概率统计专项练习

1、概率统计专项练习1、（2019石家庄市模拟（一）东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购 进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010（视样本频率为概率）（1）根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为E,求E的分布列与数学期望；（2）以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？2、（2019合

2、肥市第二次质量检测）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出2种超过质保期后2年内的延保维修优惠方案，方案一：交纳延保金 7 000元，在延保的2年内可免费维修 2次，超过2次每次收取维 修费2 000元；方案二：交纳延保金 10 000元，在延保的2年内可免费维修 4次，超过4次每次收取 维修费1 000元.某医院准备一次性购买 2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50台这种机器超过质保期后延保2年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替 1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过

3、质保期后延保的 2年内共需维修的次数.（1）求X的分布列；（2）以方案一与方案二所需费用 （所需延保金及维修费用之和）的期望值为决策依据，医院 选择哪种延保方案更合算？3、（2019福州市第一学期抽测）某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个 4X 4X4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成 64个相同的小 正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为E,记抽奖一次中奖的礼品价值为与

4、求P(e 3);(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着 色面数之和为6,设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5,设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4,设为三等奖，获得价值 10元的礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的 分布列与数学期望.4、(2019广州市调研测试)某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量 产品中各抽取了 100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图 1是设备改造前样本的频率分

5、布直方图，表 1是设备改造后样本的频数分布表.图1:设备改造前样本的频率分布直方图表1:设备改造后样本的频数分布表质里指标值15, 20)20, 25)25, 30)30, 35)35, 40)40 , 45)频数2184814162(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在25, 30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在20, 25)或30, 35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替

6、从所有产品中抽到一件相应等级产 品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望.5、.(2018高考全国卷I )某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合 格品的概率都为p(0pk0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.8289、（2019武汉市调研测试）中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地

7、区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取 得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了贫办统计了（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入组数据区间的中点值表示）.x（单位：千元）（同一组数据用该（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入中科近似为年平均收入 x,f（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入组数据区间的中点值表示）.x（单位：千元）（同一组数据用该（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入中科近似为年平均收入 x,f近似为样本方差s2,经计算得X服

8、从正态分布N（白婿），其 s2= 6.92.利用该正态分布，解决卜列问题:（i）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了 1 000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?附：参考数据与公式强32= 2.63,若 XN(, (2),则 P( p- KXW 叶 6= 0.682 7;P(厂 2 oX 叶 2/ 0.954 5; P(厂 3 oX 叶 3 人 0.9

9、97 3.10、（2019济南市七校联合考试）“黄梅时节家家雨” “梅雨如烟暝村树” “梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇20092018年梅雨季节的降雨量（单位:mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题:“梅实初黄暮雨深”，请用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量;“江南梅雨无限愁”，Q镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大 （把握超过八成）,而乙品种杨梅20

10、092018年的亩产量（单位:n (adbc)(a+b) (c+ d) (a+c) (b + d)kg）与降雨量的发生频数（年）如n (adbc)(a+b) (c+ d) (a+c) (b + d)一-J、降雨量200, 400)100 , 200) U 400 , 500总计6001总计10他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小?（完善列联表，并说明理由）附：K2=,其中 n = a+ b+ c+d.2P(K2k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.70611、（2019济南市模拟考试）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级

11、过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立 ），三级滤芯无需更换.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元.二级滤芯每个 160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图1是

12、根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表 1是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.图J二级滤芯更换的个数56频数6040表1以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；（2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；（3）记m, n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数， 若m + n=28,且n5, 6,以该客户的净水系统在使用

13、期内购买各级滤芯所需总费用的 期望值为决策依据，试确定m, n的值.12、某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该地周光照量X（单位：小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且 不超过70小时白有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量 y（千 克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系为如图所示的折线图.tWT克024 5 6（1）依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）;（若|r|0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要

14、求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X（单位：小时）30X70光照控制仪运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损 1 000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台?n附相关系数公式:(xi-x)(yy)n附相关系数公式:(xi-x)(yy)参考数据：寸03= 0.55, 59=0.95.概率统计专项练习答案(1)根据题意可得P(E= 30)=1x1=, P(E= 31)=1x X2 = , P(E=

