-1 准则的进一步讨论-1Criterion 3 implies a certain continuity of displacements between elements-In the case of strains being defined by first derivative, the displacements only have to be continuous between elements. Tha

30、t is C0 continuity is sufficient第34页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元35Further discussion about criteria-2 准则的进一步讨论-2Criterion 3 implies a certain continuity of displacements between elements.-In the plate and shell problems, the strains are defined by second derivatives of deflecti

31、ons, first derivatives of deflections have to be continuous between elements.第35页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元36Further discussion about criteria-1,2 准则的进一步讨论-1,2准则3 意味着对单元间位移的连续性有一定要求。-应变是位移的一阶导数的情况，例如弹性力学平面问题，仅要求单元之间位移连续。称为C0连续性。-板和壳问题，应变是位移的二阶导数，要求位移的一阶导数在单元间连续, C1 连续性 。第36页，

32、共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元37Further discussion about criteria-3 准则的进一步讨论-3Criterion 1 and 2 are necessary conditions. Criterion 3 is the sufficient condition. 准则1和2是收敛的必要条件， 准则3是充分条件。第37页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元38 准则1和2是收敛的必要条件， 不满足一定不收敛.在满足准则1和2的必要条件

33、的前提下,再满足准则3,一定收敛。-协调元在满足准则1和2的必要条件的前提下,不满足准则3-可能收敛(非协调元,例薄板弯曲问题),可能不收敛.第38页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元39Further discussion about criteria-4 准则的进一步讨论-4u=1+2x+3y = 1+2x-y(5- 3)/2+y(5+ 3)/2 v=4+5x+6y = 4+6y+x(5- 3)/2+x(5+ 3)/2刚体位移 u= - y +u0 v= x+v0u0= 1 v0= 4 = (5- 3)/2 反映刚体位移x=

34、 2 y= 6 rxy= 5+ 3 反映常量应变第39页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元40Further discussion about criteria-4 准则的进一步讨论-4u=1+2x+3y = 1+2x-y(5- 3)/2+y(5+ 3)/2 v=4+5x+6y = 4+6y+x(5- 3)/2+x(5+ 3)/2位移在单元内部连续,在单元公共边上连续,满足准则3第40页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元416.4 Strain, Stress a

35、nd Stiffness 应变，应力和劲度 =Lf=LNe =B e =B e /x 0 Ni 0 Nj 0 Nm 0 B=LN= 0 /y 0 Ni 0 Nj 0 Nm /y /x = Bi Bj Bm A. Strain 应变第41页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元42 /x 0 Ni 0 Nj 0 Nm 0 B=LN= 0 /y 0 Ni 0 Nj 0 Nm /y /x = Bi Bj Bm Ni /x 0 bi 0Bi= 0 Ni /y = 0 ci /(2A) Ni/y Ni /x ci biThe B matrix

36、 is independent of the position within the element, and hence the strains are constant throughout it.应变在单元中为常量。第42页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元43B. Stress 应力 =D =DB e= Se S=DB=DBi DBj DBm=Si Sj Sm 1 0 bi 0 Si=DBi= E/(1- 2) 1 0 1/2A 0 ci 0 0 (1-)/2 ci bi bi ci= E/2A(1-2) bi ci (

37、1-)ci /2 (1-)bi/2 S-Elasticity matrix; 弹性矩阵，应力转换矩阵 第43页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元44C. Stiffness 劲度C.1 Element Nodal Force Matrix 单元结点力列阵 Fe=Ui Vi Uj Vj Um VmTElement nodal forces are the internal forces between elements and nodes. It is considered positive or negative accordi

38、ng as it acts in the positive or negative direction of the coordinate axis when it acts on the element. 单元结点力：单元和结点间相互作用力，作用在单元上时，沿坐标正向为正.作用在结点上时，沿坐标负向为正.第44页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元45 Vi2 Y1 Ui2 i m U1=Uj1+Ui2 1 X1 Uj1 Vj1 j y j Um m i Ui Vm Vi x V1=Vj1+Vi2单元结点力列阵Fe=Ui Vi

39、Uj Vj Um VmT整体结点力列阵F=U1 V1 U2 V2 U3 V3 U4 V4 T 作用在结点上时，沿坐标负向为正.第45页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元46 C. Stiffness 劲度C.2 The relation between the element nodal force and nodal displacementsIsolate an element from the structure. Since body forces and surface forces are moved to the

40、nodes, only element nodal forces are the external forces acting on the element. Impose an arbitrary virtual nodal displacement . The work done by the nodal forces is equal to the work done by the stresses.第46页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元47C. Stiffness 劲度C.2 单元结点力和单元结点位移列阵的关系将单元

