二次根式-典型练习题

1、/次式分练题知点：次式概【知识要点 v二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时，才有意义【典型例题【例 1】列各式 ）1 ,2) x 4,5) ( )5 2,6) ,7) 2 a ，其中是二次根式的（填序号 举一反：1、列各式中，一定是二次根式的是（ ）Aa a 2、 、 、 、中是二次根式的个数_【例 2】式子举一反：1、代数式A、x3x x x 有意义，则 的值范围是 有意义的 x 值范围是 ）、x3 、x x42、代数式x x 有意义的 x 值范围是3、果代数式 1m n有意义，那么，直角坐标系中点 P（m）的位置在（ A一象限 、第二象限 C、三象

2、限 D象限【例 3】 y=x 5 则 解题思路： 05 x ，y=2009，则 x+y=2014举一反：1、 y )，则 y 值为（ A1 B 2 32、 x 数，且 ，求 xy 3、 什么值时，代数式2a 取值最小，并求出这个最小值。已知 a 5 数部分b 的小数部分，求 的值。若的整数部分是 a小数部分是 b，则3a 。若 的整数部为 x小数部分为 ，求x 2 y的值2 a 2 a 知点：次式性【知识要点1. 非负性： a (a 是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后根式运算中经常用到2. ( ) ) 注意：此性质既可正用，也可反，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成全

3、平方的形式 ) (a )3.a 0) 0)注意一定是正数）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替）移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留根号外4. 公式 a 0) | 与 ( a ) 的别联系） 表示求一个数的平方的算术根a 的围是一切实数） ( a ) 示一个数的算术平根的平方a 是非负数） 2和 ( 的运算结果都是非负的【典型例题【例 4】 b 则 举一反：1、 0 则 2、知 ，x x 值为（ ）A3 1 3、知直角三角形两边 、y 的长满足x 2 y ，则第三边长为2 2 2 2 2 2 4、a 与 b 互为相反数，则。（公式 ( ) 2 a

4、0) 的运用【例 5】 简： 3)的结果为（ A2a 、0 、2a4 、4 举一反：1、 范围内分解因 ； m = 4 _, 2 x 2、 3、 角三角形的两直角边分别为 ，则斜边长为（公式 a 0) 的应用【例 6】知 ,简 2 x 结果是A 、 2 举一反：1、式 ( 2 的 )A 3 3 3 D9 22、知 ，么 可化简为（ B 3a 3a若2 a ，则等于（ ）5 a2 D. a 4、 0简 4 的结果是（ ） (B) 5、简 x x 7 (D) （A （Bx ）2 4 x a a 02 a a 02 a2 a 6、 al 且 a0 ，化简 1 24 a ) a )a 7、知 化简求值

5、：【例 7】果表示 a 实数的点在数轴上的位置如图所示那么化简( a 的结果等于（ B 2a 2a oa 2举一反在数轴上的位置如图所示 ( 2【例 8】简 1 x 的结果是 2-5则 x的取值范围是（ （Ax 实数 14 x1 ）1举一反：式(2 ( a 4)的值是常数，则a的取值范围是（ ） 2 a 或a 【例 9】果 ，那么 范围是（ ） a=0 a=1 C. a=0 或 D. 举一反：1、果 aa 成立，那么实数 的值范围是（ Ba . . 2、( ，则 的值范围是（ （Ax x ）x x 【例 10】简二次根 a a 2的结果是（A (B) a (D) 2 ) 2 2 2 x y2

6、) 2 2 2 x y1、二次根 1a化简，正确的结果是（ ） D.a2、根号外的因式移到根号内： b 0 时 ( a 11 知点：简次式同二根【知识要点1、简二次根式：）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或 因式； 中不含根号2、类二次根式（可合并根式几个二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，可 以合并的两个根式。【典型例题【例 11】根式 1)a2 2 x5 x 2 ;4) abc，最简二次根式是（ ）1) 4) 3) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的件。举一反：1、 30, 2 , , 54, 17(a2

7、 2中的最简二次根式是 2、列根式中，不简二次式的是（ ）A123、列根式不是最简二次根式的( )a x 4D.0.1y4、列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？3ab(1) (2) (3) (4)a ( )(5)(6) xy5、下列各式化为最简二次根式：(1)(2)45a 2b(3)【例 12】列根式中能与是合并的( )27D.12举一反：1、列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）A3和 、3和13、ab abDa a 、 次 ： 12 ； 3 ； 能 并 二 是 。3、果最简二次根式3a 17 能够合并为一个二次根 则 知点：次式算母理【知识要点1母理定：分母中的根号化去，叫做分母