15、 32) = -x2x 2+x=1,(J ) 5 5 255 10255 510 10 4 TOC o 1-5 h z 33)=5卡2 +吊针2=在34) =4本2+小七, 212111P( 3= 35)=x X2 = , P( E= 36) = X=P(。35) 51025(J ) 1010100.E的分布列如下:3031323334353613171121P25254255025100E( 9= 30X -7+ 31 X 3- 32X ；+ 33X 工+34 xg+35X 4 + 36X -7- = 32.8()25254255025100 TOC o 1-5 h z (2)当购进32份时

16、，利润为32X4X 27+(31X4- 8) X 舟+ (30 X 4 16) X 三=107.52 + 13.92 +4.16= 125.6(元). 252525当购进33份时，利润为33 X 4X 黑十(32 X 4 8) X 1 +(31 X 416) X 3- +(30 X 4 24) X 2=77.88 +30+ 12.9610042525+ 3.84= 124.68(元).因为 125.6124.68,所以，当购进32份时，利润更大.(1)X的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. TOC o 1-5 h z 111111P(X=0)=T0X矿而噂=1)=而*/2

17、=而1-0 1- 5=2X2- 5X1-0 1- 5=2X2- 5X1- 5+2X旦10X工10=3)P(X 2) 5 5 5 1025P(X=4) = 2X 2+&X 1X2 = , P(X = 5)=-X X2 = 一,P(X 4) 5 5 10 525() 5 1025339P(X=6)=130 xw=荷，所以x的分布列为X0123456P1 1131176911002525502525100(2)选择延保方案一，所需费用Y1的分布列为Y17 0009 00011 00013 00015 000P1711769100502525100E(Y1)=0X 7 000 + 11X 9 000

18、+ X 11 000+ X 13 000+-9-X 15 000= 10 720(元).() 100502525100选择延保方案二，所需费用丫2的分布列为Y210 00011 00012 000P671006259100E(Y2)=益 x 10 000 + 25* 11 000+急 X 12 000= 10 420(元).因为E(Y1)E(Y2),所以该医院选择延保方案二较合算.3、解：(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，所以P(土 所以P(土 3)=C1 c8+ C% c2；4c64640 _202 016 63.(2)设E为

19、抽取的面数之和，刀为获得的礼品价值，则E的所有可能取值为0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6,刀的取值为50, 30, 10, 0,C2281P(50) = P(上 6)=晶=右=72，P= 30) = P(P= 30) = P( 5)=C1 C241922C24 =2 016=21P= 10) = P ( 4)=CP= 10) = P ( 4)=C24 + c8 C24 c64=4682 0161356所以Y的分布列如下:5030100P121383722156126所以 e( = 5OX且+30*金+10*g + 0*且=370 2 0162 0162 0162 01663 .4、解：

20、（1）根据题图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下质里指标值15, 20)20, 25)25, 30)30, 35)35, 40)40 , 45)频数416401218104X 17.5+ 16X 22.5+40X27.5+ 12X 32.5+18X 37.5+10X 42.5=3 020.样本产品的质量指标平均值为端0= 30.2,121383P= 121383P= 0）=1一茨一五一而一诲 TOC o 1-5 h z 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2. 一一1 1 1(2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为2, 3 6，故从所有产品中随机

21、抽一件，是一、二、三等品的概率分别是11，4.2 3 6随机变量 X的取值为240, 300, 360, 420, 480.1 11 一 1 1 1P(X=240) =TX 7= , P(X=300) = C2x -X6 6 363 6 9P(X= 360) = C2X1 x 1+ 1 x 1= ：5，P(X=420)=C2xX1 = 1, P(X = 480)=X = 1,2 6 3 3182 3 32 2 4所以随机变量X的分布列为X240300360420480P115113691834所以 E(X)= 240 X 工+ 300X 1+ 360 X 5- + 420 X 1+ 480 X

