2011届数学高考复习全套精品课件：第03单元第6节 函数模型及其应用

1、第三单元 根本初等函数知识体系2021届高考迎考复习更多资源请点击： :/高中教学网第六节 函数模型及其应用根底梳理1. 常见的几种函数模型(1)一次函数型 ; (2)反比例函数型 ; (3)二次函数型 ;(4)指数函数型 (增长率问题);(5)对数函数型 ;(6)幂函数型 ;(7)分段函数型.y=kx+b(k0);2. 对于指数函数y=ax(a1),幂函数y=xn(n0),对数函y=logax(a1),总会存在一个x0,当xx0时,有 logaxxn500时, (元),方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元.(3)由图知,当0 x60时,fA(x)fB(x);当60 x500时,fA(x

2、)= x+80,fB(x)=168,联立得x=293 ,因此当60 x293 时,fA(x)fB(x);当293 x500时,fB(x)500时,显然fB(x)293 分钟,即通话时间为293 分钟以上时,方案B才会比方案A优惠.学后反思 (1)现实生活中很多问题都是用分段函数表示的,如出租车费用、个人所得税、话费等,分段函数是刻画现实问题的重要模型.(2)分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同的函数.要注意各段变量的范围,特别是端点值,尤其要注意.举一反三1.(创新题南京市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和效劳都很好，但收费方式不同。甲俱乐部每张球台每小时5元；乙俱乐部按月计费，一个

3、月中30小时以内含30小时每张球台90元，超过30小时的局部每张球台每小时2元，小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家族一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时。1设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费f(x)元(15x40)，在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费g(x)元(15x40)，试求f(x)和g(x);2你认为校长选择哪家俱乐部比较合算？请说明理由；解析 （1）f(x)=5x,15x40, g(x)= (2) 若15x30,且当5x=90时,x=18 即当15x18时,f(x)g(x)；当x=18时,f(x)=g(x)； 当18g(x) 若3030+2x恒成

4、立,即f(x)g(x)恒成立。 综上所述，当15x18时，小张选甲俱乐部比较合算； 当x=18时，两家一样合算 当18x40时，小张选乙俱乐部比较合算。题型二 二次函数模型【例2】某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料,根据以前的统计数据,假设零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;假设每瓶售价每降低0.05元,那么可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?分析 构建二次函数模型,转化为二次函数的最值问题.解 设销售价为x元/瓶,那么根据题意(销售量等于进货量),正好销售完的进货量为 ,即400(9-

5、2x)瓶.此时所得的利润为f(x)=400(9-2x)(x-3)=400(-2x2+15x-27).根据函数的性质,当x=3.75时,f(x)取最大值450.这时的进货量为400(9-2x)=400(9-23.75)=600(瓶).所以销售价应定为每瓶3.75元,以及从工厂购进600瓶时,才能获利最大.学后反思 二次函数模型的建立可以求出函数的最值,解决实际生活中的最优化问题,但一定要注意自变量的取值范围.举一反三2某商场销售一种服装，购进价是每件42元，根据试装得知这种服装每天的销售量t件与每件的销售价x元/件)可看成是一次函数关系：t=-3x+2041写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每

6、件的销售价x之间的函数关系每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价格差；(2商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定位多少？最为适宜最大销售利润为多少？解析： (1)由题意，销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系为y=(x-42)(-3x+204),即(2)对 配方，得当每件的销售价为55元，可取的最大利润，每天最大销售利润为507元。题型三 指数模型的应用【例3】某城市2021年有人口100万,如果年增长率为1.2%,(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;(2)10年后,该城市人口到达多少万?(3)计算大约到哪一年该市人口达120万?分析 此题为人口增长率

7、问题,可以通过计算每年的人口总数与年份的关系来探究出规律,建立指数型函数模型来解决.解 (1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%),2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2,3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)3,x年后该城市人口总数为 .(2)10年后,人口数为100(1+1.2%)10112.7(万人).(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x=120, =log1.0121.2015.28(年),取x=16(年).即大约到2024年,该市人口达到1

8、20万人.举一反三3.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减。1求t年后，这种放射性元素质量w的表达式；2求这种放射性元素的半衰期精确到0.1年。解析 （1）最初的质量为500g，经过1年，w=500(1-10%)=500经过2年,经过t年,(2)由题意两边取对数，有即这种放射性元素的半衰期为6.6年题型四 函数模型的综合应用【例4】 14分某工厂有一段旧墙长14 m,现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：(1)建1 m新墙费用为a元；(2)修1 m旧墙费用是 元；(3)拆去1 m旧墙,用所得材料建1 m新墙费用为 元，经过讨论有两

9、种方案：利用旧墙的一段x mx14为矩形厂房一面的边长；矩形厂房利用旧墙的一边边长x14,问:如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？两种方案哪种更好？分析 利用旧墙为一面建立平面矩形,设此面边长为x m,那么另一面边长为 解 (1)利用旧墙的一段x m(x14),则修墙费用 元,1将剩余旧墙拆得材料建新墙费用为 元,其余建新墙的费用为 元3总费用当且仅当 ,即x=12 m时，ymin=35a6 (2)利用旧墙的一面，矩形边长x14,那么修旧墙费用为 元,建新墙费用为 元8总费用综上所述，采用第一种方案，利用旧墙的12 m为矩形的一面边长时，建墙费用最省. 14学后反思 此题关键在于以建墙

10、费用为目标函数建立函数关系式，而难点在于求函数的最小值，两种方案的函数式结构外表相似，一个可用不等式求最值，另一个那么必须改用单调性求最值.举一反三4. 某公司欲投资13亿元进行工程开发,现有以下6个工程可供选择. 设计一个投资方案,使投资13亿元所获利润大于1.6亿元,那么应选的工程是_(只需写出工程的代号).项目ABCDEF投资额(亿元)526461利润(亿元)0.550.40.60.50.90.1解析： 当投资为13亿元时,有以下两种投资选择方案:f(A,B,E)=0.55+0.4+0.9=1.85(亿元);f(B,D,E,F)=0.4+0.5+0.9+0.1=1.9(亿元).答案： A

11、、B、E或B、D、E、F考点演练10.某乡企业有一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从今年起，方案每人每年的工资比上一年增加20%，并每年新招3为工人，每位新工人第一年年薪为8千元，第二年开始拿与老工人一样数额的年薪，求第n年付给工人的工资总额y万元表示成n的函数表达式.解析 n年共有工人3n+8位，其中有3位新工人，3n+8-3=3n+5位老工人，老工人的工资总额为 ，3位新工人的工资为30.8=2.4.故n年付给工人的工资总数为 所以11（2009湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩。经计算，一个桥墩的工程费用为256

12、万元；距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。（1）试写出y关于x的函数关系式；（2)当m=640米时，需新建多少桥墩才能使y最小？解析 （1）设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，即 所以y=f(x)=256n+(n+1)（2）由（1）知，令 ，得 .所以x=64当0 x64时， ,f(x)在区间（0，64）内为减函数；当64x640时， ,f(x)在区间（64，640)内为增函数.所以f(x)在x=64取得最小值。此时故需新建9个桥墩才能使最小12.(2009济宁模拟）某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元(m0)满足 （k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括