坐标系与参数方程知识点总结与题型归纳

1、坐标系与参数方程知识点总结与题型归纳 知识总结一、平面直角坐标系1平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴数轴上的点与实数之间可以建立一一相应关系(2) 平面直角坐标系：定义：在同一种平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；相应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一相应关系距离公式与中

2、点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：两点间的距离公式中点P的坐标公式|P1P2|eq r(（x1x2）2（y1y2）2)eq blc(avs4alco1(xf(x1x2,2),yf(y1y2,2)2.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：eq blc(avs4alco1(xx（0）,yy（0）)的作用下，点P(x，y)相应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系1.极坐标系定义：在平面内取一种定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定

3、一种长度单位、一种角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆时针方向)，这样就建立了一种极坐标系2极坐标：(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)(2)极坐标系中的点与它的极坐标的相应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，)，(R)，若点M的极坐标是M(，)，则点M的极坐标也可写成M(，2k)，(kZ)若规定0，02，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(，)之间才是一一相应关系3极坐标与直角坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴的

4、正半轴作为极轴，且长度单位相似，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(，)(1)极坐标化直角坐标 eq blc(avs4alco1(xcos ，,ysin .)；(2)直角坐标化极坐标eq blc(avs4alco1(2x2y2，,tan f(y,x)（x0）.)三、简朴曲线的极坐标方程1曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一种满足方程f(，)0，并且坐标适合方程f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程2圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)r(02)圆心在点(r，0)2r

5、cos_(eq f(,2)eq f(,2)圆心在点(r，eq f(,2)2rsin_(0)圆心在点(r，)2rcos_(eq f(,2)eq f(3,2)圆心在点(r，eq f(3,2)2rsin_(0) (2)一般情形：设圆心C(0，0)，半径为r，M(，)为圆上任意一点，则|CM|r，COM|0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为220cos(0)eq oal(2,0)r20即3直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为(1)(R) 或(R) (2)(0) 和(0)过点(a，0)，且与极轴垂直cos_aeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)

6、f(,2)过点eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(,2)，且与极轴平行sin_a(0)过点(a，0)倾斜角为sin()asin (0b0)的参数方程是eq blc(avs4alco1(xacos ,ybsin )(是参数)，规定参数的取值范畴是0，2)(2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)的参数方程是eq blc(avs4alco1(xbcos ,yasin )(是参数)，规定参数的取值范畴是0，2)(3)中心在(h，k)的椭圆一般方程为eq f(（xh）2,a2)eq f(（yk）2,b2)1，则其参数方程为eq blc(a

7、vs4alco1(xhacos ,ykbsin )(是参数)2双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的参数方程是eq blc(avs4alco1(xasec ,ybtan )(为参数)，规定参数的取值范畴为0，2)且eq f(,2)，eq f(3,2)(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1的参数方程是eq blc(avs4alco1(xbtan ,yasec )(为参数)3抛物线的参数方程(1)抛物线y22px的参数方程为eq blc(avs4alco1(x2pt2,y2pt)(t为参数

8、)(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数六、直线的参数方程 1直线的参数方程通过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为eq blc(avs4alco1(xx0tcos ,yy0tsin )(t为参数)2直线的参数方程中参数t的几何意义(1)参数t的绝对值表达参数t所相应的点M到定点M0的距离(2)当eq o(M0M,sup6()与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数当eq o(M0M,sup6()与e反向时，t取负数，当M与M0重叠时，t03直线参数方程的其她形式对于同一条直线的一般方程，选用的参数不同，会得到不同的参数方程我们把过点M0(x0

9、，y0)，倾斜角为的直线，选用参数tM0M得到的参数方程eq blc(avs4alco1(xx0tcos ,yy0tsin )(t为参数)称为直线参数方程的原则形式，此时的参数t有明确的几何意义一般地，过点M0(x0，y0)，斜率keq f(b,a)(a，b为常数)的直线，参数方程为eq blc(avs4alco1(xx0at,yy0bt)(t为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有原则式中参数的几何意义 题型归纳题型一：极坐标与直角坐标的互化。互化原理（三角函数定义）、数形结合。1在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），觉得极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐

10、标系中取相似的长度单位，曲线的极坐标方程为. （1）把曲线的极坐标方程化为一般方程； （2）求直线与曲线的交点的极坐标（）.试题解析：（1）由得，两边同乘以，得；（2）由直线的参数方程为（为参数），得直线的一般方程为，联立曲线与直线的方程得，或，化为极坐标为或.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与一般方程的互化.考点：，.2在极坐标系中，设圆通过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程试题解析：法一：转化为直角坐标为：直线的直角坐标方程为：它与轴的交点也就是圆心为 因此因此圆的方程为，得因此，圆的极坐标方程为：法二：由于圆心为直线与极轴的交点，因此令，得，即圆心是又圆通过点