22、-= 400.36918345、解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=c2op2(1 p)18.因此f p) = c2o2p(1p)1818p2(1 p)17 = 2C20P(1 p)17(1 10p).令 fp0=O,得 p= 0.1.当 pC (O,O.14,fp0O;当 pC (0.1 , 1)时，fp)400,故应该对余下的产品作检验.6、解：(1)由题意知，样本中仅使用 A的学生有18+9 + 3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A, B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A , B两种支付方式都使用的学生有100 30 255=40人.所以从

23、全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A , B两种支付方式都使用的概率估计所以从全校学生中随机抽取4010040100= 0.4.(2)X的所有可能值为0, 1, 2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取记事件C为“从样本仅使用1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额 大于1 000元”.由题设知，事件C、D相互独立，且P(C)=9 =0.4, P(D)=14 = 0.6. 3025所以 P(X=2) = P(CD)=P(C)P(D) = 0.24.P(X=1) = P(CDU CD)= P(C)P(D) + P(C)P(D)=0.4X (1

24、0.6) + (1 0.4)X 0.6= 0.52,P(X=0)= P(C D)= P(C)P(D) =0.24,所以X的分布列为X012P0.240.520.24故 X 的数学期望 E(X)=0X 0.24 + 1 X 0.52 +2X 0.24=1.(3)记事件E为“从样本仅使用 A的学生中随机抽查 3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”.假设样本仅使用 A的学生中，本月支付金额大于 2 000元的人数没有变化，则1由上个月的样本数据得 P(E) = = 7七.C30 4 060答案示例1 :可以认为有变化.理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由

25、认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确 定有没有变化.(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为补贴/(力兀/辆)344.5概率0.20.50.3所以该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值为 3X 0.2+4X0.5+4.5X0.3 =3.95(万元).(2)由频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列为辆数6 0007 0008 0009 000概率0.20.30.40.1若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天

26、可充电车辆数为30X 100 +4X 900=6 600,可得实际充电车辆数的分布列为实际充电车辆数6 0006 600概率0.20.8于是估计在方案一下新设备产生的日利润为25X （6 000X 0.2 + 6 600X 0.8） 500X 100 80X 900 = 40 000（元）.30X200 +若采用方案二，200台直流充电桩和40030X200 +4X400=7 600,可得实际充电车辆数的分布列为实际充电车辆数6 0007 0007 600概率0.20.30.5于是估计在方案二下新设备产生的日利润为25 X （6 000 X 0.2 + 7 000X 0.3 + 7 600 X

27、 0.5） 500 X 200 80 X 400 = 45 500（元）.不应卜“禁奥令”应卜.“禁奥令”总计男生20525女生101525总计302050(1)由题意将列联表补充如下:8、所以 gSST2-.3336,635,所以有99%的把握认为对下 “禁奥令”的态度与性别有关.(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不 应下“禁奥令”，E的所有可能取值有1, 2, 3, 4.c4c1c3121)= =荷；C2C2+C4C1C2C1 42 p（ E= 2）=c5c2=100；- 1 _ 1 _2_ 2_ 1 _ 1P(E= 3)=C2C21000401

28、02 + 0402P(E= 3)=C2C2100一.、020264)=乖=而所以E的分布列是1234P12424061001001001009、解：(1)x= 12X 0.04+14X 0.12+ 16X 0.28+ 18X 0.36+20 X 0.10+22X 0.06 + 24X 0.04 = 17.40(千元).(2)由题意，XN(17.40, 6.92).1 0.682 7(i) P(X 科3 = 2 + 2=0.841 4,厂 产 17.40-2.63= 14.77,即最低年收入大约为14.77千元.0.954 5(ii)由P(X 12.14)= P(XW一2 4=0.5+2= 77

29、 3,得每个农民的年收入不少于 12.14千元的事件的概率为 0.977 3,记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为 巳则个B(103, p),其中p= 0.977 3,于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是 P(土 k)= 0k103pk(1 p)103 k,P ( E= k)(1 001 k) x p从而由 c / ； =;一1 ,得 k1 001p, TOC o 1-5 h z P ( E= k-1) kx (1-p)PQ=k) (k+ 1) (1 p)由P ( E= k+ 1) =(1 000k) pP而 1 001p= 978.277 3,所以，977.277