2022年成人高考数学第02讲讲义

1、注意：（1）（属于）与（不属于）符号是用来表达元素与集合之间关系的，因此，有等。（2）符号与是用来表达集合与集合之间的关系的，因此，有，等。（3）一般地，表达一种元素，而表达只有一种元素的集合，不要将与混淆，因此有，等，不能写成，。（4）（空集）是一种特殊集合，其中不含任何元素，（零）是一种元素，是具有元素的集合，因此，不能写成。（5）用列举法表达集合时，不必考虑元素之间的顺序，因此，有。例10设为方程的解集，为方程的解集，如何用的集合运算体现式来表达方程组的解集？解：由于的解集为，的解集为，因此方程组的解集为。这是一种二元一次方程组，由（2）得：，把代入得：，把代入（3）得：。故。例11设方

2、程的解集为，方程的解集为，如何用的集合运算体现式来表达方程的解集。解：方程可以化为，即或。又由于的解集为，的解集为，因此方程的解集为。例12设，求，。解：，。例13求证：是等边三角形的充要条件是，其中，是三边之长。证明：（1）充足性：如果，。故，是等边三角形。（2）必要性：如果是等边三角形，那么，因此，。综上所述： 是等边三角形的充要条件是。第二章 函数复习规定理解函数概念，会求某些常用函数的定义域理解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断某些常用的函数的单调性与奇偶性理解一次函数、反比例函数的概念、掌握它们的图像和性质，会求它们的解析式四、理解二次函数的概念，掌握它的图像和性质以及函数，与，的图

3、像之间的关系；会求二次函数的解析式及最大值与最小值能灵活运用二次函数的知识解决有关问题解反函数的意义，会求某些简朴函数的反函数理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质理解对数的概念，掌握对数的运算性质掌握指数函数、对数函数的概念、图像和性质典型例题函数的定义域是（）(A) (B) (C) (D)答案：（D）。分析：要使故意义，必须，要使故意义，必须，要使故意义，必须且，综上所述，解不等式组得，。注意：最后体现式中的表达函数的定义域。例2设函数的定义域为区间，且，则函数的定义域是区间（）。（A）（B）（C）（D）分析：设中的，由于的定义域为区间，故，即，即故的定义域为，也即的定义域是。答

4、案：（C）例3设则的值是（）(A)0. (B)4. (C)2. (D)1.答案：（C）。分析：。例4（）。（A）（B）（C）（D）。答案：（A）。分析：例5如果，则（）。（A）4.（B）2. (C)（D）答案：（A）。分析：，。例6设，则（）。（A）（B）（C）（D）答案：（D）。分析：（1）运用对数换底公式，。（2）运用对数恒等式，。例7的值是（）。(A)2. (B)1. (C)2. (D)1.答案：（B）.分析：原式。例8已知，则（）（A）（B）（C）0（D）答案：（B）。分析：，原式。补充例题例1 用列举法可以把集合表达为（ ）（A） （B） （C） （D）解：选（D）分析：集合有两种常

5、用的表达措施，一种是“列举法”，另一种是“描述法”。所谓“列举法”就是将集合中的元素一一列举出来，规定是既不能反复又不能漏掉。它的格式是这样的：，而描述法的核心在于用文字语言或符号语言对集合中的所有元素的共有特性进行描述，它的格式是这样的： ，本题是规定将用“描述法”表达的集合，转化为用“列举法”表达的集合。是一种一元二次方程，用十字相乘法解此方程，得到方程的两个解，。故注意：当为任意常数且时，称为任意的一元二次方程，解一元二次方程的一般措施是运用求根公式，在本题中用十字相乘法解此方程显然比用求根公式更灵活更以便。例2 用列举法可以把集合表达为（ ）（A） （B）（C） （D）解：选（C）分析

6、：凡能被2整除的整数就称为“偶数”。偶数集合既可以用“描述法”表达也可以用“列举法”表达。故有 偶数，观测例2可知，所求集合为“不不小于或等于10的非负偶数”即例3 由全体奇数所构成的集合是（ ）（A） （B）（C） （D）解：选（C）分析：凡不能被2整除的整数就称为“奇数”。奇数集合可以用不同的“描述法”表达如下，奇数注意：“”表达整数集合，而“”表达自然数集合，且奇数集合也可以用不同的“列举法”表达如下，奇数例3 由平方为1的数所构成的集合是（ ）（A） （B） （C） （D）解：选（D）分析：设平方为1的数为，则，故，由平方为1的数所构成的集合是例4 是有理数是是实数的（ ）（A）充足但

7、非必要条件 （B）必要但非充足条件（C）充要条件 （D）非充足非必要条件解：选（A）分析：有理数实数，有理数必然为实数，而实数不一定为有理数。例5“全不为零”是“为直线方程”的（ ）（A）充足但非必要条件 （B）必要但非充足条件（C）充要条件 （D）非充足非必要条件例6 用合适的符号（，）填空：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）解：符号“”表达“属于”； 符号“”表达“不属于”，符号“”与“”是表达“元素”与“集合”之间关系的两个符号，在应用这两个关系符号时应当注意：该符号左边必须是“元素”，而右边必须是“集合”。符

8、号“”表达“真涉及于”； 符号“”表达“真涉及”，符号“”、 “”与“”是表达“集合”与“集合”之间关系的三个符号，在应用这三个关系符号时应当注意：该符号左边与右边都必须是“集合”。（，）（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）注意：不具有任何元素的集合称为空集，记为，空集还可以表达为，也即空集并且规定“空集”是“任意集合”的真子集，如果设为任意集合，则必然有，或“”表达“自然数”集合；“”表达“整数”集合；“”表达“实数”集合。例7 设，则（ ）（，）（A） （B）（C） （D）解：选（D）分析：表达“元素”， 表达“集

9、合”， 显然有，进一步有例8 设，则是（ ）（A） （B）（C） （D）解：选（B）分析：“”是集合的并集运算符号；“”是集合的交集运算符号；这两个符号的两边都必须是“集合”，设有任意两个集合，与，则“”表达两个集合的并集，并集中的元素应当至少以以属于集或集中的一种。而“”表达两个集合的交集，交集中的元素应当同步以属于，两个集合。注意到，故，故，例9 写出集合的所有子集，并指出其中有几种非空真子集：解：集合共有下列8个子集，其中有6个非空真子集。；一般地，设非空集合中具有个元素，则共有个子集，其中有个非空真子集。例10 设，求：（1），（2）解：在数轴上画出与的图像（略），观图可知，（1）或者

10、，称“”为以0为左端点，5为右端点的左闭右开区间。简称“半闭半开区间”。（2）例11 设，求，解：当与是不全为零的常数，为任意常数时，方程，表达一族直线，故可以看作是4条直线分别构成的4个集合。求，事实上就是规定直线与直线的交点，并将其交点用“集合”来表达。请注意：平面上两条直线的位置关系有三种，1）相交，此时有唯一交点，即“二元一次方程组”只有唯一一组解；2）重叠，此时有无穷多种交点，即“二元一次方程组”有无穷多组解；3）平行，此时没有交点，即“二元一次方程组”无解。求解“二元一次方程组”可运用“加减消元法”或“代入消元法”。具体求解方程组的过程在此省略了，最后求出：；，或；或。即直线与直线相交；直线与直线平行；直线与直线重叠。例12 设，用，表达。解：由平面几何知识可知，“菱形”是四边相等的“平行四边形”，而“矩形”是有一种内角等于的“平行四边形”，故，即。“