41、取出作为隔离体，因为体力面力已移置到结点上，单元上结点力为外力，应力为内力。施加一个虚位移，结点力作功等于应力作功可导得 单元结点力和单元结点位移的关系第47页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元48C.2-continue We=(*e)T Fe = ui vi uj vj um vm Ui Vi Uj Vj Um Vm = Uiui+Vivi+Ujuj+Vjvj +Umum+Vmvm 第48页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元49C.2-continue WI=

42、 *Tdx dy t=(*e )T BTDBdx dy t e 注：*T =x* y* rxy* x = xx*+yy*+xyrxy* y xy*=B*e *T= (*e)T BT =DBe第49页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元50C.2-continue We=(*e)T Fe WI= *Tdx dy t=(*e )T BTDBdx dy t e We= WI (*e)T Fe =(*e )T BTDBdx dy t e Since *e is arbitrary, we have Fe = BTDBdx dy t e=k

43、 e k= BTDBdx dy t = BTDBAt k-element stiffness matrix. 单元劲度矩阵第50页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元51C. 3 The Explicit Form for Element Stiffness Matrix C.3 单元劲度矩阵的表达式k= BTDBdx dy t = BTDBAt BiT k= BjT D Bi Bj BmAt BmT BiT D Bi BiT D Bj BiT D Bmk= At BjT D Bi BjT D Bj BjT D Bm BmT DB

44、i BmT DBj BmT D Bm第51页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元52 kii kij kimk= kji kjj kjm krs=BrTDBs (r,s=i,j,m) kmi kmj kmm brbs+(1-)crcs/2 brcs +(1-)crbs/2 krs=Et/4(1-2)A crbs+(1-)brcs/2 crcs +(1-)brbs/2 (r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题) krsxx krsxykrs= krsyx krsyy第52页，共133页，202

45、2年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元53C.4 The Physical Explanation for Element Stiffness matrix C.4 单元劲度矩阵的物理意义Fe=k e Ui kiixx kiixy kijxx kijxy kimxx kimxy ui Vi kiiyx kiiyy kijyx kijyy kimyx kimyy vi Uj = kjixx kjixy kjjxx kjjxy kjmxx kjmxy uj Vj kjiyx kjiyy kjjyx kjjyy kjmyx kjmyy vj Um kmixx

46、 kmixy kmjxx kmjxy kmmxx kmmxy um Vm kmiyx kmiyy kmjyx kmjyy kmmyx kmmyy vm kijyx -j结点x方向发生单位位移在i结点y方向的结点力第53页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元54 kijyx -j结点x方向发生单位位移在i结点y方向的结点力方向 kijyx局部结点号 结果 原因 第54页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元55C. 5 The Characteristics of the

47、 Element Stiffness Matrix C.5 单元劲度矩阵的特点 1. 对称矩阵2. 每一行元素之和为零. Assume e=ui vi uj vj um vmT=1 1 1 1 1 1T Fe=ke =03. 每一列元素之和为零. 4. k为奇异矩阵。|k|的各行元素乘1后加到第一行，行列式值不变，由于第一行元素全为零，故|k|=05. k的元素的数值取决于单元形状，大小，方位和弹性常数，不随单元的平行移动或作n的转动而改变。n为正整数。第55页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元56转动 ,k不变 m j i i

48、 j m 第56页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元57 kii kij kimk= kji kjj kjm krs=BrTDBs (r,s=i,j,m) kmi kmj kmm brbs+(1-)crcs/2 brcs +(1-)crbs/2 krs=Et/4(1-2)A crbs+(1-)brcs/2 crcs +(1-)brbs/2 (r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题) krsxx krsxykrs= krsyx krsyy第57页，共133页，2022年，5月20日，9点40

49、分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元58In which： 1 x y 1 xi yi 其中： Ni(x,y)= 1 xj yj 1 xj yj 1 xm ym 1 xm ym = (ai+bix+ciy) /(2A) (i,j,m) xj yj 1 yj ai= xm ym = xjym-xmyj bi= - 1 ym =yj-ym 1 xj ci= 1 xm =xm-xj (i,j,m) 1 xi yi 2A = 1 xj yj 1 xm ym第58页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元596.5 Eleme

50、nt Load Matrix 单元荷载列阵1. Element load matrix Re=Xi Yi Xj Yj Xm YmT It is positive when it acts in the positive direction of the corresponding axis. 作用在坐标正向为正。第59页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元60 Yi2 Y1 Xi2 i m 1 X1 j Xj1 Yj1 y j Xm m i Xi Ym Yi x V1=Vj1+Vi2单元结点列阵Re=Xi Yi Xj Yj Xm