8、有理化。2理因：两个含有二次根式的代数式相乘的积不含有二次根式个代数式互为有理化因。 有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用 来确定，如：a与 a， 与 ，a 与a 等分别互为有理化因式。 a x 分别互为有理化因式。3母理的法步： b与 ，先将分子、分母化成最简二次式；将分子、分母都乘以分母的有化因式，使分母中不含根式； 最后结果必须化成最简二次根或有理式。【典型例题 【例 13】 把下列各式分母有理化 ） ）3 ）1 35 50【例 14】下列各式分母有理化2 x 8x 3 ）xx3）abba【例 15】下列各式分母有理化：）22 5 3 ） ）5 3 3 2 3举一反：1、知x 2

9、， y 2 3 3x ，求下列各式的值 （2x x 2、下列各式分母有理化：a a a （2） a a b a2 2 b a2 2小结：常见的互为有理化因式有如下几类：与； 与 ；与； 与知点：次式算次式乘 【知识要点1的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab = a （a02次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。ab，b）3的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 a （a，b0 b4次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。a a （a，b0b 注 、除法的

10、运算法则要灵活用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时 要考虑字母的取值范围，最后把算结果化成最简二次根式【典型例题【例 16】简(1) (2) (3) (4) x 2 y 2 0, y 0 (5) 【例 17 】 算（ ） ） ） 5 5 （6 ） 【例 18】简：(1) (2) 9a ( a b (3) ( x 0, (4) 169 y2( 0, y 【例 19】算(1)123(2)3 1 1 (3) （4 2 8 16648【例 20】使等式 成立的的 x的取值范围是（ A 0、0 、解知识点六二次根式计二次根的加减【知识要点需要先把二次根式化简，然后把开方数相同的二次根式

11、（即同类二次根式）的系数相加减，被方 数不变。注意：对于二次根式的加减，关是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类次 根式合并但在化简二次根式时二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因【典型例题【例 20】算 32 1 1 75 0.5 2 27 4 3 ； （2 32 1 1 1 75 8 5 3 2； （4 1 27 b b【例 21】 （1 x 2 x 4 x ）a a 1 3 27a 2 a 3 a 4） 1 4 81a3 3a4a5）xy x y y x x 知点：次式算次式混计与值 【知识要点 、定运算顺序； 、活运用运算定律； 、确使用乘法公式； 、多数分母有

12、理化要及时； 、有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题1、2 3 b 5 3 ) b 2 、 3 ) 0 a 15 14 0 a 15 14 3、13y ）x 6、 ) 知点：式较小 【知识要点1、式形 当 a 0, b 时，如果 ，则 b；如果 ，则 b。2、方当 0, b 0时，如果 ，则 a a ，则 a 3、母理法 过分母有理化，利用分子的大小来比较4、子理法 过分子有理化，利用分母的大小来比较5、数6、介递 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、差较法对两数比较大小时，经常运用如下性质：；a 8、商较它运用下性质：当 ： b； b【典型例题【例 22

13、】 比 5 5 3 的大小法解答）【例 23】较 与 的大小。 【例 24】较 。7 7 【例 26】较 小数学专题 【基础知识回顾】一、 二根式式子 （ ）做二次根式第六讲：次根式提：次式 a 必注 这一条，结也一非即 a _o次式（）， 可以表数也以一符条的代式二、 二根式的性质：（o）（）=（0）=（o）=（0 ,b0） ab= (a0,0)提：次式性质意逆：如较 和 3的大小可逆（2将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小 三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：、被开方数的因数是 ，式是整式、被开方数不含 的数或因式四、二次根式的运算：、二次根式的加减：先将二次根式化简，

14、再将 法同合并同类项法则相同、二次根式的乘除：的二次根式进行合并，合并的方乘除法则： a . b =（ ,b） 除法则：（0b）、二次根式的混合运算顺序：先算 再 最算提：、次根除运过一情下用分中根化这方法行如= =、次式合算程特注两乘公的用 、次式算结一要成重考例考一二根有义条例 1 如代数式 有意义，则 x 的取值范围是（ ）x Ax3 Bx 3 Dx3思分：据二次根式的意义得出 x-30根据分式得出 ，即可得出 x-30，求 出即可解要使代数式必须 x-30， 解得：x 故选 x 有意义，点：题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的用，注意：分式 0二次根式 中 0对训BA中 A

