届高考数学一轮复习教案：第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性

1、2022 届高考数学（理）一轮复习教案：其次篇 函数与基本初等函数第 3 讲 函数的奇偶性与周期性【2022 年高考会这样考】1判定函数的奇偶性2利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值3考查函数的单调性与奇偶性的综合应用【复习指导】本讲复习时应结合详细实例和函数的图象,懂得函数的奇偶性、周期性的概念,明确它们在争论函数中的作用和功能题重点解决综合利用函数的性质解决有关问基础梳理1奇、偶函数的概念一般地,假如对于函数fx的定义域内任意一个x,都有 fxfx,那么函数fx就叫做偶函数一般地,假如对于函数fx的定义域内任意一个x,都有 fx fx,那么函数 fx就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称

2、；偶函数的图象关于 y 轴对称2奇、偶函数的性质1奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区 间上的单调性相反2在公共定义域内 两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数3周期性1周期函数： 对于函数 yfx,假如存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 fxTfx,那么就称函数 yfx为周期函数,称 T 为这个 函数的周期2最小正周期：假如在周期函数fx的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 fx的最小正周期一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点

3、对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件两个性质1如奇函数 fx在 x 0 处有定义,就 f00. 2设 fx,gx的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上：奇奇奇,奇 奇偶,偶偶偶,偶 偶偶,奇 偶奇三种方法判定函数的奇偶性,一般有三种方法：三条结论1定义法； 2图象法； 3性质法1如对于 R 上的任意的 x 都有 f2axfx或 fxf2ax,就 yfx的图象关于直线 xa 对称2如对于 R 上的任意 x 都有 f2axfx,且 f2bxfx其中 ab,就： yfx是以 2ba为周期的周期函数3如 fxa fx或 fxa1 f x或 fxa 1 f x,那么函数 fx是周期函数,其

4、中一个周期为 T2a；3如 fxafxba b,那么函数 fx是周期函数,其中一个周期为 T2|ab|. 双基自测12022 全国 设 fx是周期为 2 的奇函数,当 0 x1 时,fx2x1x,就 f5 2 A.1 2 B.1 4 C.1 4 D.1 2解析 由于 fx是周期为 2 的奇函数,所以 f 5 2 f 5 2 f 1 21 2.应选 A. 答案 A 22022 福州一中月考 fx1 xx 的图象关于 Ay 轴对称 B直线 y x 对称C坐标原点对称 D直线 yx 对称解析 fx的定义域为 ,00, ,又 fx1xx1 xx fx,就 fx为奇函数,图象关于原点对称答案 C 320

5、22 广东设函数 fx和 gx分别是 R 上的偶函数和奇函数,就以下结论恒 成立的是 Afx |gx|是偶函数 C|fx|gx是偶函数Bfx|gx|是奇函数 D|fx|gx是奇函数解析 由题意知 fx与|gx|均为偶函数, A 项：偶偶偶； B 项：偶偶偶,B 错； C 项与 D 项：分别为偶奇偶,偶奇奇均不恒成立,应选 A. 答案 A 42022 福建对于函数 fxasin xbxc其中, a,bR,cZ,选取 a,b,c 的一组值运算 f1和 f1,所得出的正确结果肯定不行能是 A4 和 6 B3 和 1 C2 和 4 D1 和 2 解析f1asin 1bc,f1 asin 1bc 且 c

6、Z,f1f12c是偶数,只有 D 项中两数和为奇数,故不行能是 D. 答案 D 52022 浙江如函数 fxx 2|xa|为偶函数,就实数a_. 解析 法一fxfx对于 xR 恒成立,|xa|xa|对于 xR 恒成立,两边平方整理得 ax0 对于 xR 恒成立,故 a0. 法二 由 f1f1,得|a1|a1|,得 a0. 答案 0考向一 判定函数的奇偶性【例 1】.以下函数： fx1x2x21； fx x3 x； fxlnxx21 ； fx3 x32x； fxlg1x 1x.其中奇函数的个数是 A2 B3 C4 D5 审题视点 利用函数奇偶性的定义判定解析 fx1x2x 21的定义域为 1,1

7、,又 fxfx0,就 fx1x 2x 21是奇函数,也是偶函数；fxx 3x 的定义域为 R,又 fxx 3xx 3x fx,就 fxx 3x 是奇函数；由 xx 21x|x|0 知 fxlnxx 21的定义域为 R,又 fxlnxx 21ln 1xx 21lnxx 21fx,就 fx为奇函数；3 x3xfx2 的定义域为 R,3x3 x 3 x3x又 fx22fx,就 fx为奇函数；1x 1x由 0 得 1x1,fxln 的定义域为 1,1,1x 1x1x 1x 1x又 fxlnln1 ln fx,1x 1x 1x就 fx为奇函数答案D 判定函数的奇偶性的一般方法是：1求函数的定义域； 2证

8、明 fxfx或 f xfx成立；或者通过举反例证明以上两式不成立假如二者皆未做到是不能下任何结论的,切忌主观臆断【训练 1】 判定以下函数的奇偶性：1fx4x2 |x3|3；2fxx 2|xa|2. 解1解不等式组4x 20,|x3|3 0,得 2x0,或 0 x2,因此函数 fx的定义域是 2,00,2,就 fx4x 2x . 24x 2fx,fx4 xxx所以 fx是奇函数2fx的定义域是 , 当 a0 时, fxx2|x|2,fxx 2|x|2x2|x|2fx因此 fx是偶函数；当 a 0 时, faa22,2|2a|2,faa fa fa,且 fa fa因此 fx既不是偶函数也不是奇函