51、YmT作用在结点上整体结点荷载列阵R=X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4 TX1=Xj1+Xi2+R1 Y1=Yj1+Yi2 作用在结点上时，沿坐标正向为正.第60页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元61Re=Xi Yi Xj Yj Xm YmT和P=Px PyT p=X YT p=X YT为静力等效，在虚位移f* =N*e上作功相等 2 we1=(*e )TRe we2=f*TP+ f*Tpdx dy t + f*Tpds t= (*e )T ( NTP+ NTpdx dy t + NTpds ) we1= we2

52、 (*e )TRe =(*e )T(NTP+NTpdx dyt+ NTpds ) Re = NTP+ NTpdx dy t + NTpdsnote: f*=N*e f*T = (*e )T NT第61页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元62Re = NTP+ NTpdx dy t + NTpds Xi NiPx NiXdxdy NiXds Yi NiPy NiYdxdy NiYds Xj NjPx NjXdxdy NjXds Yj = NjPy + t NjYdxdy +t NjYds Xm NmPx NmXdxdy NmXds

53、 Ym NmPy NmYdxdy NmYds第62页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元63Body forces: X=0,Y=-g Re = NTpdx dy t Xi NiXdxdy 0 Yi NiYdxdy -W/3 Xj NjXdxdy 0 Yj = t NjYdxdy = -W/3 Xm NmXdxdy 0 Ym NmYdxdy -W/3note: Nidxdy=A/3 (i,j,m) W= gAt 第63页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元64ij边上

54、面力 p=X=q Y=0T Re = NTpds t Xi ijNiXds 1 Yi ij NiYds 0 Xj ij NjXds 1 Yj = t ij NjYds = 0 0.5tqLij Xm ij NmXds 0 Ym ij NmYds 0note: ij Nids=Lij/2 ij Njds= Lij/2 ij Nmds=0 第64页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元656.6 global analysis 结构整体分析例：第65页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力

55、学第六章有限元66 example 1-A.结点编号和 位移列阵 结点的局部号: i j m结点的整体号: 1 2 3 4element nodal displacement matrix: 单元结点位移列阵： e=ui vi uj vj um vmTglobal nodal displacement matrix: 整体结点位移列阵： =u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4T第66页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元67 example 1- B. 荷载列阵 Element load matrix 单元荷载列阵 Re

56、=Xi Yi Xj Yj Xm YmT R1=0 0 0.5q2 0 0.5q2 0T R2=0 -0.5q1 0 0 0 -0.5q1Tglobal load matrix 整体荷载列阵 R=X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4T R=R1+0.5q2 -0.5q1 0.5q2 R2 R3x R3y-0.5q1 R4x R4yT第67页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元68Element load matrix 单元荷载列阵 Re=Xi Yi Xj Yj Xm YmT R1=0 0 0.5q2 0 0.5q2 0T

57、R2=0 -0.5q1 0 0 0 -0.5q1Tglobal load matrix 整体荷载列阵 X1=Xj)1 +Xi )2 +R1=R1+0.5q2 Y1 = Yj)1 +Yi )2=-0.5q1 X2=Xm)1 =+0.5q2 Y2 = Ym)1 +R2=R2 第68页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元69链杆反力不放入单元结点荷载列阵中,放入整体结点荷载列阵中第69页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元70 C.单元劲度 brbs+(1-)crcs/2

58、brcs +(1-)crbs/2 krs=Et/4(1-2)A crbs+(1-)brcs/2 crcs +(1-)brbs/2 (r,s=i,j,m) (plane stress problem 平面应力问题)y j m i x bi=yj-ym=1 bj=ym-yi=0 bm=yi-yj=-1ci=-xj+xm=0 cj=-xm+xi=1 cm=-xi+xj=-1Et/4(1-2)A=18Et/35kii=18Et/35 1 0 0 5/12 kij=18Et/35 0 1/6 5/12 0 取 =1/6第70页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/

59、7弹性力学第六章有限元71The Element Stiffness Matrix 单元劲度矩阵 1 0 0 1/6 -1 -1/6 0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12 0 5/12 5/12 0 -5/12 -5/12 k=18Et/35 1/6 0 0 1 -1/6 -1 -1 -5/12 -5/12 -1/6 17/12 7/12 -1/6 -5/12 -5/12 -1 7/12 17/12 第71页，共133页，2022年，5月20日，9点40分，星期三徐汉忠第一版2000/7弹性力学第六章有限元72C.4 The Physical Explanation for El

60、ement Stiffness matrix C.4 单元劲度矩阵的物理意义Fe=k e Ui kiixx kiixy kijxx kijxy kimxx kimxy ui Vi kiiyx kiiyy kijyx kijyy kimyx kimyy vi Uj = kjixx kjixy kjjxx kjjxy kjmxx kjmxy uj Vj kjiyx kjiyy kjjyx kjjyy kjmyx kjmyy vj Um kmixx kmixy kmjxx kmjxy kmmxx kmmxy um Vm kmiyx kmiyy kmjyx kmjyy kmmyx kmmyy vm k