江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第3讲 导数的综合应用课件

1、第3讲导数的综合应用2021/8/8 星期日1知 识 梳 理1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2021/8/8 星期日22利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究2021/8/8 星期日32021/8/8 星期日42021/8/8 星期日5感悟提升1两个转化一是利用导数研究含参函数的单

2、调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)2两点注意一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)若在开区间内有极值，则一定有最优解. 2021/8/8 星期日6考点一导数在方程(函数零点)中的应用【例1】 (2013北京卷)已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb

3、有两个不同交点，求b的取值范围审题路线(1)由导数的几何意义，知f(a)0且f(a)b，解方程得a，b的值(2)两曲线的交点问题，转化为方程x2xsin xcos xb0.通过判定零点个数来求解2021/8/8 星期日7解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.2021/8/8 星期日8(2)设g(x)f(x)bx2xsin xcos xb.令g(x)f(x)0 x(2cos x)0，得x0.当x变化时

4、，g(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)1b.当1b0时，即b1时，g(x)0至多有一个实根，曲线yf(x)与yb最多有一个交点，不合题意x(，0)0(0，)g(x)0g(x)1b2021/8/8 星期日9当1b1时，有g(0)1b4b2b1b0.yg(x)在(0,2b)内存在零点，又yg(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，)上单调递增，yg(x)在(0，)上有唯一零点，在(，0)也有唯一零点故当b1时，yg(x)在R上有两个零点，则曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x

5、)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)2021/8/8 星期日10规律方法 (1)在解答本题(2)问时，可转化为判定f(x)b有两个实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用另外还可作出函数yf(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日12解(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x1或

6、a(a0)当x变化时f(x)与f(x)的变化情况如下表：故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值2021/8/8 星期日132021/8/8 星期日14考点二导数在不等式中的应用【例2】 (2013新课标全国卷)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.审题路线(1)由极值点确定出实数m的值，然后利用导数求出函数的单调区间；(2)当m2时，转化为求f(x)min，证明f(x)min0.2021/8/8 星期日152

7、021/8/8 星期日162021/8/8 星期日172021/8/8 星期日18规律方法 (1)第(2)问证明抓住两点：一是转化为证明当m2时，f(x)0；二是依据f(x0)0，准确求f(x)exln(x2)的最小值(2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化2021/8/8 星期日19【训练2】 (2014郑州一模)已知函数f(x)a(x21)ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意a(4，2)及x1,3，恒有maf(x)a2成立，求实数m的取值范围2021/8/8 星期日202021/8/8 星期日212021/

8、8/8 星期日222021/8/8 星期日232021/8/8 星期日242021/8/8 星期日252021/8/8 星期日26规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.2021/8/8 星期日27【训练3】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面

9、的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大2021/8/8 星期日282021/8/8 星期日292021/8/8 星期日301理解极值与最值的区别，极值是局部概念，最值是整体概念2利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较 2021/8/8 星期日312021/

10、8/8 星期日322021/8/8 星期日332021/8/8 星期日342021/8/8 星期日352021/8/8 星期日36答题模板第一步：利用导数的几何意义求k的值；第二步：求g(x)，构造函数F(x)；第三步：将问题转化为证明F(x)1e2；第四步：对F(x)求导，判断其单调性，求最大值；第五步：将问题再转化为原问题从而得到欲证明的不等式2021/8/8 星期日372021/8/8 星期日382021/8/8 星期日392021/8/8 星期日402021/8/8 星期日41当x(0,1)时，H(x)0，于是G(x)在0,1上是减函数，从而当x(0,1)时，G(x)G(0)0，故G(x)在0,1上是减函数于是G(x)G(0)2，从而a1G(x)a3.所以，当a3时，f(x)