人教版辽宁省北票市高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列的性质课件 新人教B必修5

1、2021/8/9 星期一1等差数列2021/8/9 星期一2知识回顾等差数列 AAAAAAAAAAAAA 每一项与它前一项的差 如果一个数列从第2项起，等于同一个常数. . . . .【说明】 数列 an 为等差数列an+1-an=d或an+1=an+dd=an+1-an公差是 唯一 的常数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.2021/8/9 星期一3一、判定题：下列数列是否是等差数列？. 9 ，7，5，3，, -2n+11， ；. -1，11，23，35，,12n-13，；. 1，2，1，2，；. 1，2，4，6，8，10， ；. a, a, a, a, ， a，

2、 ；复习巩固：2021/8/9 星期一4(1)等差数列8，5，2，的第5项是(2)等差数列-5，-9，-13，的第n项是 -4an = -5+(n-1).(-4)10二、填空题：简言之“知三求一”(3)已知an为等差数列，a1=3，d= 2 ，an=21，则n = 【说明】 在等差数列an的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个，可求出 另外一个2021/8/9 星期一5例1. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6结论:三数成等差数列可设这三个数分别为 a-d a，a+d 四

3、数成等差数列可设这四个数分别为 a-3d a-d,a+d,a+3d等差数列的性质2021/8/9 星期一6例2：已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数且p0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看是否是一个与n无关的常数解：取数列an中任意相邻两项an与an-1,它是一个与n无关的常数，则这个数列是等差数列。且公差为p, a1=p+q结论:数列的通项公式为an=pn+q，(其中p,q是常数) 等价与这个数列是等差数列关于n的一次函数2021/8/9 星期一7例3、已知数列an,bn都为等差数列，求证

4、：数列an+bn为等差数列证法1：设an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2（其中a1、b1、d1、d2均为常数）所以an+bn= a1+(n-1)d1+b1+(n-1)d2 =(a1+b1)+(n-1)(d1+d2)所以(an+1+bn+1)-(an+bn) =(a1+b1)+(n+1-1)(d1+d2)-(a1+b1)+(n-1)(d1+d2) =d1+d2（常数） 故数列an+bn为等差数列问题1：通过刚才的证明你能得出数列an+bn的首项和公差吗？它的首项和公差与数列an,bn的首项和公差有什么关系？2021/8/9 星期一8证法2：设an=A1n+B1，bn=A2n+B

5、2(其中A1,A2,B1,B2为常数）所以an+bn=（A1n+B1）+（A2n+B2） =（A1+A2）n+（B1+B2）所以(an+1+bn+1)-(an+bn)= （A1+A2）(n+1)+（B1+B2）- （A1+A2）n-（B1+B2）= A1+A2（为常数） 例3、已知数列an,bn都为等差数列， 求证：数列an+bn为等差数列思考：（1）数列an-bn是否为等差数列？若是，首项、公差为多少？若不是，请说明理由。（2）数列pan+qbn（其中p、q为常数）是否为等差数列？若是，首项、公差为多少？若不是，请说明理由。性质1:若an、 bn都是等差数列，且公差分别为d1,d2,(1).

6、则 anbn也是等差数列,且公差为d1d2 。(2).则 panqbn也是等差数列,且公差为pd1qd2 2021/8/9 星期一9性质2.若 an 是等差数列,且p+q=m+n，(p,q,m,n为正整数），则ap+aq=am+an。即下标和相等，则相应项和也相等（两边项数一样）证明：ap+aq=a1+(p-1)d+a1 +(q-1)d=2a1+(p+q-2)dam+an=a1+(m-1)d+a1 +(n-1)d=2a1+(m+n-2)d又因为p+q=m+n ， 所以ap+aq=am+an如：a2+a9=a5+a6a6+a10=a8+a8=2a8特别地,若 , 则注意：上面的命题的逆命题 是不

7、一定成立 的2021/8/9 星期一10例4 .在等差数列an中(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又 a4a7=187 ， 解 、 得a4= 17a7= 11 a4= 11a7= 17 或d= _2或2, 从而a14= _3或31结论应用2021/8/9 星期一11性质3:若an是等差数列,则从中抽取间隔相等的项也是等差数列an=am+ (n-m)dan-am=(n-m)da1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 , a11 , a12 a1a4a7a10性质4:若an是等差数列,则长度相等的连续k项的和也是等差数列,如:a1+a2+ak,ak+1+ak+2+.+a2k,a2k+1+.+a3k,也是等差数列a1+a2