点集拓扑学课件

1、点 集 拓 扑 学 授课教师 王彦英河北师范大学数学与信息科学学院2008 年 3 月 wyanying20031拓 扑 学 导 论 拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何 不同的几何学分支 研究对象：一般的几何图形（拓扑空间） 中心任务：研究几何图形的一类性质即所谓的拓扑性质，但这类性质与我们在欧氏几何中研究的长度、角度、面积等不同。2 平面欧氏几何的研究对象与内容研究对象：直线和圆构成的图形研究内容：长度、角度、面积、全等； 两图形全等即经过平移、旋转、对称两 图形重合；而长度、角度、面积经过上 述正交变换保持不变。 结论：欧氏几何研究图形在正交变换 下的不变性和不变量。3 与拓扑性质相关的

2、几个例子一笔画问题哥尼斯堡七桥问题四色问题4一笔画问题 平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？ 例如：日 ，中 可以一笔画出 田 ，目 不能一笔画出 5欧拉的结论 欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当你用笔画一条线进入中间的一个点时，你还必须画一条线离开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中的任何一个点（除起点和终点外），它都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。 7一笔画问题的特点 该问题与线段的长短曲直、交点的准确方位、面积、体积无关。重要的是图形中

3、点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。8七 桥 问 题10欧拉的解法 哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧拉的兴趣。他知道，如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的时间。实际上，欧拉只用了几天的时间就解决了七桥问题。 11 欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、形状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看作是4个点。7座桥是7条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题本身无关。因此，不妨任意画7条线来表示它们。就这样，欧拉将七桥问题抽象成了一个“一笔画”问题，从而否定了问题的答案。12四 色 问 题14 以上几个问

4、题显示出几何图形的一类新的几何性质。这类性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等等都无关，他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们的特点是：在“弹性变形” 下保持不变，研究这类新问题的几何学，欧拉称之为“位置几何学”，人们通俗地把它叫做“橡皮几何学”。后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学”15基本概念的严格数学描述一般图形：集合变形：映射弹性变形：可逆映射或一一映射相近：邻域，开集相近变相近：连续图形全等：同胚不变性：连通性，可数性，分离性等17拓扑学的近代发展点集拓扑学代数拓扑学微分拓扑学几何拓扑学思考题：设C代表平面上的圆周，“点A位于圆周的内部”这一性质是否在“弹性变形”下保持不变？

5、18朴 素 集 合 论 19集 合 的 基 本 概 念20集合的基本运算幂 等 律分 配 律交 换律21集合的基本运算De Morgan 律22笛 卡 儿 积24关系与等价关系关 系相 关 25自 反 的 对 称 的 若 xRy 则有 yRx传 递 的 如果xRy , yRz , 则有xRz .27等价关系 集合X中的一个关系如果同时是自反的，对称的和传递的，则称为集合X中的一个等价关系.28映 射 的 性 质29常 用 映 射单射、满射、一一映射常值映射恒同映射（单位映射）投射自然投射3031集族及其运算有标集族 设是一个集合.如果对每一个，指定一个集合A，我们就说给定一个有标集族A ,在不至于引起混淆的前提下就直接说给定一个集族A ，同时称为集族的指标集.3233注：在集族的并中，若是空集，则其并为空