15、使代数式x2 有意义的 x 的值范围是（ ）AxBx1 C 且 x2 D一切实数解：由题意得：2x-，0，解得：0， 考二二根的质12，故选：例 2 实 、 轴上的位置如图所示，|b|，则化简 a 的结果为（ ）A B-2a+b b D2a-b思分：根据数轴可知 a0b，而a|b|那么可知 a+b，再结合二次根式的 性质、绝对值的计算进行化简计算即可解根据数轴可知，原式=（a+b）故选 点：次根式的化简和性质实数与数轴解的关键是注意开方结果是非负数、以及绝 对值结果的非负性对训实数 ， 数轴上的位置如图所示，则( a )的化简结果为 解：由数轴可知：，( ) 2 2 2 2 4 2 2 2 2

16、 4 =|a+b|+a=-a-b+a， 故案为：-b考三二根的合算例 3 1 ) 思分：用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质别 化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可解原式=4 2 2 = 3 2 2=3二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，将各式进行化简是解题关键 对训计算：48 3 12 24解：48 3 12 24 3 3 6 64 考四与次式关求问例 4 先简，再求值：1 1 x x x ( )x x x 1 ，其中 x= 2思分：根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 值代入进行计算即可解原式=1 x ( x( 4 ，当 x=时，可知( ，故

17、原式1 ( x 1 1 ( x 4 411 22；2 2 2 22 2 2 2 22 点：查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是 x= ( ，此题难度不大对训之值为何？（ ）计算 114 A0 B25 C D 时得出分析：根据平方差公式求出 11422（114+64）（114-64，提出 50 得 （）=50128，分解后开出即可 解： 114 =(114 64)(114 64) 178 50 128=2 =258，=80故选 D考查了平方差公式因分解二次根式的运算等知识点的应用解此题的关键是能选择适 当的方法进行计算【焦考下列运算正确的是（ BA( B1( ) 4Cx6x=xDx）

18、=x计算：412 8 0计算： 7【考题关一选题要使式子 有意义，则 x 的值范围是（ D ）Ax0 B x D计算 2=（ A ）AB5 C52D计算： 2 =（ ）已知m 33) 21)，则有（ ）A5 Bm5 m D解：m 33) 21) 3 7 ， ， ，即 56，故选 A下列计算正确的是（ D ）Ax+x=x6B3 2 2 D 下列等式一定成立的是（ ）A 4 B 3 D ( 7使式子A x1 解：根据题意，得，解得，x2； 故选 B有意义的 x 的值范围是（ ）B 1x2 C x2 D 1x28 下列各式中，二次根式A B的有理化因式是（ ）C D解：二次根式 =ab，的有理化因式

19、是： 故选：主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键9下列计算错误的是（ ）A B D分析： 根二次根式的乘法对 A、B 行判断；根据二次根式的除法对 C 进判断；根据 二次根式的性质对 D 进行断解：A、 = ，以 A 选的计算正确；B、 与 不是同类二次根式，不能合并，所以 B 选项的计算错误；C、 = = =2，以 选项计算正确；D、 = = =2 ，所以 选项计算正确故选 B10列计算正确的是（ ）A B D分析： 根同类二次根式才能合并可对 A 行判断；根据二次根式的乘法对 B 进判断； 先把 化最简二次根式，然后进行合并，即可对 进行断；根据二次根式的除法对 D 进行判断解：A、 与 不能合并，所以 A 项不正确；B、 =，所以 B 选不正确；C、 =2 = ，以 项正确； D、 =2 =2，以 D 项不正确 故选 C11列计算或化简正确的是（ ）A+a=aB C D分析： A、根据合并同类项的则计算； B、化简成最简二次根式即可；C、计算的是算术平方根，不是方根； D、利用分式的性质计算解：A、a+a=a+a，选项错误；B、C、D、+3 = + ，选项错误； =3，此选项错误；= ，选项正确故选 D考查了合并同类项二根式的减法算术平方根、分式的性质题的关