11、，圆的半径，圆过原点，圆的极坐标方程是考点：（1）转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；（2）先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标方程.题型二：曲线（圆与椭圆）的参数方程。（1）一般方程互化和最值问题。“1”的代换（）、三角解决。3已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标分别为.（）求直线的直角坐标方程；（）设为曲线上的点，求点到直线距离的最大值.试题解析：（）将、化为直角坐标为，即， 直线的方程为，即 （）设，它到直线的距离为，（其中）， 考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值4已知曲线的

12、极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.试题解析：曲线的极坐标方程可化为. 又，因此曲线的直角坐标方程为.将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，令，得，即点的坐标为（2，0）. 又曲线的圆心坐标为（1，0），半径，则， 因此.法二：设N的坐标为.因此考点：极坐标化为直角坐标，参数方程化为一般方程，直线与圆位置关系5已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是是参数） ，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）判断直线与曲线的位置关系； （2）设为曲线上任意一点，求的取值范畴.试题解析：（1）直线的一般方程为，曲线的直角坐

13、标系下的方程为，由于圆心到直线的距离为,因此直线与曲线的的位置关系为相离.（2）设点，则.考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程. 6已知平面直角坐标系，觉得极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；（2）若为曲线上的动点，求中点到直线的距离的最小值.试题解析：（1）点的直角坐标，由，得，因此曲线的直角坐标方程为.（2）曲线的参数方程为（为参数），直线的一般方程为，设，则，那么点到直线的距离，因此点到直线的最小距离为.考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和一般方程的互化；3、点到直线的距离（2）公共点

14、问题。联立求解鉴别式，直线与圆d与r。7在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线有公共点，求实数的取值范畴试题解析：（1）由得，又由得，因此曲线的一般方程为，即，又易知，曲线的一般方程为，由得，因此，因此曲线的直角坐标方程为（2）当直线过点时，与曲线有公共点，此时，从该位置向左下方平行移动直到与曲线相切总有公共点，联立得，令，解得所求实数的取值范畴是考点：1、参数方程与一般方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、直线与抛物线的位置关系8在直角坐

15、标系中，直线的参数方程为（为参数）在极坐标系（以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系取相似的长度单位）中，圆的方程为（）求圆的直角坐标方程；（）若直线与圆相切，求实数的值试题解析：（）由，圆的直角坐标方程为（或）； （）直线的参数方程为，圆的圆心为，半径， 由直线与圆相切，得或考点：简朴曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程9在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数，且).（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的一般方程；（2）若直线与曲线有两个公共点，求的取值范畴. 试题解析：（1）由直线的极坐标方程得：， 即直线的直角坐

16、标方程为：，由曲线 的参数方程 为参数，且). 得：（2）设曲线上任意一点为，则，直线与曲线 有两个公共点，.考点：极坐标系，参数方程，直角坐标方程的转换.题型三：直线参数方程（t的几何意义）。定点到动点的距离。定标图号联、韦达三定理。、10在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相似的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程； （2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.试题解析：（1）由，得，即.（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即.由于，故可设，是上述方程的两实根，因此，又直线过点，故由上式及的几何

17、意义得.考点：1.曲线的极坐标方程和一般方程的转化；2.直线的参数方程的应用11在直角坐标系中，过点的直线的斜率为1，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为（1）求直线的参数方程；（2）求试题解析：（）由条件知，直线的倾斜角，因此.设点是直线上的任意一点，点到点的有向向量为，则 （）曲线的直角坐标方程为,由此得,即 . 设为此方程的两个根，由于和的交点为，因此分别是点所相应的参数，由韦达定理得 =考点：简朴曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程12在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为.（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方

18、程； （2）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值.试题解析：（1）由，可得，即（2）过点作斜率为的直线的参数方程为（为参数）.代入得，设点相应的参数分别为，则，.由的几何意义可得.（注：此题也可直接求两点坐标，再用两点间的距离公式求出,.）考点：1.曲线的极坐标方程、参数方程和一般方程的转化；2.直线与圆的位置关系13在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相似的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值.试题解析：（1）由得，化为直角坐标方程为，即；（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得由，故可设是上述方程的两根，因此，又直线过点，故结合的几何意义得因此的最小值为考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程在求最值中的应用.题型四。跟踪点参数方程的求法。跟踪点法。14在直角坐标系 中,曲线的参