9、数考向二 函数奇偶性的应用【例 2】.已知 fxx 2x11 2 x 01判定 fx的奇偶性； 2证明： fx0. 审题视点 1用定义判定或用特值法否定；函数值大于 0. 2由奇偶性知只须求对称区间上的1解 法一 fx的定义域是 , 00, fxx 2 x11 2x 22x12 x1. fxx 22x1x1x 22 x1x1fx故 fx是偶函数法二 fx的定义域是 , 00, ,f13 2,f13 2, fx不是奇函数fxfxx 2 x11 2x 2x11x 2 x1112 2 xx1x 12 2 x11 x110,xfxfx,fx是偶函数2证明 当 x0 时, 2 x1,2 x10,所以 f

10、xx 2x11 20. 当 x0 时, x0,所以 fx0,又 fx是偶函数,fxfx,所以 fx0. 综上,均有 fx0. 依据函数的奇偶性,争论函数的单调区间是常用的方法 奇函数在对称区间上的单调性相同；单调性相反 所以对具有奇偶性的函数的单调性的争论,单调性即可偶函数在对称区间上的 只需争论对称区间上的【训练 2】 已知奇函数 fx的定义域为 2,2,且在区间 2,0内递减,求满意：f1mf1m20 的实数 m 的取值范畴解fx的定义域为 2,2,21m2,有21m22,解得 1m3. 又 fx为奇函数,且在 2,0上递减,在 2,2上递减,f1mf1m2fm 21. 1mm21,即 2

11、m1. 综合可知, 1m1. 考向三 函数的奇偶性与周期性【例 3】.已知函数 fx是, 上的奇函数, 且 fx的图象关于 x1 对称,当 x0,1时, fx2x1,1求证： fx是周期函数；2当 x1,2 时,求 fx的解析式；3运算 f0f1f2 f2022的值审题视点 1只需证明 fxTfx,即可说明 fx为周期函数；2由 fx在0,1上的解析式及 fx图象关于 x1 对称求得 fx在1,2上的解析式；3由周期性求和的值1证明 函数 fx为奇函数,就 fxfx,函数 fx的图象关于 x1 对称,就 f2xfx fx,所以 f4xf2x2 f2xfx,所以 fx 是以 4 为周期的周期函数

12、2解 当 x1,2 时,2x0,1,又 fx的图象关于 x1 对称,就 fxf2x22x1,x1,2f00,f11,f20,3解 f3f1f1 1 又 fx是以 4 为周期的周期函数f0f1f2 f2022 f2 012f2 013f0f11. 判定函数的周期只需证明 fxTfxT 0便可证明函数是周期函数, 且周期为 T,函数的周期性常与函数的其他 性质综合命题,是高考考查的重点问题【训练 3】 已知 fx是定义在 R 上的偶函数, gx是定义在 R 上的奇函数,且 gxfx1,就 f2 013f2 015的值为 D无法运算 A 1 B1 C0 解析 由题意,得 gxfx1,又fx是定义在

13、R 上的偶函数, gx是定义在 R 上的奇函数, gx gx,fxfx,fx1 fx1,fx fx2,fxfx4,fx的周期为 4,f2 013f1,f2 015f3f1,又f1f1g00,f2 013f2 0150. 答案 C规范解答 3如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题争论】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质,它们之间既有区分又有联系, 高考作为考查同学综合才能的选拔性考试,在命题时, 经常将它们综合在一起命制试题 . 【解决方案】依据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要表达为 f x 与 f x 的相等或相反关系,而依据周期函数的定义知,函数的周期性主要表达为 f xT

14、 与f x 的关系,它们都与 f x 有关,因此,在一些题目中,函数的周期性经常通过函数的奇偶性得到 .函数的奇偶性表达的是一种对称关系,而函数的单调性表达的是函数值随自变量变化而变化的规律,因此,在解题时, 往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换, 再利用单调性来解决相关问题 . 【示例】.此题满分 12 分2022 沈阳模拟 设 fx是,上的奇函数, fx2fx,当 0 x1 时, fxx. 1求 f 的值；2当4x4 时,求 fx的图象与 x 轴所围成图形的面积；3写出, 内函数 fx的单调增 或减区间第1 问先求函数 fx的周期,再求f ；第2问

15、,推断函数 yfx的图象关于直线 x1 对称,再结合周期画出图象,由图象易求面积；第3问,由图象观看写出解答示范 1由 fx2fx得,fx4fx22 fx2fx,所以 fx是以 4 为周期的周期函数, 2 分 f f1 4 f 4 f4 4 4.4 分 2由 fx是奇函数与 fx2 fx,得： fx12 fx1 fx1,即 f1xf1x故知函数 yfx的图象关于直线 x1 对称 6 分 又 0 x1 时,fxx,且 fx的图象关于原点成中心对称, 就 fx的图象如图所 示 8 分 当 4x4 时,fx的图象与 x 轴围成的图形面积为S,就S4S OAB41 2 2 1 4.10 分 3函数 fx的单调递增区间为 4k1,4k1kZ,单调递减区间 4k1,4k3 kZ12 分 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